系統(tǒng)頻域分析課件

1 主要內(nèi)容 第六章系統(tǒng)的頻域分析 連續(xù)系統(tǒng)頻率響應系統(tǒng)零狀態(tài)響應的頻域求解方法連續(xù)周期信號響應的頻域分析方法無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)和理想濾波器信號的抽樣定理離散系統(tǒng)的頻域分析 基于Matalab軟件的系統(tǒng)頻域分析的基本方法 當輸入為虛指數(shù)信號時 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應y t 為 本章假設 所考慮的系統(tǒng)是非因果的 即 且系統(tǒng)的沖激響應是絕對可積 即 設連續(xù)LTI系統(tǒng)的沖激響應為 當輸入信號為時 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為 6 1連續(xù)非周期信號通過系統(tǒng)響應的頻域分析 一 連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應 為系統(tǒng)的頻率響應 系統(tǒng)的頻率響應等于系統(tǒng)沖激響應的Fourier變換 定義 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應y t 為 6 5 的意義 當虛指數(shù)信號作用于LTI系統(tǒng)時 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應仍為同頻率的虛指數(shù)信號 其幅度和相位由系統(tǒng)的頻率響應確定 因此 反映了連續(xù)LTI系統(tǒng)對不同頻率信號的響應特性 若信號f t 的Fourier變換存在 則 記表示系統(tǒng)響應y t 的頻譜函數(shù) 根據(jù)Fourier反變換的定義 有 因此 信號f t 作用于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應y t 為 則f t 作用于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應的頻譜等于激勵信號的頻譜乘以系統(tǒng)的頻率響應 也可用Fourier變換的時域卷積定理直接得到 6 1連續(xù)非周期信號通過系統(tǒng)響應的頻域分析 稱為系統(tǒng)的幅度響應 為系統(tǒng)的相位響應 當h t 為實信號時 由Fourier變換性質(zhì)知 是的偶函數(shù) 是的奇函數(shù) 求系統(tǒng)的頻率響應 6 1連續(xù)非周期信號通過系統(tǒng)響應的頻域分析 系統(tǒng)的頻率響應通常是復值函數(shù) 可用幅度和相位表示為 例6 1已知連續(xù)LTI系統(tǒng)的沖激響應為 解 根據(jù)單邊指數(shù)信號的頻譜函數(shù) 得 求系統(tǒng)的頻率響應和沖激響應 例6 2已知連續(xù)LTI系統(tǒng)的輸入信號為 輸出信號為 解 見圖6 2 可以看成是幅度為 寬度為的方波和幅度為 寬度為的三角波 以及幅度為 寬度為的三角波的疊加 即 例6 3已知信號f t 的頻譜和系統(tǒng)的頻率響應如圖6 1所示 求信號f t 經(jīng)過該系統(tǒng)的響應y t 6 1連續(xù)非周期信號通過系統(tǒng)響應的頻域分析 解 系統(tǒng)響應y t 的頻譜為 其中表示寬度為 幅度為1的三角波信號 由第五章表5 1知 所以 圖6 1例6 3圖 圖6 2例6 3系統(tǒng)響應的頻譜 a b 由 6 8 和 6 11 得系統(tǒng)的頻率響應為 6 1連續(xù)非周期信號通過系統(tǒng)響應的頻域分析 其中f t 為系統(tǒng)的輸入激勵 y t 為系統(tǒng)的輸出響應 線性時不變系統(tǒng)的數(shù)學模型為 二 微分方程描述的LTI系統(tǒng)響應 其中 因此 Fourier變換將系統(tǒng)的微分方程變換為系統(tǒng)的代數(shù)方程 這將簡化了系統(tǒng)的分析和求解 對上式兩邊進行Fourier變換 利用Fourier變換的時域微分特性 得 圖6 4例6 6RC電路系統(tǒng)的幅度響應 根據(jù)電路基本元件電阻 電感 電容的時域特性 可得 6 1連續(xù)非周期信號通過系統(tǒng)響應的頻域分析 電路系統(tǒng)的頻率響應有兩種分析方法 根據(jù)基爾霍夫定律建立系統(tǒng)的微分方程 然后利用Fourier變換求出系統(tǒng)的頻率響應 對電路中的基本元件建立頻域模型 得出基本元件的廣義阻抗 然后利用電路的基本原理求出電路系統(tǒng)的頻率響應 三 電路系統(tǒng)響應 