高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 4.8三角函數(shù)模型及解三角形應(yīng)用舉例試題 理 蘇教版.docVIP

第8講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例一、填空題1已知a、b兩地的距離為10 km，b、c兩地的距離為20 km，現(xiàn)測(cè)得abc120，則a，c兩地的距離為_(kāi)解析 如圖所示，由余弦定理可得：ac210040021020cos 120700，ac10(km)答案 10 km2如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的扇形aob，c是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于ao的小路cd.已知某人從o沿od走到d用了2分鐘，從d沿著dc走到c用了3分鐘若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為_(kāi)米解析 由題圖知，連接oc，在三角形ocd中，od100，cd150，cdo60，由余弦定理可得oc210021502210015017 500，oc50.答案 503某人向正東方向走x km后，他向右轉(zhuǎn)150，然后朝新方向走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好 km，那么x的值為_(kāi)解析如圖，在abc中，abx，bc3，ac，abc30，由余弦定理得()232x223xcos 30，即x23x60，解得x1，x22，經(jīng)檢測(cè)均合題意答案或24. 如圖所示，為了測(cè)量河對(duì)岸a，b兩點(diǎn)間的距離，在這一岸定一基線cd，現(xiàn)已測(cè)出cda和acd60，bcd30，bdc105，adc60，則ab的長(zhǎng)為_(kāi)解析在acd中，已知cda，acd60，adc60，所以aca.在bcd中，由正弦定理可得bca.在abc中，已經(jīng)求得ac和bc，又因?yàn)閍cb30，所以利用余弦定理可以求得a，b兩點(diǎn)之間的距離為aba.答案a5一艘海輪從a處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿東偏南50方向直線航行，30分鐘后到達(dá)b處，在c處有一座燈塔，海輪在a處觀察燈塔，其方向是東偏南20，在b處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么b、c兩點(diǎn)間的距離是_解析 如圖所示，由已知條件可得，cab30，abc105，即ab4020(海里)bca45.由正弦定理可得：.bc10(海里)答案 10(海里)6已知a、b兩地的距離為10 km，b、c兩地的距離為20 km，現(xiàn)測(cè)得abc120，則a、c兩地的距離為_(kāi)km.答案 107如圖，設(shè)a、b兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在a所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)c，測(cè)出ac的距離為50 m，acb45，cab105后，就可以計(jì)算a、b兩點(diǎn)的距離為_(kāi)m.答案 508如圖，飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂面內(nèi)，若飛機(jī)的高度為海拔18 km，速度為1 000 km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0，經(jīng)過(guò)1 min后又看到山頂?shù)母┙菫?5，則山頂?shù)暮０胃叨葹?精確到0.1 km)_解析ab1 0001 000 (m)，bcsin 30 (m)航線離山頂hsin 7511.4 (km)山高為1811.46.6 (km)答案6.6 km9已知等腰三角形腰上的中線長(zhǎng)為，則該三角形的面積的最大值是_解析如圖，設(shè)abac2x，則在abd中，由余弦定理，得3x24x24x2cos a，所以cos a.所以sin a，所以sabc(2x)2sin a.故當(dāng)x2時(shí)，(sabc)max 2.答案210已知abc中，b45，ac4，則abc面積的最大值為_(kāi)解析法一如圖，設(shè)abc的外接圓為圓o，其直徑2r4.取ac的中點(diǎn)m，則omrcos 452，則ac4.過(guò)點(diǎn)b作bhac于h，要使abc的面積最大，當(dāng)且僅當(dāng)bh最大而bhboom，所以bhrr22，所以(sabc)maxacbhmax4(22)44，當(dāng)且僅當(dāng)babc時(shí)取等號(hào)法二如圖，同上易知，abc的外接圓的直徑2r4.sabcabbcsin b2r2sin asin bsin c8sin asin c4.當(dāng)ac67.5時(shí)，(sabc)max44.答案44二、解答題11如圖，在半徑為、圓心角為60的扇形的弧上任取一點(diǎn)p，作扇形的內(nèi)接矩形pnmq，使點(diǎn)q在oa上，點(diǎn)n、m在ob上，設(shè)矩形pnmq的面積為y，(1)按下列要求寫出函數(shù)的關(guān)系式：設(shè)pnx，將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式；設(shè)pob，將y表示成的函數(shù)關(guān)系式；(2)請(qǐng)你選用(1)中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，求出y的最大值解(1)on，omx，mnx，yx，x.pnsin ，oncos ，omsin sin ，mnonomcos sin ，ysin (cos sin )，即y3sin cos sin2，.(2)選擇y3sin cos sin2sin，2，ymax.12如圖，甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行當(dāng)甲船位于a1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105方向的b1處，此時(shí)兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)a2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120方向的b2處，此時(shí)兩船相距10海里問(wèn)：乙船每小時(shí)航行多少海里？解：如圖所示，連接a1b2，由已知a2b210，a1a23010，a1a2a2b2.又a1a2b218012060，a1a2b2是等邊三角形，a1b2a1a210.由已知，a1b120，b1a1b21056045，在a1b2b1中，由余弦定理得b1ba1ba1b2a1b1a1b2cos 45202(10)222010200，b1b210.因此，乙船的速度為6030(海里/小時(shí))13. 如圖，當(dāng)甲船位于a處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的b處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里c處的乙船，接到信號(hào)后乙船朝北偏東方向沿直線前往b處救援，問(wèn)的正弦值為多少？解如題圖，在abc中，ab20海里，ac10海里，bac120，由余弦定理知bc2ab2ac22abaccos 12020210222010700.bc10海里由正弦定理，sinacbsinbacsin 120.sin sin(30acb)sin 30cosacbcos 30sinacb.乙船應(yīng)沿北偏東sin 的方向沿直線前往b處救援14某單位設(shè)計(jì)一個(gè)展覽沙盤，現(xiàn)欲在沙盤平面內(nèi)，布設(shè)一個(gè)對(duì)角線在l上的四邊形電氣線路，如圖所示，為充分利用現(xiàn)有材料，邊bc，cd用一根5米長(zhǎng)的材料彎折而成，邊ba、ad用一根9米長(zhǎng)的材料彎折而成，要求a和c互補(bǔ)，且abbc.(1)設(shè)abx米，cos af(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范圍；(2)求四邊形abcd面積的最大值解(1)在abd中，由余弦定理得bd2ab2ad22abadcos a.同理，在cbd中，bd2cb2cd22cbcdcos c.因?yàn)閍和c互補(bǔ)，所以ab2ad22abadcos acb2cd22cbcdcos ccb2cd22cbcdcos a.即x2(9x)22x(9x)cos ax2(5x)22x(5x)cos a解得cos a，即f(x)，其中x(2,5)(2)四邊形abcd的面積s(abadcbcd)sin ax(9x)x(5x)x(7x) .記g(x)(x24)(x2