導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.doc

編編 號號 本本科科生生畢畢業(yè)業(yè)設(shè)設(shè)計計 論論文文 題目 題目 導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 理 學(xué)院 數(shù)學(xué)及應(yīng)用數(shù)學(xué) 師范 專業(yè) 學(xué) 號 學(xué)生姓名 指導(dǎo)教師 II 二 九年六月 摘要 I 摘摘 要要 微積分是研究函數(shù)的微分 積分以及相關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支 導(dǎo)數(shù)是微積分中一 個非常重要的概念 它的建立基于 無限逼近 的過程 盡管導(dǎo)數(shù)屬于微積分中的內(nèi)容 但是許多初等數(shù)學(xué)中的問題都可以借助導(dǎo)數(shù)這一工具得到解決 本文將具體介紹如何利用 導(dǎo)數(shù)解決中學(xué)數(shù)學(xué)中的幾大類問題 第一部分給出論文緒言 論述導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的 應(yīng)用前景 第二部分給出導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問題中的應(yīng)用 利用導(dǎo)數(shù)可以分析函數(shù)的圖像 研究 函數(shù)的單調(diào)性 極值和最值 第三部分講述如何利用導(dǎo)數(shù)研究解析幾何問題 第四部分 分析利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題 第五部分主要利用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)列問題 第六部分利用導(dǎo) 數(shù)解決實際生活中的問題 說明導(dǎo)數(shù)在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用 希望通過這些實例的 探討 為中學(xué)數(shù)學(xué)問題的解決 提供全新的視野 關(guān)鍵詞 關(guān)鍵詞 導(dǎo)數(shù) 應(yīng)用 函數(shù) 方程 不等式 Abstract II ABSTRACT Calculus is a branch of mathematics which is to study the differential integrate and the related concept and application Derivative is a very important concept of calculus It is based on the infinite approximation process Although derivative is the content in calculus many of the elementary mathematical problems can be resolved by the derivative In this article I introduce how to use derivative to solve a number of problems of elementary mathematics in secondary school In the first part we introduce the developments at home and abroad and discuss in the secondary derivative of the application of mathematics In the second part we introduce the applications of derivative in the Function problems we can use derivative to analyse functions images study the monotone function extreme value and the most value In the third part we describe how to use derivative research analytic geometry problem In the fourth part we analyse the use of derivative to prove inequality problem In the fifth part we give the main use of derivatives to solve the problem series In the sixth part we give the use of derivative to solve real life problems and it illustrates that derivative has a