批判精神在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的認(rèn)識與實踐.doc

畢 業(yè) 論 文 題 目: 批判精神在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的認(rèn)識與實踐 英文題目: Cognition and practice of the critical spirit in the Study of Mathematics 院 系: 理學(xué)院 專 業(yè): 數(shù)學(xué)教育 姓 名: 毛婷婷 年 級: 2008級 學(xué) 號：20808050201 指導(dǎo)教師: 吳海銀老師二零一一年四月 目錄批判精神在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的認(rèn)識與實踐摘 要 （3） 一、引言 （3）二、在批判精神中進(jìn)步著的數(shù)學(xué) （4）（1）、先來看看數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī) （3） （2）、中、英兩國數(shù)學(xué)符號體系發(fā)展的對比 （4） （3）、走進(jìn)羅馬與中世紀(jì) （5）（4）偉大的笛卡爾與解析幾何 （5）（5）從非歐幾何的誕生中得到的啟示 （5）（6）、布爾巴基學(xué)派的啟示 （5）三、勾股定理的證明 （6） 四、哥尼斯堡七橋問題的發(fā)展與批判精神的作用 （10）五、馬克思和他的數(shù)學(xué)手稿 （13）六、發(fā)展批判性思維能力 （14）七、總結(jié) （15）參考資料 （16）摘 要辯證批判性思維是一種重要的思維形式，它對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神實施素質(zhì)教育具有重要的意義,批判是一種洞察力、辨別力和判斷力。它關(guān)注對論證作多方面的、反思性的分析與考察。批判性思維要求人們用慎思的懷疑態(tài)度去從事活動的傾向和技能，是個體對做什么和相信什么做出合理決策的能力。批判性思維要求在思考的時候需要考慮自己的想法, 包含質(zhì)疑、弄清、主動地思考以及獨立的分析。通過在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中培養(yǎng)和應(yīng)用批判創(chuàng)新精神來增強(qiáng)數(shù)學(xué)創(chuàng)造意識，可以使數(shù)學(xué)的批判創(chuàng)新精神成為數(shù)學(xué)創(chuàng)新和數(shù)學(xué)教育的精神動力源泉。進(jìn)而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率和從本質(zhì)上認(rèn)識數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。關(guān)鍵詞：批判思維 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 應(yīng)用 創(chuàng)新 批判精神在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的認(rèn)識與實踐 一、引言批判精神是促使人類社會進(jìn)步的一種重要的積極的精神。從人類發(fā)展的歷史來看，大到時代更替、社會文明的傳承，小到日常生活的點點滴滴，批判精神都無不顯示著其強(qiáng)大的生命力以及積極的推動作用。正是因為有著批判精神，我們對自身、對社會的認(rèn)知才能不斷深入，才能不斷改進(jìn)不足，才會不斷取得進(jìn)步。我相信，人類只要擁有正確的批判精神，就可以不斷地剖析自我，改造自我，完善自我，從而達(dá)到剖析世界，改造世界，完善世界的終極目的。批判精神在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用很廣泛，因為數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的一門很嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科。