實(shí)驗(yàn)一 離散傅立葉變換DFT.doc

實(shí)驗(yàn)一 離散傅立葉變換試驗(yàn)?zāi)康?理解離散傅立葉變換的基本概念 掌握離散傅立葉變換的應(yīng)用方法離散傅立葉變換傅立葉變換是信號(hào)分析和處理的重要工具。有限長(zhǎng)序列作為離散信號(hào)的一種，在數(shù)字信號(hào)處理種占有著極其重要的位置。對(duì)于有限長(zhǎng)序列，離散傅立葉變換不僅在理論上有著重要的意義，而且有快速計(jì)算的方法快速傅立葉變換。所以在各種數(shù)字信號(hào)處理的運(yùn)算方法中，越來(lái)越起到核心的作用。下面，就對(duì)離散傅立葉變換及其MATLAB函數(shù)應(yīng)用，結(jié)合實(shí)際工程實(shí)例做說(shuō)明。1 傅立葉變換的幾種形式1、非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換可以表示為逆變換為在這里，是模擬角頻率?？梢钥吹剑瑫r(shí)域的連續(xù)函數(shù)造成頻域的非周期譜，時(shí)域的非周期性造成頻域的連續(xù)譜。結(jié)論：非周期連續(xù)時(shí)間函數(shù)對(duì)應(yīng)于一非周期連續(xù)頻域變換函數(shù)。2、周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換周期為的周期性連續(xù)時(shí)間信號(hào)傅立葉變換是離散頻域函數(shù)，可表示為逆變換為這就是經(jīng)常稱之為傅立葉級(jí)數(shù)的變換形式。在這里，也是模擬角頻率?？梢钥吹?，時(shí)域的連續(xù)函數(shù)造成頻率域的非周期譜，頻域函數(shù)的離散造成時(shí)域函數(shù)的周期性。結(jié)論：周期連續(xù)時(shí)間函數(shù)對(duì)應(yīng)于一非周期離散頻域變換函數(shù)。3、非周期離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換可以表示為逆變換為在這里，是數(shù)字頻率，它和模擬角頻率的關(guān)系為。可以看到，時(shí)域的取樣對(duì)應(yīng)于頻域的周期延拓，而時(shí)域函數(shù)的非周期性造成頻域的離散譜。結(jié)論：非周期離散時(shí)間函數(shù)對(duì)應(yīng)于一周期連續(xù)頻域變換函數(shù)。4、周期離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換周期離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換離散傅立葉變換，可以表示為逆變換為可以看到，時(shí)域的取樣對(duì)應(yīng)于頻域的周期延拓，而時(shí)域函數(shù)的周期性造成頻域的離散譜。結(jié)論：周期離散時(shí)間函數(shù)對(duì)應(yīng)于一周期離散頻域變換函數(shù)。2 離散傅立葉變換離散傅立葉級(jí)數(shù)變換是周期序列，仍不便于計(jì)算機(jī)計(jì)算。但離散傅立葉級(jí)數(shù)雖是周期序列，卻只有個(gè)獨(dú)立的數(shù)值，所以它的許多特性可以通過(guò)有限長(zhǎng)序列延拓來(lái)得到。對(duì)于一個(gè)長(zhǎng)度為的有限長(zhǎng)序列，也即只在個(gè)點(diǎn)上有非零值，其余皆為零，即把序列以為周期進(jìn)行周期延拓得到周期序列，則有所以，有限長(zhǎng)序列的離散傅立葉變換（DFT）為逆變換為若將DFT變換的定義寫成矩陣形式，則得到X=Ax，其中DFT變換矩陣A為Dftmtx 函數(shù)：用來(lái)計(jì)算DFT變換矩陣A的函數(shù)調(diào)用方式（1） Adftmta（n）：返回nn的DFT變換矩陣A。若x為給定長(zhǎng)度的行向量，則yx*A，返回x的DFT變換y。（2） Aiconj（dftmtx（n）/n；返回nn的IDFT變換矩陣Ai。應(yīng)用說(shuō)明【實(shí)例1】 A=dftmtx(4) Ai=conj(dftmtx(4)/4運(yùn)行結(jié)果A = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 - 1.0000i -1.0000 0 + 1.0000i 1.0000 -1.0000 1.0000 -1.0000 1.0000 0 + 1.0000i -1.0000 0 - 1.0000iAi = 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0 + 0.2500i -0.2500 0 - 0.2500i 0.2500 -0.2500 0.2500 -0.2500 0.2500 0 - 0.2500i -0.2500 0 + 0.2500i【實(shí)例1-a】求四點(diǎn)矩形序列的DFT。分別是16點(diǎn)和32點(diǎn)等間隔采樣。