wide range of applications in real life I hope to provide a completely new perspective for the solution of the problems of secondary school mathematics Keywords Derivative application function equation inequality 目錄 i 目目 錄錄 第 1 章 緒論 1 第 2 章 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題 3 2 1 分析函數(shù)圖像 3 2 2 確定函數(shù)的單調(diào)性 3 2 3 研究方程的根 4 2 4 求函數(shù)的極值 5 2 5 求函數(shù)的最值 5 2 6 解決含有字母的參數(shù)問題 6 第 3 章 利用導(dǎo)數(shù)研究解析幾何問題 9 3 1 求解曲線切線問題 9 3 2 求解中點弦問題 9 第 4 章 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題 11 第 5 章 利用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)列問題 13 第 6 章 利用導(dǎo)數(shù)解決實際生活中的問題 15 6 1 求解費用最省問題 15 6 2 求解面積 體積最大問題 16 6 3 求解利潤最大問題 17 第 7 章 結(jié)論與展望 19 7 1 結(jié)論 19 7 2 不足之處及未來展望 19 參考文獻 21 致 謝 23 導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 1 第第 1 章章 緒論緒論 導(dǎo)數(shù)的引入為解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題提供了新的視野 是研究函數(shù)性質(zhì) 證明不等式 探求函數(shù)的極值最值 求曲線的斜率和解決一些物理問題等等的有力工具 可以說導(dǎo)數(shù) 在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用涉及到各個方面 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)處理中學(xué)數(shù)學(xué)問題不需要很強的思維能力 只需突出通法 淡化技巧 導(dǎo)數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容 導(dǎo)數(shù)本身已經(jīng)成為解決數(shù)學(xué)問題的重要工具 在 近幾年的高考中 對導(dǎo)數(shù)的考察也在逐步加強 中學(xué)數(shù)學(xué)教材對導(dǎo)數(shù)進行了詳細的介紹 導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)的變化率刻畫了函數(shù)變化的趨勢 通過對導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義的分析 綜合生活中的實際問題 展示導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的具體的廣泛的應(yīng)用 對于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 應(yīng)重點利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性 極值和最值 曲線的切線等問 題的一般方法 在導(dǎo)數(shù)的學(xué)習中 要特別注意等價轉(zhuǎn)換 分類討論 數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想 方法的訓(xùn)練 在解決導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題中 這些思想方法始終貫穿其中 是正確解決問題 的關(guān)鍵 下面分類例析導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的具體應(yīng)用并談一點個人的感悟和體會 大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 2 導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 3 第第 2 章章 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題 導(dǎo)數(shù)本身已經(jīng)成為解決函數(shù)問題的重要工具 利用導(dǎo)數(shù)可以分析函數(shù)的圖像 研究 函數(shù)的單調(diào)性 極值和最值 2 1 分析函數(shù)圖像分析函數(shù)圖像 例例 1 