在數(shù)學(xué)世界里，只有擁有批判精神，才能有所發(fā)展，才能不斷創(chuàng)新。批判精神應(yīng)用在數(shù)學(xué)中是指以一種平等、寬容和真誠的態(tài)度有目的地對數(shù)學(xué)原理的原有觀點、方法、視角、證明方法、表達(dá)方式、應(yīng)用價值等重新“審視”、“分析”、和再思考，以期發(fā)現(xiàn)問題和解決問題。因此，我們要深入理解批判精神的內(nèi)涵，在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，可以深入思考，用來訓(xùn)練批判性思維，從而不斷提高自己，應(yīng)用到其他方面，也是一種超越自我的途徑。 二、在批判精神中進(jìn)步著的數(shù)學(xué)。翻開任何一部數(shù)學(xué)發(fā)展史，你都不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)每前進(jìn)一步，都伴隨著無數(shù)人奮斗的汗水。數(shù)學(xué)史可說是一部批判與反批判的歷史，從中我們可以看到是無數(shù)的具有批判精神的人推動了歷史的發(fā)展（1）、先來看看數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)由希泊索斯拋出而掀起軒然大波，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在面對自己“萬物皆數(shù)”的信仰被懷疑的時刻，首先是震驚，既而是把反對者殘酷地扔進(jìn)海里喂魚這是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派無自我批判精神的例證，最終他們被歷史的車輪碾得粉碎。相比之下，希泊索斯對自己發(fā)現(xiàn)的真理堅貞不渝，即使被投入海中也在所不惜，最終被歷史永遠(yuǎn)記住。只有卓越的歐多克斯提出了建設(shè)性意見：修改量度和比例理論第二次數(shù)學(xué)危機(jī)由微積分的出現(xiàn)而引起，由于微積分剛出現(xiàn)時主要概念沒有獲得嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)，人們對微積分基礎(chǔ)的本質(zhì)存在著普遍的疑問。但有許多人不是去尋找解決問題的辦法，而是惡劣攻擊。如在英國，牛頓的流數(shù)法遭到了貝克萊主教的猛烈攻擊，只因他是主觀唯心論者，怨恨牛頓的科學(xué)對唯物論的支持。所以，我們后人稱他們?yōu)樽钃鯕v史前進(jìn)的絆腳石第三次數(shù)學(xué)危機(jī)中，也有大批批判與反批判的人物上場，從康托爾的遭遇就可見一斑康托爾可以說是個獨立思考，堅持真理，不畏權(quán)威的典范，而以他導(dǎo)師克朗內(nèi)克為代表的一派對康托爾的態(tài)度與畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對待的態(tài)度是何等的相似！他們粗暴地攻擊康托爾達(dá)10年之久，最終把他逼死在瘋?cè)嗽豪锏?，真理是不可?zhàn)勝的，集合論最終獲得了數(shù)學(xué)界的普遍承認(rèn)后人不會忘記康托爾等人獨立探索的精神，更不會忘記他們在批判與反批判中堅持真理，修改自我的勇氣！（2）、中、英兩國數(shù)學(xué)符號體系發(fā)展的對比先來看看中國的祖沖之，他雖然是個地位不高的小官，但卻成為歷代為數(shù)很少能名列正史的數(shù)學(xué)家之一，何故？因他的“探古異今”、“革新變舊”，更因他與權(quán)臣戴法興的辯論，因他勇敢地直指戴“浮辭虛貶”、“堅執(zhí)偏論”，正因為他的這種堅持真理的批判精神，才有了現(xiàn)今世界范圍廣泛應(yīng)用的值。再看看中國數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)的使用歷程，康熙帝可以說是能正視自己缺點的偉大人物，他請人教他歐幾里得幾何和其他數(shù)學(xué)知識，并采用符號體系。