信號與系統(tǒng)教案(吳大正第四版西電ppt)第1章

第一章信號與系統(tǒng) 1 1緒言一 信號的概念二 系統(tǒng)的概念1 2信號的描述與分類一 信號的描述二 信號的分類1 3信號的基本運算一 加法和乘法二 時間變換1 4階躍函數和沖激函數一 階躍函數二 沖激函數 三 沖激函數的性質四 序列 k 和 k 1 5系統(tǒng)的性質及分類一 系統(tǒng)的定義二 系統(tǒng)的分類及性質1 6系統(tǒng)的描述一 連續(xù)系統(tǒng)二 離散系統(tǒng)1 7LTI系統(tǒng)分析方法概述 點擊目錄 進入相關章節(jié) 什么是信號 什么是系統(tǒng) 為什么把這兩個概念連在一起 一 信號的概念 1 消息 message 人們常常把來自外界的各種報道統(tǒng)稱為消息 2 信息 information 通常把消息中有意義的內容稱為信息 本課程中對 信息 和 消息 兩詞不加嚴格區(qū)分 1 1緒論 第一章信號與系統(tǒng) 它是信息論中的一個術語 1 1緒論 3 信號 signal 信號是信息的載體 通過信號傳遞信息 信號我們并不陌生 如剛才鈴聲 聲信號 表示該上課了 十字路口的紅綠燈 光信號 指揮交通 電視機天線接受的電視信息 電信號 廣告牌上的文字 圖象信號等等 為了有效地傳播和利用信息 常常需要將信息轉換成便于傳輸和處理的信號 二 系統(tǒng)的概念 一般而言 系統(tǒng) system 是指若干相互關聯(lián)的事物組合而成具有特定功能的整體 如手機 電視機 通信網 計算機網等都可以看成系統(tǒng) 它們所傳送的語音 音樂 圖象 文字等都可以看成信號 信號的概念與系統(tǒng)的概念常常緊密地聯(lián)系在一起 信號的產生 傳輸和處理需要一定的物理裝置 這樣的物理裝置常稱為系統(tǒng) 系統(tǒng)的基本作用是對輸入信號進行加工和處理 將其轉換為所需要的輸出信號 輸入信號 激勵 輸出信號 響應 1 1緒論 1 2信號的描述和分類 第一章信號與系統(tǒng) 一 信號的描述 信號是信息的一種物理體現(xiàn) 它一般是隨時間或位置變化的物理量 信號按物理屬性分 電信號和非電信號 它們可以相互轉換 電信號容易產生 便于控制 易于處理 本課程討論電信號 簡稱 信號 電信號的基本形式 隨時間變化的電壓或電流 描述信號的常用方法 1 表示為時間的函數 2 信號的圖形表示 波形 信號 與 函數 兩詞常相互通用 1 2信號的描述和分類 二 信號的分類 1 確定信號和隨機信號 可以用確定時間函數表示的信號 稱為確定信號或規(guī)則信號 如正弦信號 若信號不能用確切的函數描述 它在任意時刻的取值都具有不確定性 只可能知道它的統(tǒng)計特性 如在某時刻取某一數值的概率 這類信號稱為隨機信號或不確定信號 電子系統(tǒng)中的起伏熱噪聲 雷電干擾信號就是兩種典型的隨機信號 研究確定信號是研究隨機信號的基礎 本課程只討論確定信號 1 2信號的描述和分類 2 連續(xù)信號和離散信號 根據信號定義域的特點可分為連續(xù)時間信號和離散時間信號 在連續(xù)的時間范圍內 t 有定義的信號稱為連續(xù)時間信號 簡稱連續(xù)信號 實際中也常稱為模擬信號 這里的 連續(xù) 指函數的定義域 時間是連續(xù)的 但可含間斷點 至于值域可連續(xù)也可不連續(xù) 值域連續(xù) 值域不連續(xù) 1 連續(xù)時間信號 1 2信號的描述和分類 僅在一些離散的瞬間才有定義的信號稱為離散時間信號 簡稱離散信號 實際中也常稱為數字信號 這里的 離散 指信號的定義域 時間是離散的 它只在某些規(guī)定的離散瞬間給出函數值 其余時間無定義 如右圖的f t 僅在一些離散時刻tk k 0 1 2 才有定義 其余時間無定義 相鄰離散點的間隔Tk tk 1 tk可以相等也可不等 通常取等間隔T 離散信號可表示為f kT 簡寫為f k 這種等間隔的離散信號也常稱為序列 其中k稱為序號 離散時間信號 1 2信號的描述和分類 上述離散信號可簡畫為 用表達式可寫為 或寫為 通常將對應某序號m的序列值稱為第m個樣點的 樣值 1 