函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo) 導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖 1 所示 則函數(shù) f x fx 的圖象可能為 yf x 圖圖 2 2 1 A B C D 分析 當 時 函數(shù) 在對應(yīng)的每一個解集的區(qū)間內(nèi)均為減函數(shù) 當 fx yf x 時 函數(shù) 在對應(yīng)的每一個解集的區(qū)間內(nèi)均為增函數(shù) 由導(dǎo)數(shù) fx yf x 的圖象可得函數(shù) 的單調(diào)性應(yīng)為減增 減增趨勢 故答案選B yfx yf x 2 2 確定函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的單調(diào)性 函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的最基本性質(zhì)之一 是研究函數(shù)所要掌握的最基本的知識 用單 調(diào)性的定義來處理單調(diào)性問題有很強的技巧性 較難掌握好 而用導(dǎo)數(shù)知識來判斷函數(shù) 的單調(diào)性簡便而且快捷 例例 2 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 并指出其單調(diào)性 32 29123f xxxx 分析 對函數(shù)求導(dǎo) 求不等式 的解 則的解為單 f x 00fxfx 和 0fx 調(diào)增區(qū)間 的解為單調(diào)減區(qū)間 0fx 解 32 29123f xxxx 2 61812fxxx 令 012fxxx 得或 大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 4 由 012fxx 得 故的單調(diào)增區(qū)間為 1 和 2 f x 單調(diào)減區(qū)間為 1 2 例例 3 討論函數(shù)的單調(diào)性 2 log 352 21 a f xxxaa 且 分析 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 一般應(yīng)先求出函數(shù)的定義域 再求導(dǎo)數(shù) fx 通過判斷函數(shù)定義域中導(dǎo)數(shù)的零點所劃分的各區(qū)間內(nèi)的符號 來確定的單調(diào)區(qū) fx f x 間 當給定函數(shù)含有字母參數(shù)時 應(yīng)注意分類討論 解 的定義域為 2 log 352 f xxx 函數(shù) 1 2 3 又 2 log 65 log 65 352 31 2 aa exe fxx xxxx 若 則當時 1a 1 3 x log0 650 ae x 31 2 0 xx 函數(shù)在上是增函數(shù) 0 fx f x 1 3 當時 2x 0fx 函數(shù)在上是減函數(shù) f x 2 若 則當時 01a 1 3 x 0fx 函數(shù)在上是減函數(shù) f x 1 3 當時 2x 0fx 函數(shù)在上是增函數(shù) f x 2 2 3 研究方程的根研究方程的根 例例 4 若 則方程在上有多少根 3m 32 10 xmx 解 設(shè) 32 1f xxmx 則 2 32fxxmx 當且時 3m 0 2 m 0fx 故在上單調(diào)遞減 而在與處都連續(xù) f x 0 2 f x0 x 2x 且 0 10 f 2 940 fm 故在上只有一個根 f x 0 2 導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 5 例例 5 求證方程在區(qū)間上有唯一實根 32 361xxx 0 1 證明 令 32 361f xxxx 則在上連續(xù) f x 0 1 0 1 1 3 ff 1 0 30 ff 又 2 366 fxxx 時 恒有 0 1 x 0 fx 在上有唯一實根 32 3610 xxx 0 1 2 4 求函數(shù)的極值求函數(shù)的極值 極值是中學(xué)數(shù)學(xué)一個新的概念 它是研究函數(shù)在某一很小區(qū)域時給出的一個概念 在處理極值問題時 利用函數(shù)的極值點的導(dǎo)數(shù)為0 可以簡化判定函數(shù)的極值 但需要注 意的是導(dǎo)數(shù)為0的點可能不是函數(shù)的極值點 例例 6 6 求函數(shù)的極值 3 12f xxx 分析 思維的周密性是解決問題的基礎(chǔ) 在解題過程中 要全面系統(tǒng)的考慮問題 注意各種條件的綜合運用 方可正確解題 解 函數(shù)的定義域為 R f x 2 3123 2 2 fxxxx 令 得或 0fx 2x 2x 當 x 變化時 變化狀態(tài)如下表 fxf x x 2 2 0 2 2 2 fx 0 0 f x 增極大值 0減極小值 16增 從表中可以看出 當時 函數(shù)有極大值 2x 且 3 2 2 12 2 16 f 當 函數(shù)有極小值 