1.2 Fourier變換.ppt

1 2Fourier變換 1Fourier變換的概念 2單位脈沖函數(shù)及其Fourier變換 3非周期函數(shù)的頻譜 已知 若函數(shù)f t 滿足Fouriier積分定理的條件 則在f t 的連續(xù)點(diǎn)處 有 設(shè) 則 1Fourier變換的概念 1 9 式叫做f t 的Fourier變換式 1 10 式為F w 的Fourier逆變換式 f t 與F w 可相互轉(zhuǎn)換 可記為 和 還可以將f t 放在左端 F w 放在右端 中間用雙向箭頭連接 1 9 式右端的積分運(yùn)算 叫做f t 的Fourier變換 同樣 f t F w 1 10 式右端的積分運(yùn)算 叫做F w 的Fourier逆變換 F w 稱作f t 的象函數(shù) f t 稱作F w 的象原函數(shù) 可以說象函數(shù)F w 和象原函數(shù)f t 構(gòu)成了一個(gè)Fourier變換對 它們有相同的奇偶性 當(dāng)f t 為奇函數(shù)時(shí) 由上式可得 叫做f t 的Fourier正弦變換式 簡稱為正弦變換 即 叫做的Fourier正弦逆變換式 簡稱為正弦逆變換 即 而 當(dāng)f t 為偶函數(shù)時(shí) 由上式同理可得 叫做f t 的Fourier余弦變換式 簡稱為余弦變換 即 叫做的Fourier余弦逆變換式 簡稱為余弦逆變換 即 而 t f t 例1求函數(shù) 的Fourier變換及其積 分表達(dá)式 其中 0 這個(gè)f t 叫指指數(shù)衰減函數(shù) 是工程技術(shù)上常碰到的一個(gè)函數(shù) 例1求函數(shù) 的Fourier變換及其積 分表達(dá)式 其中 0 這個(gè)f t 叫指指數(shù)衰減函數(shù) 是工程技術(shù)上常碰到的一個(gè)函數(shù) 根據(jù)公式 有 解 例1求函數(shù) 的Fourier變換及其積 分表達(dá)式 其中 0 這個(gè)f t 叫指指數(shù)衰減函數(shù) 是工程技術(shù)上常碰到的一個(gè)函數(shù) 解 這就是指數(shù)衰減函數(shù)的Fourier變換 下面來求指數(shù) 衰減函數(shù)的積分表達(dá)式 根據(jù)Fourier逆變換式和奇偶函數(shù)的積分性質(zhì) 有 例1求函數(shù) 的Fourier變換及其積 分表達(dá)式 其中 0 這個(gè)f t 叫指指數(shù)衰減函數(shù) 是工程技術(shù)上常碰到的一個(gè)函數(shù) 解 例1求函數(shù) 的Fourier變換及其積 分表達(dá)式 其中 0 這個(gè)f t 叫指指數(shù)衰減函數(shù) 是工程技術(shù)上常碰到的一個(gè)函數(shù) 解 因此 例1求函數(shù) 的Fourier變換及其積 分表達(dá)式 其中 0 這個(gè)f t 叫指指數(shù)衰減函數(shù) 是工程技術(shù)上常碰到的一個(gè)函數(shù) 解 因此可得到一個(gè)含參量廣義積分的結(jié)果 例求函數(shù) 的Fourier變換并求 解 函數(shù)為一連續(xù)奇函數(shù) 則 例求函數(shù) 的Fourier變換并求 解 例求函數(shù) 的Fourier變換并求 解 例求函數(shù) 的Fourier變換并求 解 由Fourier積分公式 有 例求函數(shù) 的Fourier變換并求 解 所以有 例2求函數(shù)的Fourier變換及其積分表達(dá)式 其中A 0 0 這個(gè)函數(shù)叫做鐘形脈沖函數(shù) 也是工程技術(shù)中常碰到的一個(gè)函數(shù) 解根據(jù)Fourier變換式 有 如令 上式為一復(fù)變函數(shù)的積分 即 積分路線如圖所示 由于為復(fù)平面s上的解析函數(shù) 取圖所示的閉曲線l 矩形ABCDA 按Cauchy積分定理 有 即 其中 當(dāng)時(shí) 有 同理 當(dāng)時(shí) 有 從而 當(dāng)時(shí) 有 由此可知 即 因此 鐘形脈沖函數(shù)的Fourier變換為 下面求鐘形脈沖函數(shù)的積分表達(dá)式 根據(jù)Fourier積分變換式 并利用奇偶函數(shù)的積分性質(zhì) 可得 由此還可得到一個(gè)含參量廣義積分的結(jié)果 例3求函數(shù)的正弦變換和余弦變換 解根據(jù)正弦變換式 f t 