2信號的描述和分類 3 周期信號和非周期信號 周期信號 periodsignal 是定義在 區(qū)間 每隔一定時間T 或整數N 按相同規(guī)律重復變化的信號 連續(xù)周期信號f t 滿足f t f t mT m 0 1 2 離散周期信號f k 滿足f k f k mN m 0 1 2 滿足上述關系的最小T 或整數N 稱為該信號的周期 不具有周期性的信號稱為非周期信號 1 2信號的描述和分類 例1判斷下列信號是否為周期信號 若是 確定其周期 1 f1 t sin2t cos3t 2 f2 t cos2t sin t 解 兩個周期信號x t y t 的周期分別為T1和T2 若其周期之比T1 T2為有理數 則其和信號x t y t 仍然是周期信號 其周期為T1和T2的最小公倍數 1 sin2t是周期信號 其角頻率和周期分別為 1 2rad s T1 2 1 scos3t是周期信號 其角頻率和周期分別為 2 3rad s T2 2 2 2 3 s由于T1 T2 3 2為有理數 故f1 t 為周期信號 其周期為T1和T2的最小公倍數2 2 cos2t和sin t的周期分別為T1 s T2 2s 由于T1 T2為無理數 故f2 t 為非周期信號 1 2信號的描述和分類 例2判斷正弦序列f k sin k 是否為周期信號 若是 確定其周期 解f k sin k sin k 2m m 0 1 2 式中 稱為正弦序列的數字角頻率 單位 rad 由上式可見 僅當2 為整數時 正弦序列才具有周期N 2 當2 為有理數時 正弦序列仍為具有周期性 但其周期為N M 2 M取使N為整數的最小整數 當2 為無理數時 正弦序列為非周期序列 1 2信號的描述和分類 例3判斷下列序列是否為周期信號 若是 確定其周期 1 f1 k sin 3 k 4 cos 0 5 k 2 f2 k sin 2k 解 1 sin 3 k 4 和cos 0 5 k 的數字角頻率分別為 1 3 4rad 2 0 5 rad由于2 1 8 3 2 2 4為有理數 故它們的周期分別為N1 8 N1 4 故f1 k 為周期序列 其周期為N1和N2的最小公倍數8 2 sin 2k 的數字角頻率為 1 2rad 由于2 1 為無理數 故f2 k sin 2k 為非周期序列 由上面幾例可看出 連續(xù)正弦信號一定是周期信號 而正弦序列不一定是周期序列 兩連續(xù)周期信號之和不一定是周期信號 而兩周期序列之和一定是周期序列 1 2信號的描述和分類 4 能量信號與功率信號 將信號f t 施加于1 電阻上 它所消耗的瞬時功率為 f t 2 在區(qū)間 的能量和平均功率定義為 1 信號的能量E 2 信號的功率P 若信號f t 的能量有界 即E 則稱其為能量有限信號 簡稱能量信號 此時P 0 若信號f t 的功率有界 即P 則稱其為功率有限信號 簡稱功率信號 此時E 1 2信號的描述和分類 相應地 對于離散信號 也有能量信號 功率信號之分 若滿足的離散信號 稱為能量信號 若滿足的離散信號 稱為功率信號 時限信號 僅在有限時間區(qū)間不為零的信號 為能量信號 周期信號屬于功率信號 而非周期信號可能是能量信號 也可能是功率信號 有些信號既不是屬于能量信號也不屬于功率信號 如f t et 1 2信號的描述和分類 5 一維信號與多維信號 從數學表達式來看 信號可以表示為一個或多個變量的函數 稱為一維或多維函數 語音信號可表示為聲壓隨時間變化的函數 這是一維信號 而一張黑白圖像每個點 像素 具有不同的光強度 任一點又是二維平面坐標中兩個變量的函數 這是二維信號 還有更多維變量的函數的信號 本課程只研究一維信號 且自變量多為時間 6 因果信號與反因果信號 常將t 0時接入系統(tǒng)的信號f t 即在t 0 f t 0 稱為因果信號或有始信號 階躍信號是典型的一個 而將t 0 f t 0的信號稱為反因果信號 1 3信號的基本運算 還有其他分類 如實信號與復信號 左邊信號與右邊信號等等 1 3信號的基本運算 一 信號的 運算 兩信號f1 和f2 的相 指同一時刻兩信號之值對應相加減乘 如 1 3信號的基本運算 二 信號的時間變換運算 1 反轉 將f t f t f k f