2019年高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和第一課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和練習(xí)新人教A版.docx

第一課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 1.等比數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù),若a1=81,a5=16,則它的前5項(xiàng)和是(B)(A)179(B)211(C)248(D)275解析:由16=81q4,q0得q=,所以S5=211.故選B.2.在等比數(shù)列an中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的兩根,則a6的值是(A)(A)(B)-(C)(D)3解析:依題意得,a4+a8=4,a4a8=3,故a40,a80,因此a60(注:在一個(gè)實(shí)數(shù)等比數(shù)列中,奇數(shù)項(xiàng)的符號相同,偶數(shù)項(xiàng)的符號相同),a6=.故選A.3.等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1等于(C)(A)(B)-(C)(D)-解析:設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=.故選C.4.等比數(shù)列an中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,則公比q等于(C)(A)2(B)(C)4(D)解析:因?yàn)閍3=3S2+2,a4=3S3+2,所以a4-a3=3(S3-S2)=3a3,即a4=4a3,所以q=4,故選C.5.等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=3n-a,則實(shí)數(shù)a的值為(B)(A)0(B)1(C)3(D)不存在解析:法一當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=23n-1,=3.又a1=S1=3-a,a2=23=6,則=.因?yàn)閍n是等比數(shù)列,所以=3,得a=1.故選B.法二由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式知,3n系數(shù)1與-a互為相反數(shù),即-a=-1,則a=1.故選B.6.在14與之間插入n個(gè)數(shù)組成等比數(shù)列,若各項(xiàng)和為,則數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為(B)(A)4(B)5(C)6(D)7解析:設(shè)公比為q,由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式得解之,得則數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為5.故選B.7.中國古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個(gè)問題:“三百七十八里關(guān),初步健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見次日行里數(shù),請公仔細(xì)算相還.”其大意為“有一個(gè)人走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛,每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達(dá)目的地.”則該人最后一天走的路程為(C)(A)24里(B)12里(C)6里(D)3里解析:記每天走的路程里數(shù)為an,易知an是公比q=的等比數(shù)列,S6=378,S6=378,所以a1=192,所以a6=192=6,故選C.8.設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,則an=.解析:由3S1,2S2,S3成等差數(shù)列知,4S2=3S1+S3,可得a3=3a2,所以公比q=3,故等比數(shù)列通項(xiàng)an=a1qn-1=3n-1.答案:3n-19.在等比數(shù)列an中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,則該數(shù)列的前15項(xiàng)和S15=.解析:記b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,b5=a13+a14+a15,依題意bn構(gòu)成等比數(shù)列,其首項(xiàng)b1=1,公比為q=-2,則bn的前5項(xiàng)和即為an的前15項(xiàng)和S15=11.答案:1110.在等比數(shù)列an中,公比q=,且log2a1+log2a2+log2a10=55,則a1+a2+a10=.解析:據(jù)題意知log2(q1+2+9)=log2(q45)=55,即=2100.又an0,所以a1=210,所以S10=211-2.答案:211-211.已知等比數(shù)列前20項(xiàng)和是21,前30項(xiàng)和是49,則前10項(xiàng)和是.解析:由S10,S20-S10,S30-S20成等比數(shù)列,所以(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(21-S10)2=S10(49-21).所以S10=7或S10=63.答案:7或6312.已知數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,Sn=2an+1,求Sn的值.解:因?yàn)镾n=2an+1,所以n2時(shí),Sn-1=2an.因?yàn)閍n=Sn-Sn-1=2an+1-2an,所以3an=2an+1,所以=.又因?yàn)镾1=2a2,所以a2=,所以=,所以an從第二項(xiàng)起是以為公比的等比數(shù)列.所以Sn=a1+a2+a3+an=1+=()n-1.13.知an是等差數(shù)列,滿足a1=3,a4=12,數(shù)列bn滿足b1=4,b4=20,且bn-an為等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.解:(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由題意得d=3,所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,).設(shè)等比數(shù)列bn-an的公比為q,由題意得q3=8,解得q=2.所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.從而bn=3n+2n-1(n=1,2,).(2)由(1)知bn=3n+2n-1(n=1,2,).數(shù)列3n的前n項(xiàng)和為n(n+1),數(shù)列2n-1的前n項(xiàng)和為=2n-1.所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為n(n+1)+2n-1.14.已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=3an+1.(1)求證是等比數(shù)列,并求an的通項(xiàng)公式;(2)求證+.證明:(1)由an+1=3an+1得an+1+=3(an+).又a1+=,所以是首項(xiàng)為,公比為3的等比數(shù)列.所以an+=,因此an的通項(xiàng)公式為an=.(2)由(1)知=.因?yàn)楫?dāng)n1時(shí),3n-123n-1,所以.于是+1+=(1-).所以+0,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,故S40-S30=80,S40=150.答案:15018.已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1,公差d0,且第2項(xiàng),第5項(xiàng),第14項(xiàng)分別是等比數(shù)列bn的第2項(xiàng),第3項(xiàng),第4項(xiàng).(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列cn對于任意nN*均有+=an+1成立,求c1+c2+c3+c2 015+c2 016的值.解:(1)依題意得b2=a2=a1+d,b3=a5=a1+4d,b4=a14=a1+13d,由等比中項(xiàng)得(1+4d)2=(1+d)(1+13d),解得d=2或d=0(舍去),因此an=1+2(n-1)=2n-1,b2=3,b3=9,b4=27,故數(shù)列bn是首項(xiàng)為