的正弦變換為 根據(jù)余弦變換式 f t 的余弦變換為 可以發(fā)現(xiàn) 在半無限區(qū)間上的同一函數(shù)f t 其正弦變換和余弦的結(jié)果是不同的 例求函數(shù)的正弦變換和余弦變換 解根據(jù)正弦變換式 f t 的正弦變換為 例求函數(shù)的正弦變換和余弦變換 解根據(jù)余弦變換式 f t 的余弦變換為 在物理和工程技術(shù)中 常常會碰到單位脈沖函數(shù) 因?yàn)橛性S多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì) 如在電學(xué)中 要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢作用后產(chǎn)生的電流 在力學(xué)中 要研究機(jī)械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運(yùn)動(dòng)情況等 研究此類問題就會產(chǎn)生我們要介紹的單位脈沖函數(shù) 在原來電流為零的電路中 某一瞬時(shí) 設(shè)為t 0 進(jìn)入一單位電量的脈沖 現(xiàn)在要確定電路上的電流i t 以q t 表示上述電路中到時(shí)刻t為此通過導(dǎo)體截面的電荷函數(shù) 即累積電量 則 2 單位脈沖函數(shù)及其Fourier變換 在原來電流為零的電路中 某一瞬時(shí) 設(shè)為t 0 進(jìn)入一單位電量的脈沖 現(xiàn)在要確定電路上的電流i t 以q t 表示上述電路中的電荷函數(shù) 則 由于電流強(qiáng)度是電荷函數(shù)對時(shí)間的變化率 即 所以 當(dāng)t 0時(shí) i t 0 由于q t 是不連續(xù)的 從而在普通導(dǎo)數(shù)意義下 q t 在這一點(diǎn)是不能求導(dǎo)數(shù)的 如果我們形式地計(jì)算這個(gè)導(dǎo)數(shù) 則得 這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個(gè)函數(shù)能夠表示這樣的電流強(qiáng)度 為了確定這樣的電流強(qiáng)度 引進(jìn)一稱為Dirac函數(shù) 簡單記成d 函數(shù) 有了這種函數(shù) 對于許多集中于一點(diǎn)或一瞬時(shí)的量 例如點(diǎn)電荷 點(diǎn)熱源 集中于一點(diǎn)的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中的非常窄的脈沖等 就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣 以統(tǒng)一的方式加以解決 d 函數(shù)是一個(gè)廣義函數(shù) 它沒有普通意義下的 函數(shù)值 所以 它不能用通常意義下 值的對應(yīng)關(guān)系 來定義 在廣義函數(shù)論中 d 函數(shù)定義為某基本函數(shù)空間上的線性連續(xù)泛函 但要講清楚這個(gè)定義 需要應(yīng)用一些超出工科院校工程數(shù)學(xué)教學(xué)大綱范圍的知識 為了方便起見 我們僅把d 函數(shù)看作是弱收斂函數(shù)序列的弱極限 對于任何一個(gè)無窮次可微的函數(shù)f t 如果滿足 則稱de t 的弱極限為d 函數(shù) 記為d t 即 或簡記為 這就表明 d 函數(shù)可以看成一個(gè)普通函數(shù)序列的弱極限 其中 對任何 0 顯然有 則由給出的d 函數(shù)的定義 有 工程上將d 函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù) 可將d 函數(shù)用一個(gè)長度等于1的有向線段表示 這個(gè)線段的長度表示d 函數(shù)的積分值 稱為d 函數(shù)的強(qiáng)度 又由d 函數(shù)的定義 可以推出d 函數(shù)的一個(gè)重要結(jié)果 稱為d 函數(shù)的篩選性質(zhì) f t 是無窮次可微函數(shù) 事實(shí)上 由于f t 的無窮次可微函數(shù) 顯然f t 是連續(xù)函數(shù) 按積分中值定理 有 所以 由d 函數(shù)的篩選性質(zhì)可知 對于任何一個(gè)無窮次可微函數(shù)f t 都對應(yīng)著一個(gè)確定的數(shù)f 0 或f t0 