k 稱為對信號f 的反轉或反折 從圖形上看是將f 以縱坐標為軸反轉180o 如 1 3信號的基本運算 2 平移 將f t f t t0 f k f t k0 稱為對信號f 的平移或移位 若t0 或k0 0 則將f 右移 否則左移 如 1 3信號的基本運算 平移與反轉相結合 法一 先平移f t f t 2 再反轉f t 2 f t 2 法二 先反轉f t f t 畫出f 2 t 再平移f t f t 2 左移 右移 f t 2 注意 是對t的變換 1 3信號的基本運算 3 尺度變換 橫坐標展縮 將f t f at 稱為對信號f t 的尺度變換 若a 1 則波形沿橫坐標壓縮 若0 a 1 則展開 如 對于離散信號 由于f ak 僅在為ak為整數時才有意義 進行尺度變換時可能會使部分信號丟失 因此一般不作波形的尺度變換 1 3信號的基本運算 平移 反轉 尺度變換相結合 已知f t 畫出f 4 2t 三種運算的次序可任意 但一定要注意始終對時間t進行 1 3信號的基本運算 也可以先壓縮 再平移 最后反轉 1 3信號的基本運算 若已知f 4 2t 畫出f t 1 4階躍函數和沖激函數 階躍函數和沖激函數不同于普通函數 稱為奇異函數 研究奇異函數的性質要用到廣義函數 或分配函數 的理論 這里將直觀地引出階躍函數和沖激函數 1 4階躍函數和沖激函數 一 階躍函數 下面采用求函數序列極限的方法定義階躍函數 選定一個函數序列 n t 如圖所示 1 4階躍函數和沖激函數 階躍函數性質 1 可以方便地表示某些信號 f t 2 t 3 t 1 t 2 2 用階躍函數表示信號的作用區(qū)間 3 積分 1 4階躍函數和沖激函數 二 沖激函數 單位沖激函數是個奇異函數 它是對強度極大 作用時間極短一種物理量的理想化模型 它由如下特殊的方式定義 由狄拉克最早提出 也可采用下列直觀定義 對 n t 求導得到如圖所示的矩形脈沖pn t 高度無窮大 寬度無窮小 面積為1的對稱窄脈沖 1 4階躍函數和沖激函數 沖激函數與階躍函數關系 可見 引入沖激函數之后 間斷點的導數也存在 如 f t 2 t 1 2 t 1 f t 2 t 1 2 t 1 1 4階躍函數和沖激函數 三 沖激函數的性質 1 與普通函數f t 的乘積 取樣性質 若f t 在t 0 t a處存在 則f t t f 0 t f t t a f a t a 0 t 1 4階躍函數和沖激函數 2 沖激函數的導數 t 也稱沖激偶 f t t f 0 t f 0 t 證明 f t t f t t f t t f t t f t t f t t f 0 t f 0 t t 的定義 n t 的定義 1 4階躍函數和沖激函數 3 t 的尺度變換 證明見教材P20 推論 1 2t 0 5 t 2 當a 1時 所以 t t 為偶函數 t t 為奇函數 1 4階躍函數和沖激函數 已知f t 畫出g t f t 和g 2t 1 4階躍函數和沖激函數 4 復合函數形式的沖激函數 實際中有時會遇到形如 f t 的沖激函數 其中f t 是普通函數 并且f t 0有n個互不相等的實根ti i 1 2 n f t 圖示說明 例f t t2 4 t2 4 1 t 2 t 2 1 4階躍函數和沖激函數 t2 4 1 t 2 t 2 一般地 這表明 f t 是位于各ti處 強度為的n個沖激函數構成的沖激函數序列 注意 如果f t 0有重根 f t 無意義 1 4階躍函數和沖激函數 這兩個序列是普通序列 1 單位 樣值 序列 k 的定義 取樣性質 f k k f 0 k f k k k0 f k0 k k0 例 三 序列 k 和 k 1 4階躍函數和沖激函數 2 單位階躍序列 k 的定義 3 k 與 k 的關系 k k k 1 或 k k k 1 1 5系統(tǒng)的性質及分類 1 5系統(tǒng)的性質及分類 一 系統(tǒng)的定義 若干相互作用 相互聯(lián)系的事物按一定規(guī)律組成具有特定功能的整體稱為系統(tǒng) 電系統(tǒng)是電子元器件的集合體 電路側重于局部 系統(tǒng)側重于全部 電路 系統(tǒng)兩詞通用 二 系統(tǒng)的分類及性質 可以從多種角度來觀察 