解 圖6 3的基本元件的頻域模型如圖6 5所示 由電路基本原理有 圖6 5RC電路的頻域模型 6 1連續(xù)非周期信號通過系統(tǒng)響應的頻域分析 其中ZR ZL ZC分別表示電阻 電感 電容頻域的廣義阻抗 例6 7利用R C的頻域模型 計算圖6 3所示電路的頻率響應 11 6 2連續(xù)周期信號通過系統(tǒng)響應的頻域分析 一 正弦信號通過系統(tǒng)的響應 設LTI系統(tǒng)的輸入激勵信號為 由Euler公式得 由 6 5 得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為 當h t 是實函數(shù)時 由Fourier變換的對稱性 得 則 6 18 可寫為 其中和分別為系統(tǒng)的幅度響應和相位響應 同理可得余弦信號通過LTI系統(tǒng)的響應為 對 6 21 的每個分量 求其通過系統(tǒng)的響應 然后疊加 即可得到f t 通過系統(tǒng)的響應 設系統(tǒng)頻率響應為 則系統(tǒng)的響應為 試求系統(tǒng)輸入信號為時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應y t 6 2連續(xù)周期信號通過系統(tǒng)響應的頻域分析 因此 正 余弦信號通過LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應y t 仍為同頻率的信號 其幅度由系統(tǒng)的幅度響應確定 其相位相對于輸入信號偏移了 即輸出信號相對輸入信號延遲了 解 由 6 20 可得 例6 8已知LTI系統(tǒng)的頻率響應 二 任意周期信號通過系統(tǒng)的響應 設f t 是周期為T0的周期信號 其Fourier級數(shù)為 利用上兩式 可得 若f t h t 為實函數(shù) 則有 6 2連續(xù)周期信號通過系統(tǒng)響應的頻域分析 解 周期矩形脈沖的Fourier系數(shù)為 例6 8求圖6 6所示周期矩形脈沖信號通過系統(tǒng)時的響應 圖6 6周期矩形脈沖 K是一個正常數(shù) 是輸入信號通過系統(tǒng)后的延遲時間 對上式作Fourier變換 得 故無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)后的頻率響應為 其幅度響應和相位響應分別為 無失真系統(tǒng) 當信號通過傳輸系統(tǒng)時 信號無任何失真 稱這類系統(tǒng)為無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng) 無失真?zhèn)鬏斒侵?輸出信號與輸入信號相比 輸出信號只在幅度因子上和出現(xiàn)時間上與輸入信號有變化 而兩者的波形上無任何變化 即 6 3無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)與理想濾波器 一 無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng) 一個無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)只是理論上的定義 實際無法實現(xiàn) 如果系統(tǒng)在信號帶寬范圍內(nèi)具有較平坦的幅度響應和正比于的相位響應 則將該系統(tǒng)近似看為無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng) 圖6 7無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的幅度和相位響應 6 3無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)與理想濾波器 無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的兩個條件 系統(tǒng)的幅度響應在整個頻率范圍內(nèi)為常數(shù)K 系統(tǒng)的相位響應在整個頻率范圍內(nèi)與成正比 見圖6 7 事實上 實際物理系統(tǒng)的幅度響應不可能在整個頻率范圍內(nèi)為常數(shù) 系統(tǒng)的相位響應也不是的線性函數(shù) 如果系統(tǒng)幅度響應不為常數(shù) 信號通過時產(chǎn)生失真稱為幅度失真 如果系統(tǒng)相位響應不是的線性函數(shù) 信號通過時的失真稱為相位失真 1 求系統(tǒng)幅度響應和相位響應 判斷系統(tǒng)是否為無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng) 2 當輸入為時 求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應 