這一性質(zhì)使得d 函數(shù)在近代物理和工程技術(shù)中有著較廣泛的應(yīng)用 更進(jìn)一步的還成立 則 如f t 在0點(diǎn)連續(xù) 則在0附近的非常小的一個(gè)領(lǐng)域可以看作是常數(shù)c f 0 因此 任給一個(gè)在 上積分值為1的函數(shù)g t 令 當(dāng) 非常小 時(shí) 則 則 如f t 在0點(diǎn)連續(xù) 則在0附近的非常小的一個(gè)領(lǐng)域可以看作是常數(shù)c f 0 因此 任給一個(gè)在 上積分值為1的函數(shù)g t 令 當(dāng) 非常小 時(shí) 則 圖例 O t O t 工程上將d 函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù) 可將d 函數(shù)用一個(gè)長度等于1的有向線段表示 這個(gè)線段的長度表示d 函數(shù)的積分值 稱為d 函數(shù)的強(qiáng)度 t O d t 1 d 函數(shù)有性質(zhì) d 函數(shù)的Fourier變換為 t O d t 1 w O F w 1 可見 單位脈沖函數(shù)d t 與常數(shù)1構(gòu)成了一Fourier變換對 同理 d t t0 和亦構(gòu)成了一個(gè)Fourier變換對 d 函數(shù)除了重要的篩選性質(zhì)外 還有一些性質(zhì) 1 d 函數(shù)是偶函數(shù) 即 2 其中 稱為單位階躍函數(shù) 3 若f t 為無窮次可微的函數(shù) 則有 一般地 有 t O d t 1 w O F w 1 可見 單位脈沖函數(shù)d t 與常數(shù)1構(gòu)成了一Fourier變換對 同理 d t t0 和亦構(gòu)成了一個(gè)Fourier變換對 在物理學(xué)和工程技術(shù)中 有許多重要函數(shù)不滿足Fourier積分定理中的絕對可積條件 即不滿足條件 例如常數(shù) 符號函數(shù) 單位階躍函數(shù)以及正 余弦函數(shù)等 然而它們的廣義Fourier變換也是存在的 利用單位脈沖函數(shù)及其Fourier變換就可以求出它們的Fourier變換 所謂廣義是相對于古典意義而言的 在廣義意義下 同樣可以說 象函數(shù)F w 和象原函數(shù)f t 亦構(gòu)成一個(gè)Fourier變換對 為了不涉及到 函數(shù)的較深入的理論 我們可以通過Fourier逆變換來推證單位階躍函數(shù)的Fourier變換 例4證明單位階躍函數(shù) 的Fourier變換 為 證事實(shí)上 若 則按Fourier逆變換可得 例4證明單位階躍函數(shù) 的Fourier變換 為 因?yàn)?則 若F w 2pd w 時(shí) 由Fourier逆變換可得 所以1和2pd w 也構(gòu)成Fourier變換對 也構(gòu)成了一個(gè)Fourier變換對 同理 如F w 2pd w w0 由上面兩個(gè)函數(shù)的變換可得 例5求正弦函數(shù)f t sinw0t的Fourier變換 解根據(jù)Fourier變換公式 有 如圖所示 t sint p p w0 w0 O w F w 例求正弦函數(shù)f t cosw0t的Fourier變換 解根據(jù)Fourier變換公式 有 例求函數(shù)f t cosatcosbt的Fourier變換 解根據(jù)Fourier變換公式 有 在頻譜分析中 Fourier變換F w 又稱為f t 的頻譜函數(shù) 而它的模 F w 稱為f t 的振幅頻譜 亦簡稱為頻譜 由于w是連續(xù)變化的 我們稱之為連續(xù)頻譜 對一個(gè)時(shí)間函數(shù)作Fourier變換 就是求這個(gè)時(shí)間函數(shù)的頻譜 3 非周期函數(shù)的頻譜 補(bǔ)充 將周期函數(shù)展開成下面形式 它的物理意義就是把一個(gè)比較復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)看 諧波迭加 成是許多不同頻率的簡諧振動(dòng)的疊加 在電工學(xué)上 這種展開稱為諧波分析 其中 稱為直流分量 稱為一次諧波 又叫基波 依次稱為二次諧波 三次諧波等 再根據(jù)幅振譜可作出頻譜圖 如圖所示 例6作如圖所示的單個(gè)矩形脈沖的頻譜圖 f t 解 單個(gè)矩形脈沖的頻譜函數(shù)為 t E t 2 t 2 此外 振幅函