分析研究系統(tǒng)的特征 提出對系統(tǒng)進行分類的方法 下面討論幾種常用的分類法 1 5系統(tǒng)的性質及分類 1 連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng) 若系統(tǒng)的輸入信號是連續(xù)信號 系統(tǒng)的輸出信號也是連續(xù)信號 則稱該系統(tǒng)為連續(xù)時間系統(tǒng) 簡稱為連續(xù)系統(tǒng) 若系統(tǒng)的輸入信號和輸出信號均是離散信號 則稱該系統(tǒng)為離散時間系統(tǒng) 簡稱為離散系統(tǒng) 2 動態(tài)系統(tǒng)與即時系統(tǒng) 若系統(tǒng)在任一時刻的響應不僅與該時刻的激勵有關 而且與它過去的歷史狀況有關 則稱為動態(tài)系統(tǒng)或記憶系統(tǒng) 含有記憶元件 電容 電感等 的系統(tǒng)是動態(tài)系統(tǒng) 否則稱即時系統(tǒng)或無記憶系統(tǒng) 3 單輸入單輸出系統(tǒng)與多輸入多輸出系統(tǒng) 1 5系統(tǒng)的性質及分類 4 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) 滿足線性性質的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng) 1 線性性質 系統(tǒng)的激勵f 所引起的響應y 可簡記為y T f 線性性質包括兩方面 齊次性和可加性 若系統(tǒng)的激勵f 增大a倍時 其響應y 也增大a倍 即T af aT f 則稱該系統(tǒng)是齊次的 若系統(tǒng)對于激勵f1 與f2 之和的響應等于各個激勵所引起的響應之和 即T f1 f2 T f1 T f2 則稱該系統(tǒng)是可加的 1 5系統(tǒng)的性質及分類 若系統(tǒng)既是齊次的又是可加的 則稱該系統(tǒng)是線性的 即T af1 bf2 aT f1 bT f2 2 動態(tài)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)的條件 動態(tài)系統(tǒng)不僅與激勵 f 有關 而且與系統(tǒng)的初始狀態(tài) x 0 有關 初始狀態(tài)也稱 內部激勵 完全響應可寫為y T f x 0 零狀態(tài)響應為yf T f 0 零輸入響應為yx T 0 x 0 1 5系統(tǒng)的性質及分類 當動態(tài)系統(tǒng)滿足下列三個條件時該系統(tǒng)為線性系統(tǒng) 零狀態(tài)線性 T af 0 aT f 0 T f1 t f2 t 0 T f1 0 T f2 0 或T af1 t bf2 t 0 aT f1 0 bT f2 0 零輸入線性 T 0 ax 0 aT 0 x 0 T 0 x1 0 x2 0 T 0 x1 0 T 0 x2 0 或T 0 ax1 0 bx2 0 aT 0 x1 0 bT 0 x2 0 可分解性 y yf yx T f 0 T 0 x 0 1 5系統(tǒng)的性質及分類 例1 判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng) 1 y t 3x 0 2f t x 0 f t 1 2 y t 2x 0 f t 3 y t x2 0 2f t 解 1 yf t 2f t 1 yx t 3x 0 1顯然 y t yf t yx t 不滿足可分解性 故為非線性 2 yf t f t yx t 2x 0 y t yf t yx t 滿足可分解性 由于T af t 0 af t ayf t 不滿足零狀態(tài)線性 故為非線性系統(tǒng) 3 yf t 2f t yx t x2 0 顯然滿足可分解性 由于T 0 ax 0 ax 0 2 ayx t 不滿足零輸入線性 故為非線性系統(tǒng) 1 5系統(tǒng)的性質及分類 例2 判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng) 