由于系統(tǒng)的幅度響應對所有頻率都為常數(shù) 這類系統(tǒng)稱為全通系統(tǒng) 系統(tǒng)的相位響應不是的線性函數(shù) 因而系統(tǒng)不是無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng) 6 3無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)與理想濾波器 例6 10已知某LTI系統(tǒng)的頻率響應為 解 1 由于系統(tǒng)的頻率響應的分子和分母互為共軛 故 則 系統(tǒng)的幅度響應和相位響應分別為 2 由 6 19 有 圖6 8的實線表示系統(tǒng)輸入信號 虛線為系統(tǒng)輸出信號 可見產(chǎn)生了失真 輸出信號的失真是由于非線性相位引起的 圖6 8系統(tǒng)的輸入和輸出信號 6 3無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)與理想濾波器 濾波器可使信號中一部分頻率分量通過 而使另一部分頻率分量很少通過 信號通過系統(tǒng)時 其頻率分量也會有所改變 在此意義下 任何系統(tǒng)都可看為濾波器 按照容許通過的頻率成分劃分 濾波器分為 低通 高通 帶通和帶阻等 它們的系統(tǒng)幅度響應見圖6 9所示 其中是低通 高通的截頻 和是帶通和帶阻的截頻 本節(jié)重點介紹理想低通濾波器 二 理想濾波器 圖6 9理想濾波器的幅度響應 a 低通 b 高通 c 帶通 d 帶阻 理想低通濾波器的幅度響應在 截止角頻率 恒為1 在通帶之外為0 相位響應在通帶內(nèi)與成線性關系 其頻率響應為 見圖6 10 理想濾波器的通頻帶不是無窮大而是有限值 故也稱帶限系統(tǒng) 信號通過帶限系統(tǒng)時 將產(chǎn)生失真 失真大小取決于帶限系統(tǒng)的通帶寬度和輸入信號的頻帶寬度 即信號與系統(tǒng)的頻率匹配情況 當系統(tǒng)的通帶寬度大于所要傳輸?shù)男盘枎挄r 可認為系統(tǒng)的頻帶寬度足夠?qū)?因而信號通過時就近似認為是無失真?zhèn)鬏?下面分析沖激信號和階躍信號通過理想低通濾波器時的響應 6 3無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)與理想濾波器 圖6 10線性相位理想低通濾波器頻率響應 19 由圖6 11 a 可見 系統(tǒng)的截止頻率的大小與信號失真大小呈現(xiàn)反比關系 沖激響應滯后沖激輸入td時刻 且在t 0也有響應 說明理想低通濾波器是非因果系統(tǒng) 物理不可實現(xiàn) 1沖激響應 系統(tǒng)的沖激響應h t 和系統(tǒng)函數(shù)是一對Fourier變換對 因而有 理想低通濾波器的沖激響應h t 的波形見圖6 11 a 由圖可見 沖激響應的波形是一個抽樣函數(shù) 不同于輸入沖激信號的波形 產(chǎn)生了很大失真 原因是理想低通濾波器是帶限系統(tǒng) 而沖激信號的頻譜為1 其頻帶寬度為無窮大 6 3無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)與理想濾波器 圖6 11理想低通濾波器的響應 a b 20 另外 其波形見圖6 11 b 所示 由圖可見 有以下特點 6 3無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)與理想濾波器 2階躍響應 當單位階躍信號u t 通過理想低通濾波器時 系統(tǒng)的輸出為階躍響應g t 它是單位沖激響應的積分 即 因此 理想低通濾波器的階躍響應為 階躍響應比輸入階躍信號延遲一段時間 當t td時 g t 0 5 階躍響應的波形不像階躍信號波形那樣垂直上升 而需要一段時間建立 階躍響應出現(xiàn)過沖與震蕩 原因是理想低通濾波器是帶限系統(tǒng) 在t td時 階躍響應波形的斜率最大 21 階躍響應從最小值上升到最大值所需時間稱為階躍響應的上升時間tr 上升時間與沖激響應的主瓣寬度一樣 都是 階躍響應的上升時間tr與理想低通濾波器的通帶寬度成反比 7 階躍信號通過理想低通濾波器后 在其間斷點的前后出現(xiàn)了震蕩 震蕩的最大峰值約為階躍突變值的9 左右 8 如果增加濾波器的帶寬 峰值的位置將趨于間斷點 震蕩起伏增多 衰減隨之加快 但峰值卻變化不大 稱這種現(xiàn)象為Gibbs現(xiàn)象 只要理想低通濾波器的帶寬有限 其階躍響應就會出現(xiàn)震蕩 且震蕩的幅度不變 理想低通濾波器的輸出響應有以下主要結論 1 輸出響應的延遲時間取決于理想低通濾波器相位響應的斜率 2 理想低通濾波器的輸出響應在輸入信號不連續(xù)點處產(chǎn)生逐漸上升或下降的波形 