且2x 3 2 212 216 f 2 5 求函數(shù)的求函數(shù)的最最值值 最值問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點 難點 它涉及到中學(xué)數(shù)學(xué)知識的各個方面 處理次類 問題往往需要較高的思維能力和技能 而用導(dǎo)數(shù)處理這類問題使得解題過程程序化 簡 單化 大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 6 例例 7 7 求函數(shù)的最值 32 392 2 2yxxxx 分析 1 注意求極值和最值的區(qū)別 2 求最值也可以做如下變通 求的根 計算 0fx 1n xx 最大者為最大值 最小者為最小值 12 n f xf xf x 解 由 令 2 369yxx 0y 解得 12 1 3 xx 當變化時 變化情況如下表 x y y x 2 2 1 1 1 2 2 y 9 0 15 y 20減極小值 7增0 由上表可知 函數(shù)在上的最大值為 20 最小值為 7 2 2 例例 8 8 求函數(shù)在上的最大值和最小值 2 1 ln 1 4 f xxx 解 11 22 4 fxx x 令 11 22 0 4 x x 即解得或 2 20 xx 1x 2 x x11 2 2 2 3 3 fx1 0 2 3 f x 0增 1 ln2 4 減 ln3 1 綜上 為函數(shù)在上的最小值 1 0f f x 為函數(shù)在上的最大值 1 2 ln2 4 f f x 2 6 解決含有字母的參數(shù)問題解決含有字母的參數(shù)問題 利用導(dǎo)數(shù)解決含有字母的參數(shù)問題屬于逆向思維 仍然可以根據(jù)求函數(shù)值的步驟來 求解 要注意極值點在導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系 例例 9 9 已知函數(shù) 試問是否存在實數(shù)使在上取得 32 6f xaxaxb a b f x1 2 最大值 3 最小值 29 若存在 求出的值 若不存在 請說明理由 a b 分析 是否存在 這種探索性問題 可先假設(shè)存在 列出關(guān)于是方程 其方程 a b 有解且符合題意 則存在 否則不存在 解 根據(jù)題意 顯然 0a 導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 7 2 3123 4 fxaxaxax x 令 解得 舍去 0fx 12 0 4xx 1 當時 當變化時 的變化情況如下表 0a x fxf x x 0 0 2 fx 0 f x 增極大值減 當時 取得最大值 0 x f x 0 3fb 又 2 163 1 73 1 2 fafaff 當時 取得最小值 2x f x 即16329 2 aa 2 當時 當變化時 的變化情況如下表 0a x fxf x x1 0 0 0 2 fx 0 f x 減極小值增 當時 取得最小值 0 x f x 0 29 fb 又 2 1629 1 729 2 1 fafaff 當時 取得最大值 2x f x 即16293 2 aa 綜上所述 存在適合題設(shè) 且或 a b2 3ab 2 29 ab 例例 1010 已知在處有極大值 4 極小值 0 試求的值 53 f xaxbxc 1x a b c 分析 此類題型屬于逆向思維 仍可根據(jù)求函數(shù)值的步驟來求 要注意極值點在導(dǎo) 數(shù)之間的關(guān)系 解 4222 53 53 fxaxbxxaxb 在處有極值 故 f x 1x 1 0f 22 530 5 1 abfxaxx 1 當時 列表 0a x 1 1 1 0 0 0 1 1 1 fx 0 0 0 f x 增 極大值 1 f 減減 極小值 1 f 增 當時 取極大值 4 1x f x 當時 取極小值 0 1x f x 1 4 fabc 大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 8 1 0 fabc 又530 3 5 2 ababc 2 當時 列表 0a x 1 1 1 0 0 0 1 1 1 fx 0 0 0 f x 減 極小值 1 f 增增 極大值 1 f 減 當時 取極小值 0 1x f x 當時 取極大值 4 1x f x 1 4fabc 1 0fabc 又530 3 5 2 ababc 綜合 1 2 所述 的值分別為 3 5 2 或 3 5 2 a b c 導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 9 第第 3 章章 利用導(dǎo)數(shù)研究解析幾何問題利用導(dǎo)數(shù)研究解析幾何問題 導(dǎo)數(shù)進入中學(xué)數(shù)學(xué) 豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)知識和解法 給許多繁難問題提供了一種通用 的解題方法 也給許多常規(guī)問題的解法提供了新的視角 利用導(dǎo)數(shù)解決解析幾何中的切 線 中點弦問題 3 1 求解曲線切線問題求解曲線切線問題 