% DFT的MATLB計(jì)算xn=1 1 1 1; %輸入時(shí)域序列向量xn=R8(n)Xk16=fft(xn,16); %計(jì)算xn的16點(diǎn)DFTXk32=fft(xn,32); %計(jì)算xn的32點(diǎn)DFT%以下為繪圖部分k=0:15;wk=2*k/16; %產(chǎn)生16點(diǎn)DFT對(duì)應(yīng)的采樣點(diǎn)頻率(關(guān)于歸一化值)subplot(3,2,1);stem(wk,abs(Xk16),.); %繪制16點(diǎn)DFT的幅頻特性圖title(a)16點(diǎn)DFT的幅頻特性圖);xlabel(/);ylabel(幅度)subplot(3,2,5);stem(wk,angle(Xk16),.); %繪制16點(diǎn)DFT的相頻特性圖line(0,2,0,0);title(b)16點(diǎn)DFT的相頻特性圖)xlabel(/);ylabel(相位);axis(0,2,-3.5,3.5)k=0:31;wk=2*k/32; %產(chǎn)生32點(diǎn)DFT對(duì)應(yīng)的采樣點(diǎn)頻率(關(guān)于歸一化值)subplot(3,2,2);stem(wk,abs(Xk32),.); %繪制32點(diǎn)DFT的幅頻特性圖title(c)32點(diǎn)DFT的幅頻特性圖);xlabel(/);ylabel(幅度)subplot(3,2,6);stem(wk,angle(Xk32),.); %繪制32點(diǎn)DFT的相頻特性圖line(0,2,0,0);title(d)32點(diǎn)DFT的相頻特性圖);xlabel(/);ylabel(相位);axis(0,2,-3.5,3.5)實(shí)驗(yàn)結(jié)果【實(shí)例2】如果是一個(gè)N16的有限序列，用MATLAB求其DFT的結(jié)果，并畫出其結(jié)果圖，如圖1所示。圖 1 有限長(zhǎng)序列的DFT結(jié)果圖程序N=16;n=0:1:N-1; %時(shí)域采樣xn=sin(n*pi/8)+sin(n*pi/4);k=0:1:N-1; %頻域采樣WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n*k;WNnk=WN.nk;Xk=xn*WNnk;subplot(2,1,1)stem(n,xn);subplot(2,1,2)stem(k,abs(Xk);運(yùn)算結(jié)果Xk = Columns 1 through 5 0.0000 -0.0000 - 8.0000i -0.0000 - 8.0000i 0.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i Columns 6 through 10 -0.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i Columns 11 through 15 0.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i 0.0000 + 8.0000i Column 16 0.0000 + 8.0000iDFT的性質(zhì)兩個(gè)序列和都是N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，設(shè)1、 線性式中a，b為任意常數(shù)。2、 圓周移位一個(gè)有限長(zhǎng)序列的圓周移位定義式中，表示的周期延拓序列的移位有限長(zhǎng)序列圓周移位后的DFT為【實(shí)例3】求有限長(zhǎng)序列的圓周移位。并畫出其結(jié)果圖，如圖52所示。圖 5-2 有限長(zhǎng)序列的圓周移位結(jié)果圖程序N=20;m=10;n=0:1:N-1;x=8*(0.4).n;n1=mod(n+m),N);xm=x(n1+1);subplot(2,1,1)stem(n,x);title(Original Sequence);xlabel(n);ylabel(x(n);subplot(2,1,2)stem(n,xm);title(Circular Shift Sequence);xlabel(n);ylabel(x(n+10)mod20);輸出結(jié)果：x = Columns 1 through 8 8.0000 3.2000 1.2800 0.5120 0.2048 0.0819 0.0328 0.0131 Columns 9 through 16 0.0052 0.0021 0.0008 0.0003 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 Columns 17 through 20 0.0000 0.0000 0.0000 0.00003、圓周卷積假設(shè)則有用表示圓周卷積，則上式可化簡(jiǎn)為MATLAB內(nèi)部用于計(jì)算圓周卷積的函數(shù)Circonv程序如下：實(shí)例4 求序列x1=1 2 3 4 5;x2=1 2 3 4 5 4 3 2 1的圓周卷積。% exa2-6_circle_conv.m, for example 2-6% to test circle_conv.mclear;x1=1 2 3 4 5;x2=1 2 3 4 5 4 3 2 1;N=length(x1)+length(x2)-1;n=0:N-1;n1=0:N-2;n2=0:N-3;y1=circconv(x1,x2,N);y2=circconv(x1,x2,N-1);y3=circconv(x1,x2,N-2);x1=x1 zeros(1,N-length(x1);x2=x2 zeros(1,N-length(x2);Xf1=dft(x1,N);Xf2=dft(x2,N);Xf=Xf1.*Xf2;x=idft(Xf,N);x=real(x);subplot(231)stem(n,x1)title(x1(n)subplot(232)stem(n,x2)title(x2(n)subplot(233)stem(n,x)title(x(n)=IDFT(X(k)subplot(234)stem(n,y1)title(N點(diǎn)圓周卷積)subplot(235)stem(n1,y2)title(