但總的來說，中國人是很舍不得自己的古董的，雖然這個古董有很多不完美的地方，數(shù)學(xué)符號體系的采用就是一個典型例子中國人在很長的一段時間里都堅持“西學(xué)中源說”，這大大阻礙了中國學(xué)習(xí)西方數(shù)學(xué)的積極性，以至在理性思維方面，遠(yuǎn)遠(yuǎn)落在后面，就因為中國人不肯接受西洋文化，以致徐光啟在翻譯幾何原本時還在用“甲、乙、丙、丁”而不是引進(jìn)“1、2、3”而正是中國繁雜的符號體系大大地阻礙了中國數(shù)學(xué)在世界范圍的推廣。英國情況如何呢？英國在世界上是以保守著稱的，表現(xiàn)在對待數(shù)學(xué)的發(fā)展上也如此。以他們對待牛頓與萊布尼茲的微積分成就為例，他們?yōu)榱藞猿趾葱l(wèi)牛頓是第一個發(fā)明微積分的人，這種過激的愛國行為致使他們不愿承認(rèn)萊布尼茲創(chuàng)設(shè)的微積分符號體系的優(yōu)良，而一直采用牛頓的復(fù)雜的符號體系，也因為如此，致使他們在牛頓后的200年里沒有出現(xiàn)多少偉大的數(shù)學(xué)家。從中、英兩國的數(shù)學(xué)發(fā)展史來看，良好的批判與自我批判的氛圍對一個民族的發(fā)展來說是多么重要，固步自封，無自我批判精神帶來的后果是多么沉重！（3）、走進(jìn)羅馬與中世紀(jì)先來看看羅馬人給人類帶來的災(zāi)難，在愷撒的大火燒掉了埃及人的圖書館之后，阿拉伯基督教徒奧馬等人又燒掉了繆斯藝術(shù)館，其原因在于羅馬人只看到了計算的好處，漠視幾何等其他數(shù)學(xué)知識帶給人的智慧與嚴(yán)謹(jǐn)；在于奧馬等人的固執(zhí)己見，無視科學(xué)的優(yōu)點從此歐洲進(jìn)入黑暗的中世紀(jì)，在此期間，由于宗教勢力的猖獗，以至在公元400年到1400年這1000年左右的時期里不但沒有出現(xiàn)多少杰出的數(shù)學(xué)家，而且使以前的很多優(yōu)秀遺產(chǎn)失傳，僅僅保留了一些能為神學(xué)服務(wù)的幾何計數(shù)之類（4）偉大的笛卡爾與解析幾何笛卡爾創(chuàng)立解析幾何是在他艱苦探索、潛心思考、運用科學(xué)的方法，同時批判地繼承前人的成就的結(jié)果他的幾何學(xué)的整個思路與傳統(tǒng)的方法大相徑庭，在這里表現(xiàn)出笛卡爾向傳統(tǒng)和權(quán)威挑戰(zhàn)的巨大勇氣，他認(rèn)為“古人的幾何學(xué)”所思考的只限于形相，而近代的代數(shù)學(xué)則“太受法則和公式的束縛”，因此他主張“采幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)中一切最好的東西，互相取長補短”這種懷疑傳統(tǒng)與權(quán)威、大膽思索創(chuàng)新的精神，正是批判性思維的精神！解析幾何的誕生正是他批判地繼承前人的成就的結(jié)果（5）從非歐幾何的誕生中得到的啟示最先認(rèn)識到非歐幾何是一種邏輯上相容并且可以描述物質(zhì)空間、像歐氏幾何一樣正確的新幾何學(xué)的是高斯，但他生前并沒有發(fā)表過任何關(guān)于非歐幾何的論著。這主要是因為他感到自己的發(fā)現(xiàn)與當(dāng)時流行的康德空間哲學(xué)相抵觸，擔(dān)心世俗的攻擊。后來羅巴切夫斯基公布他的新幾何學(xué)定理時，的確遭到了高斯所預(yù)測的“波哀提亞人的叫囂”。羅巴切夫斯基為了堅持自己的理論，窮盡了一生的精力去研究、去宣傳，堅持不懈，一心一意地完善和發(fā)展自己的新幾何思想。而高斯為羅巴切夫斯基寫的推薦信中只字不提他對非歐幾何的貢獻(xiàn)，正可謂“偉大人物也瘋狂”。 （6）、布爾巴基學(xué)派的啟示 人類的每一次變革都是那些具有批判精神的人引發(fā)的，數(shù)學(xué)也不例外歷史記下了希泊索斯、牛頓、萊布尼茲、康托爾從他們那里我們知道了批判精神對人類發(fā)展的重要性最后，我們還可從布爾巴基學(xué)派那里得到批判性精神對一個人的發(fā)展是多么的重要！ 