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義 把二次曲線方程看作 y 是 x 的函數(shù) 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 可以求出切線的斜率 如對圓 兩邊對 x 求導(dǎo) 則有 222 xaybR 所以在切點 m n 處的切線斜率 從而我們 2 2 0 x xayb y xx m y n ma ky nb 可以輕易求出切線方程是 類似地可輕松求出過橢圓 雙 2 xa mayb nbR 曲線 拋物線等曲線上的點的切線方程 3 2 求解中點弦問題求解中點弦問題 如果以圓 橢圓等圖形的中心為中心 按比例縮小圖形 則一定存在同類的圓 橢圓 等與弦 AB 中點 M 相切 如圖 2 此時縮小的曲線方程如 222 xaybtR 兩邊對 x 求導(dǎo) 可發(fā)現(xiàn)并不改變原方程求導(dǎo)的結(jié)果 因此 利用導(dǎo)數(shù)法求 22 22 1 xy tatb 中點弦的斜率 就是 在中點處的值 x y 圖 3 1 例例 1111 已知雙曲線方程 1 求以 A 2 1 為中點的雙曲線的弦所 22 22xy 在的直線方程 2 過點 B 1 1 能否作直線 使與所給雙曲線交于 P Q 兩點 且點 B 是弦 PQ 的中點 這樣的直線如果存在 求出它的方程 如果不存在 說明理由 解 對兩邊求導(dǎo) 得 22 22xy 420 x xyy 1 以 A 2 1 為中點的弦的斜率 所以所求中點弦所在直線方程 2 1 4 xxy ky 為 14 2 yx 2 以 B 1 1 為中點的弦的斜率 所以所求中點弦所在直線方程 1 1 2 xxy ky 為 即 12 1 yx 210 xy 江南大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 10 但與雙曲線方程聯(lián)立消去 y 得 無實根 因此直線 22 22xy 2 2430 8xx 與雙曲線無交點 所以滿足條件的直線 不存在 l 注意 1 求出的方程只是滿足了必要性 還必須驗證其充分性 即所求直線與雙 曲線確實有兩個交點 例例 12 12 已知橢圓 A B 是橢圓上兩點 線段 AB 的垂直平分線 22 22 1 xy ab ab 與 x 軸交于點 P 求證 0 0 x 2222 0 abab x aa 證明 設(shè) AB 的中點是 P m n 則中點 P 在橢圓內(nèi) 所以 ama 對橢圓兩邊求導(dǎo) 22 22 1 xy ab 有 得 22 22 0 x xy y ab 2 2 x xb y ya 故中點弦 AB 的斜率 所以線段 AB 的垂直平分線斜率滿足 2 2 xx m y n mb ky na 得 2 2 0 0nna mxmb 2 0 22 x a m ab 代入 式得 2222 0 abab x aa 例例 13 13 求拋物線上不存在關(guān)于直線對稱的兩點 求 m 的取值范圍 2 yx 3 ym x 解 1 當時 曲線上不存在關(guān)于直線對稱的兩點 0m 2 當 m 0 時 假設(shè)存在關(guān)于直線對稱的兩點 設(shè)這兩點的中點為 A a b 則 A 必在拋物線內(nèi) 所以 2 yx 2 ba 對兩邊求導(dǎo) 得 所以中點弦的斜率為 2 yx 2 x yx 1 2ka m 將點 A a b 坐標代入得 3 ym x 3 bm a 由 得 32 12210mm 即 2 21 621 0 mmm 又恒成立 2 6210mm 所以 1 2 m 故時滿足題意 1 0 2 mm 導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 11 綜上 1 2 m 取值范圍是 1 2 江南大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 12 第第 4 章章 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題 常用的不等式的證明方法有換元法 分析法 綜合法 歸納法等基本方法 但對于 某些含有對數(shù)或指數(shù)的超越不等式運用上述方法卻無所適從 若采用導(dǎo)數(shù)方法證明這些 不等式 則會柳暗花明 取得理想的效果 例例 14 14 證明 當時 有 0 4 x 4 tan xxx 分析 要證 只需證 令 根據(jù)的正負 4 tanxxx tan4 1 x x tan x f x x fx 判斷的單調(diào)性 f x 證明 設(shè) 則根據(jù)求導(dǎo)法則可知 tan x f x x 2 2222222 1 sin2 sectansin cos2sin2 2 coscoscos xx xxxxxxxx fx xxxxxxx 因為當時 所以 所以 0 x sin xx sin2xx 0fx 在內(nèi)嚴格單調(diào)遞增 f x 0 4 又 44 tantan4 lim lim1 lim lim xx xx xx f xf x xx 所以 故 tan4 1 x x 4 tan xxx 例例 1515 已知 其中 為自然對數(shù)的底 求證 0abe e ba ab 