解 y t yf t yx t 滿足可分解性 T af1 t bf2 t 0 aT f1 t 0 bT f2 t 0 滿足零狀態(tài)線性 T 0 ax1 0 bx2 0 e t ax1 0 bx2 0 ae tx1 0 be tx2 0 aT 0 x1 0 bT 0 x2 0 滿足零輸入線性 所以 該系統(tǒng)為線性系統(tǒng) 1 5系統(tǒng)的性質及分類 5 時不變系統(tǒng)與時變系統(tǒng) 滿足時不變性質的系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng) 1 時不變性質 若系統(tǒng)滿足輸入延遲多少時間 其零狀態(tài)響應也延遲多少時間 即若T 0 f t yf t 則有T 0 f t td yf t td 系統(tǒng)的這種性質稱為時不變性 或移位不變性 1 5系統(tǒng)的性質及分類 例 判斷下列系統(tǒng)是否為時不變系統(tǒng) 1 yf k f k f k 1 2 yf t tf t 3 yf t f t 解 1 令g k f k kd T 0 g k g k g k 1 f k kd f k kd 1 而yf k kd f k kd f k kd 1 顯然T 0 f k kd yf k kd 故該系統(tǒng)是時不變的 2 令g t f t td T 0 g t tg t tf t td 而yf t td t td f t td 顯然T 0 f t td yf t td 故該系統(tǒng)為時變系統(tǒng) 3 令g t f t td T 0 g t g t f t td 而yf t td f t td 顯然T 0 f t td yf t td 故該系統(tǒng)為時變系統(tǒng) 直觀判斷方法 若f 前出現(xiàn)變系數 或有反轉 展縮變換 則系統(tǒng)為時變系統(tǒng) 1 5系統(tǒng)的性質及分類 1 5系統(tǒng)的性質及分類 2 LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分特性和積分特性 本課程重點討論線性時不變系統(tǒng) LinearTime Invariant 簡稱LTI系統(tǒng) 微分特性 若f t yf t 則f t y f t 積分特性 若f t yf t 則 1 5系統(tǒng)的性質及分類 6 因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng) 零狀態(tài)響應不會出現(xiàn)在激勵之前的系統(tǒng) 稱為因果系統(tǒng) 即對因果系統(tǒng) 當t t0 f t 0時 有t t0 yf t 0 如下列系統(tǒng)均為因果系統(tǒng) yf t 3f t 1 而下列系統(tǒng)為非因果系統(tǒng) 1 yf t 2f t 1 2 yf t f 2t 因為 令t 1時 有yf 1 2f 2 因為 若f t 0 t t0 有yf t f 2t 0 t 0 5t0 1 5系統(tǒng)的性質及分類 例某LTI因果連續(xù)系統(tǒng) 起始狀態(tài)為x 0 已知 當x 0 1 輸入因果信號f1 t 時 全響應y1 t e t cos t t 0 當x 0 2 輸入信號f2 t 3f1 t 時 全響應y2 t 2e t 3cos t t 0 求輸入f3 t 2f1 t 1 時 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應y3f t 解設當x 0 1 輸入因果信號f1 t 時 系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應分別為y1x t y1f t 當x 0 2 輸入信號f2 t 3f1 t 時 系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應分別為y2x t y2f t 1 5系統(tǒng)的性質及分類 由題中條件 有y1 t y1x