上升或下降時間與理想低通濾波器的通頻帶寬成反比 3 理想低通濾波器的通帶寬度與輸入信號的帶寬不相匹配時 輸出就會失真 系統(tǒng)的通帶寬度大于信號的帶寬 則失真較小 反之也然 6 3無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)與理想濾波器 注 實際系統(tǒng)與理想低通濾波器有相似的響應特性 例如RC積分電路 RLC串聯(lián)電路等組成的物理可實現(xiàn)的低通濾波器 22 例6 11求帶通信號通過線性相位理想低通濾波器的響應 解 由表5 1得 利用Fourier變換的頻移特性 得輸入信號的頻譜為 理想低通濾波器的幅度響應和帶通信號頻譜見圖6 12 系統(tǒng)輸出頻譜為 6 3無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)與理想濾波器 1 當時 輸入信號的所有頻率分量都能通過系統(tǒng) 即 系統(tǒng)可認為是無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng) 2 當時 輸入信號的所有頻率分量都不能通過系統(tǒng) 即 此時 系統(tǒng)的輸出為 系統(tǒng)的輸出響應為 23 輸出信號發(fā)生失真 系統(tǒng)不是無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng) 6 3無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)與理想濾波器 3 當時 只有從1到范圍內(nèi)的頻率分量能通過系統(tǒng) 故 因為 系統(tǒng)的輸出響應為 圖6 12例6 11圖 a 系統(tǒng)的幅度響應 b 輸入信號的頻譜 24 抽樣后的離散序列可用連續(xù)信號表示為 圖6 13理想抽樣信號 6 4時域抽樣與抽樣定理 將連續(xù)信號等間隔抽樣的方法在通訊 控制和信號處理領域有廣泛的應用 時域抽樣可表示為 抽樣后的離散序列能否包含原連續(xù)信號的全部信息 抽樣定理解決了該問題 下面首先分析抽樣信號的頻譜 一 信號的時域抽樣 如圖6 13所示 其中T為抽樣間隔 fs 1 T為抽樣頻率 抽樣角頻率 根據(jù)沖激信號的性質(zhì) 有 6 35 表示的過程稱為理想抽樣 fs t 為理想抽樣信號 見圖6 14 周期沖激串信號的Fourier變換為 25 設實信號f t 是帶限的 即在時信號頻譜為零 稱為信號最高角頻率 記 當降低抽樣角頻率時 相鄰之間的間隔將會減小 這就可能使得相鄰的非零值部分發(fā)生重疊 導致抽樣信號的失真 這種由非零值重疊相加而引起的失真稱為混疊 6 36 揭示了連續(xù)信號頻譜與理想抽樣信號頻譜之間的基本關系 理想抽樣信號的頻譜是周期的 其周期為 圖6 14理想抽樣模型 6 4時域抽樣與抽樣定理 由Fourier變換的頻域卷積定理 抽樣信號fs t 的頻譜為 由沖激信號的卷積特性 有 圖6 15分別給出了抽樣角頻率時 理想抽樣信號的頻譜 分析這三種情況下抽樣信號與原信號之間的關系 可以得到它們分別對應著過抽樣 臨界抽樣和欠抽樣 26 6 4時域抽樣與抽樣定理 圖6 15抽樣信號的頻譜 a 原始信號的頻譜 d 抽樣信號的頻譜 b 抽樣信號的頻譜 c 抽樣信號的頻譜 27 上述條件中 是使抽樣信號頻譜不混疊時可取的最小抽樣頻率 稱為Nyquist頻率 是使抽樣信號頻譜不混疊時可取的最大抽樣間隔 稱為Nyquist間隔 6 4時域抽樣與抽樣定理 時域抽樣定理 設帶限實信號f t 的最高角頻率為 則信號f t 可以用等間隔的抽樣值惟一表示 其中抽樣間隔必須不超過1 2fm 或最低抽樣頻率為2fm 二 時域抽樣定理 因而 從抽樣信號fs t 中恢復原信號f t 需滿足兩個條件 信號f t 是帶限的 其頻譜函數(shù)在各處為零 抽樣頻率不能過低 抽樣頻率不小于2fm 或抽樣間隔不大于1 2fm 28 圖6 16例6 12信號的頻譜 6 4時域抽樣與抽樣定理 a 復信號的頻譜 b 抽樣信號的頻譜 其頻譜如圖6 16 b 所示 例6 12一復信號的頻譜如圖6 16 a 所示 試畫出以抽樣角頻率抽樣后信號的頻譜 解 抽樣信號頻譜與原信號頻譜的關系為 雖然抽樣頻率不滿足抽樣定理 但抽樣信號的頻譜仍保留了原信號的全部信息 注意 抽樣定理假設了信號是實的 而實信號的幅度頻譜具有偶對稱性 故不混疊的最低抽樣頻率是信號最高頻率的兩倍 而本例復信號是單邊的 所以不混疊的最低抽樣頻率等于信號的最高頻率 29 6 4時域抽樣與抽樣定理 例5 13設一實帶通信號的頻譜如圖6 17 a 所示 試畫出以抽樣角頻率抽樣后信號的頻譜 解 圖6 17 b 和圖6 17 c 分別畫出了原信號頻譜右移和左移后的波形 抽樣信號頻譜與原信號頻譜的關系為 抽樣信號的頻譜見圖6 17 d 圖6 17