證明 要證 只要證 ba ab lnln 0 baababe 即證 得 lnlnab ab ln 0 x f xxe x 則 2 1 ln 0 x fx x 函數(shù)在上是增函數(shù) f x 0 e 又解 0 abef af b lnlnab ab ba ab 導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 13 江南大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 14 第第 5 章章 利用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)列問題利用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)列問題 用常規(guī)求數(shù)列 級數(shù) 的和 有時技巧性很高 或者計算十分繁瑣 如果借助導(dǎo)數(shù)這 一工具?？苫睘楹?化難為易 例例 1616 利用導(dǎo)數(shù)求和 21 123 0 n n SxxnxxnN 分析 考慮到直接計算無從下手 觀察所求數(shù)列的特征 采用導(dǎo)數(shù)求解 解 當時 1x 1 123 1 2 n Snn n 當時 1x 1 23 1 n n xx xxxx x 兩邊都是關(guān)于的函數(shù) 求導(dǎo)數(shù)得x 1 23 1 n n xx xxxx x 即 1 21 2 1 1 123 1 nn n n nxnx Sxxnx x 例例 1717 求和 012 345 3 n nnnn CCCnC 分析 用傳統(tǒng)方法技巧性比較高 考慮構(gòu)造二項式 再求導(dǎo)數(shù) 解 由 330122 1 nnn nnnn xxx CC xC xC x 30314253 1 nnn nnnn xxC xC xC xC x 對上面恒等式兩邊取的導(dǎo)數(shù)得x 231 3 1 1 nn xxx nx 0213242 345 3 nn nnnn C xC xC xnC x 令得1x 1012 3 22345 3 nnn nnnn nCCCnC 即所求的和 0121 345 3 6 2 nn nnnn CCCnCn 導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 15 江南大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 16 第第 6 章章 利用導(dǎo)數(shù)解決實際生活中的問題利用導(dǎo)數(shù)解決實際生活中的問題 導(dǎo)數(shù)在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用 例如 用料最省 利潤最大 效率最高問題 通?？梢詺w結(jié)為函數(shù)的最值問題 從而可以用導(dǎo)數(shù)來解決 6 1 求解費用最省問題求解費用最省問題 例例 1818 已知 A B 領(lǐng)地相距 200 千米 一只船從 A 地逆水到 B 地 水速為 8 千米 小 時 船在靜水中的速度為 千米 小時 若船每小時的燃料費與其在靜水中的v 0 8 vv 平方成正比 當千米 小時 每小時的燃料費為 720 元 為了使全程燃料費最省 12v 船的實際速度為多少 分析 本例中由于速度 的最大取值不是具體數(shù)據(jù) 造成函數(shù)定義域用表示 求v 0 v 0 v 解時要對按單調(diào)區(qū)間分類討論 有本例解法可知分式函數(shù)模型可用導(dǎo)數(shù)求最值 0 v 解 費用最省 實質(zhì)是求函數(shù)的最小值 設(shè)每小時的燃料費為 比例系數(shù)為則 1 y 0 k k 2 1 ykv 當時 得12v 2 1 720 72012 yk 5 k 設(shè)全程燃料費為由題意 y 2 1 2001000 88 v yy vv 22 22 2000 8 1000100016000 8 8 v vvvv y vv 令當時 時全程燃料費最省 0 16 yv 0 16v 16v 當時 即時 即在上為減函數(shù) 0 16v 0 8 vv 0y y 0 8 v 當時 0 vv 2 0 min 0 1000 8 v y v 綜上 當時 千米 小時全程燃料費最省 為 32000 元 0 16v 16v 當時 則時全程燃料費最省 為 0 16v 0 vv 2 0 0 1000 8 v v 例例 1919 有甲 乙兩個工廠 甲廠位于一直線河岸的岸邊 A 處 乙廠與甲廠在河的同側(cè) 乙廠位于離河岸 40km 的 B 處 乙廠到河岸的垂足 D 與 A 相距 50km 兩廠要在此岸邊合建 一個供水站 C 從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米 3a 元和 5a 元 問供水站 C 建在岸邊何處才能使水管費用最省 分析 本題中求解費用最省問題 建立數(shù)學(xué)模型 利用導(dǎo)數(shù)求極值 從而確定供水 站的位置 解 設(shè) C 點距離 D 點 則 x km 40 50 BDACx 