t y1f t e t cos t t 0 1 y2 t y2x t y2f t 2e t 3cos t t 0 2 根據線性系統(tǒng)的齊次性 y2x t 2y1x t y2f t 3y1f t 代入式 2 得y2 t 2y1x t 3y1f t 2e t 3cos t t 0 3 式 3 2 式 1 得y1f t 4e t cos t t 0由于y1f t 是因果系統(tǒng)對因果輸入信號f1 t 的零狀態(tài)響應 故當t 0 y1f t 0 因此y1f t 可改寫成y1f t 4e t cos t t 4 1 5系統(tǒng)的性質及分類 f1 t y1f t 4e t cos t t 根據LTI系統(tǒng)的微分特性 3 t 4 sin t t 根據LTI系統(tǒng)的時不變特性 f1 t 1 y1f t 1 4 cos t 1 t 1 由線性性質 得 當輸入f3 t 2f1 t 1 時 y3f t 2y1 t 1 3 t 4 sin t t 2 4 cos t 1 t 1 1 5系統(tǒng)的性質及分類 7 穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng) 一個系統(tǒng) 若對有界的激勵f 所產生的零狀態(tài)響應yf 也是有界時 則稱該系統(tǒng)為有界輸入有界輸出穩(wěn)定 簡稱穩(wěn)定 即若 f 其 yf 則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的 如yf k f k f k 1 是穩(wěn)定系統(tǒng) 而 是不穩(wěn)定系統(tǒng) 因為 當f t t 有界 當t 時 它也 無界 1 6系統(tǒng)的描述 1 5系統(tǒng)的描述 描述連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)的數學模型是微分方程 描述離散動態(tài)系統(tǒng)的數學模型是差分方程 一 連續(xù)系統(tǒng) 1 解析描述 建立數學模型 圖示RLC電路 以uS t 作激勵 以uC t 作為響應 由KVL和VAR列方程 并整理得 二階常系數線性微分方程 1 6系統(tǒng)的描述 抽去具有的物理含義 微分方程寫成 這個方程也可以描述下面的一個二階機械減振系統(tǒng) 其中 k為彈簧常數 M為物體質量 C為減振液體的阻尼系數 x為物體偏離其平衡位置的位移 f t 為初始外力 其運動方程為 能用相同方程描述的系統(tǒng)稱相似系統(tǒng) 1 6系統(tǒng)的描述 2 系統(tǒng)的框圖描述 上述方程從數學角度來說代表了某些運算關系 相乘 微分 相加運算 將這些基本運算用一些理想部件符號表示出來并相互聯(lián)接表征上述方程的運算關系 這樣畫出的圖稱為模擬框圖 簡稱框圖 基本部件單元有 積分器 加法器 數乘器 積分器的抗干擾性比微分器好 1 6系統(tǒng)的描述 系統(tǒng)模擬 實際系統(tǒng) 方程 模擬框圖 實驗室實現(xiàn) 模擬系統(tǒng) 指導實際系統(tǒng)設計 例1 已知y t ay t by t f t 畫框圖 解 將方程寫為y t f t ay t by t 1 6系統(tǒng)的描述 例2 已知y t 3y t 2y t 4f t f t 畫框圖 解 該方程含f t 的導數 可引入輔助函數畫出框圖 設輔助函數x t 滿足x t 3x t 2x t f t 可推導出y t 4x t x t 它滿足原方程 例3 已知框圖 寫出系統(tǒng)的微分方程 1 6系統(tǒng)的描述 設輔助變量x t 如圖 x t x t x t x t f t 2x t 3x t 即x t 2x t 3x t f t y t 4x t 3x t 根據前面 逆過程 得 y t 2y t 3y t 4f t 3f t 1 6系統(tǒng)的描述 二 離散系統(tǒng) 1 解析描述 建立差分方程 例 某人每月初在銀行存入一定數量的款 月息為 元 元 求第k個月初存折上的款數 設第k個月初的款