2222 40 BCBDCDx 導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 17 又設(shè)總的水管費用為元 y 依題意得 22 3 50 540 050 yaxa xx 令解得 22 5 3 40 ax ya x 0 y 30 x 在上 只有一個極值點 根據(jù)實際問題的意義 0 50 y 函數(shù)在處取得最小值 30 x 此時5020 ACxkm 即供水站建立在 A D 之間距離甲乙處 可使水管費用最省 20 km 6 2 求解面積 體積最大問題求解面積 體積最大問題 例例 2020 將一段長為 100cm 的鐵絲截成兩段 一段彎成正方形 一段彎成圓 問如何 截才能使正方形與圓的面積之和最小 分析 當問題中給出的量比較多時 一定要通過簡歷各個量之間的關(guān)系 通過消元 法達到簡歷函數(shù)關(guān)系式的目的 解設(shè)彎成圓的一段鐵絲長為cm 則另一段長為cm 設(shè)正方形與圓的面積之和x 100 x 為 S 則正方形的邊長為 圓的半徑為 2 cm 100 4 x acm 2 x rcm 所以 22 100 0100 24 xx Sx 又 100100 2 244 xxx S 100 28 xx 令則 0 S 100 4 xcm 由于在內(nèi) 函數(shù)只有一個導(dǎo)數(shù)為 0 的點 問題中面積之和的最小值顯然 0 100 S x 存在 故當時 面積之和最小 100 4 xcm 例例 2121 將一長為 8m 寬為 5m 的矩形鐵皮 在各角剪去相同的四個下正方形 然后 折成一個無蓋鐵盒 問剪去的小正方形邊長為多少時 鐵盒容積最大 最大容積為多少 解 設(shè)剪去的小正方形的邊長為米 x 則此盒的底的面積為高為 82 52 xx x 體積 82 52 Vxxx 而02 5 x 32 52 82 42640Vxxxxxx 江南大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 18 2 125240 Vxx 令時 或 舍去 0V 1 1x 2 10 3 x 即剪去的小正方形邊長為 1 厘米時 此紙盒容積最大 最大容積為 3 18 m 6 3 求解求解利潤最大問題利潤最大問題 例例 2222 已知某商品成本 與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為價格與c 0200 qq 1004 cq p 產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為求產(chǎn)量為何值時 利潤最大 q 1 25 8 qq qL 分析 解本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式 再利用導(dǎo)數(shù)求最值 解 收入 2 11 25 25 88 Rqpqqqq 利潤 2 1 25 1004 8 LRcqqq 2 1 21100 0200 8 qqq 令 1 21 4 Lq 0 L 即解得 1 210 4 q 84 q 因為當時 084q 0 L 當時 84200q 0 L 所以當時 取得最大值 84q L 即產(chǎn)量為 84 時 利潤最大 L 例例 2323 甲方是一農(nóng)場 乙方是一工廠 由于乙方生產(chǎn)需要占用甲方的資源 因此甲方 有權(quán)向乙方索賠以彌補經(jīng)濟損失并獲得一定的凈收入 在乙方不賠付甲方的情況下 乙方 的年利潤 元 與年產(chǎn)量 噸 滿足函數(shù)關(guān)系式 若乙方每年生產(chǎn)一噸產(chǎn)xt2000 xt 品必須賠付甲方 元 以下稱 為賠付價格 ss 1 若將乙方的年利潤元表示為年產(chǎn)量 噸的函數(shù) 求出乙方獲得最大利潤的年產(chǎn)wt 量 2 甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟損失金額 元 在乙方按照獲得最 2 0 002yt 大利潤的產(chǎn)量進行生產(chǎn)的前提下 若甲方要在索賠中獲得最大凈收入 向乙方要求的賠 付價格 應(yīng)該是多少 s 解 1 方法一 采用正常的方法 建立一元二次函數(shù) 在定義域內(nèi)求函數(shù)的最 值 因為賠付價格為s 元噸 s0 所以乙方的實際年利潤為 導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 19 2000wtst 2 2000 tst 2 2 10001000 st ss 所以當時 取得最大值 2 1000 t s w 即乙方取得最大利潤的年產(chǎn)量噸 2 1000 t s 方法二 此類涉及利潤的題目 建立函數(shù)關(guān)系式后 我們也可以采取利用導(dǎo)數(shù) 的的方法求解 因為賠付價格為s 元噸 s0 所以乙方的實際年利潤為 2000 wtst 10001000 s t ws tt 令 得 0w 2 1000 t s 因為在內(nèi)只有一個點使得w 0 2 1000 t s 0 w 故它就是最大值點 所以當時 取得最大值 2 1000 t s w 即乙方取得最大利潤的年產(chǎn)量噸 2 1000 t s 2 設(shè)乙方凈收入為 元 則有 v 2 0 002 vstt 將代入上式 得 2 1000 t s 23 4 10002 1000 v ss 又 23 25 10008 1000 v ss 23 5 1000 8000 s s 令 得 0v 20 s 因為 在內(nèi)只有一個點使得v 0 20s 0 v 故它就是最大值點 所以當時 取得最大值 20s v 因此甲方要乙方的賠付價格 元 噸 時 獲得最大凈收入 20s 江南大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 20 第第 7 章章 結(jié)論與展望結(jié)論與展望 7 1 結(jié)論結(jié)論 通過上面的分析 我們知道導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用涉及到很多內(nèi)容 為了更好地體現(xiàn)課程改革 進一步提高未來公民所必須的數(shù)學(xué)素養(yǎng) 以滿足個人發(fā)展與社會的需要 總目標 針 對傳統(tǒng)導(dǎo)數(shù)的處理方式 結(jié)合新課程標準來處理中學(xué)數(shù)學(xué)中的一些問題 因此在學(xué)習導(dǎo)數(shù) 這部分內(nèi)容時 不僅要掌握導(dǎo)數(shù)的概念 求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則 還要學(xué)會導(dǎo)數(shù)在函數(shù)和 解析幾何 最值等問題上的應(yīng)用 同時 導(dǎo)數(shù)是我們進一步學(xué)習數(shù)學(xué)和其他自然學(xué)科的基 礎(chǔ) 是研究中學(xué)數(shù)學(xué)必不可少的工具 它使各個章節(jié)的內(nèi)容聯(lián)系的更加緊密 有助于我 們對中學(xué)數(shù)學(xué)的深入學(xué)習 7 2 不足之處及未來展望不足之處及未來展望 導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用相當廣泛 但尚需在知識的交匯處設(shè)計 在各方面例題歸 納出的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用體系及構(gòu)架上仍需進一步深入探索研究 通過對導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的舉例 使學(xué)生 學(xué)會數(shù)學(xué)思考的一種方式 反復(fù)通過例題去認識和感受導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 加強 對導(dǎo)數(shù)概念的認識和理解 同時在利用導(dǎo)數(shù)去解決中學(xué)數(shù)學(xué)中的問題中 學(xué)會一種數(shù)學(xué) 思考的數(shù)學(xué)學(xué)習的方式 導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 21 江南大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 22 參考文獻參考文獻 1 單墫 數(shù)學(xué) 選修 2 2 江蘇教育出版社 2005 6 28 54 2 李漢云 導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用舉例 J 高中數(shù)學(xué)教與學(xué) 2005 10 15 17 3 陳應(yīng)昌 導(dǎo)數(shù)中的一個重要定理的應(yīng)用 J 高中數(shù)學(xué)教與學(xué) 2006 2 27 28 4 郭金芝 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 J 中學(xué)生數(shù)理化 教與學(xué)教研版 2006 2 38 40 5 周國球 運用導(dǎo)數(shù)解題應(yīng)注意幾個方面 J 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 2006 1 24 25 6 王淑茂 吳永清 例談導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的幾個誤區(qū) J 數(shù)學(xué)教學(xué)研究 2006 1 35 36 7 秦學(xué)鋒 微積分在數(shù)列求和中的應(yīng)用 J 數(shù)學(xué)通報 2001 2 36 8 肖志向 例說導(dǎo)數(shù)法證明不等式 J 中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2006 2 38 39 9 李漢云 導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用舉例 J 高中數(shù)學(xué)教與學(xué)