布爾巴基學(xué)派的成員不定期更換，年齡限制在50歲以下，如果哪一位有前途的青年被注意到并被邀請參加布爾巴基的一次大會而且能經(jīng)受住討論會上“火球般”的攻擊，積極參加討論，就自然而然被吸收為新成員，但如果他只是保持沉默，下次決不會受到邀請布爾巴基學(xué)派成員一般每年舉行兩三次集會，在會上確定由誰來寫數(shù)學(xué)原本的哪些章節(jié)一兩年之后，將所完成的初稿提交大會，然后一頁不漏地大聲宣讀，接受對每個證明的仔細(xì)審查，并且受到無情的批評有時一個題目要幾易作者，第一個人的原稿被否定，由第二個人重寫，下次大會上第二個人的原稿也許會被撕得粉碎，再由第三個人重新開始從確定題目到完成一卷書在書店發(fā)售，平均要花費8至12年的時間布爾巴基學(xué)派歷久不衰，至今已有三四代之久，卻仍保持著旺盛的生命力，就是靠著這種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖黠L(fēng)和批判的精神力量維系著 歷史告訴我們：是批判精神推動著歷史前進(jìn)的車輪！只有具有批判精神的人，才能對自己的事情精益求精；只有具有批判精神的團(tuán)隊，才能一代一代傳承下去；只有具有批判精神的民族，才能列于世界民族前列！去年是偉大的人民數(shù)學(xué)家、民盟前輩華羅庚先生誕辰100周年。不久前，在華老的家鄉(xiāng)江蘇省金壇市，舉辦了“全國華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽”的總決賽和頒獎典禮。決賽是在晚上7點半進(jìn)行的，金壇體育館里擠滿了4000多名青少年兒童。帶著對探索神秘數(shù)學(xué)王國的憧憬，來自菲律賓、馬來西亞、香港、澳門和內(nèi)地的74支代表隊、1000多名小選手參加了比賽，孩子們個個爭先恐后，躍躍欲試，繃緊的小臉上流露出神圣、緊張和興奮，賽場氣氛熱烈而肅穆。比賽中有一個情節(jié)很直的人關(guān)注：當(dāng)主持人出了一道彎彎繞的數(shù)學(xué)題，北京星隊的選手神速搶答“57”，但主持人遺憾地宣布“錯”，正確答案應(yīng)該是“30”。就在大家等待主持人的下一個問題時，戲劇性的場面出現(xiàn)了:北京星隊的選手堅持自己的答案是正確的，星隊的孩子們也一個勁地為他吶喊助威。為保證比賽的正常進(jìn)行，主持人要求孩子們顧全大局，服從評委的裁決，但據(jù)理力爭的孩子，就是不肯放下高高舉起的小手。現(xiàn)場僵持不下，由數(shù)學(xué)界的專家組成的評委只好到臺后重新演算，結(jié)果正確答案就是“57”。敢于挑戰(zhàn)權(quán)威的孩子們贏得了最后的勝利，全場觀眾對他們報以熱烈的掌聲。孩子們的這種敢于挑戰(zhàn)權(quán)威的精神其實就是一種批判精神，值得贊賞，也值得深思。三、勾股定理的證明勾股定理，是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學(xué)的基石”，而且在高等數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中也有著極為廣泛的應(yīng)用。正因為這樣，世界上幾個文明古國都已發(fā)現(xiàn)并且進(jìn)行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。 我國是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國家之一。我國古代數(shù)學(xué)家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據(jù)記載，商高（約公元前1120年）答周公曰“故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。”因此，勾股定理在我國又稱“商高定理”。在公元前7至6世紀(jì)一中國學(xué)者陳子，曾經(jīng)給出過任意直角三角形的三邊關(guān)系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開方除之得邪至日。 在法國和比利時，勾股定理又叫“驢橋定理”。還有的國家稱勾股定理為“平方定理”。 在陳子后一二百年，希臘的著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為“畢達(dá)哥拉斯”定理。為了慶祝這一定理的發(fā)現(xiàn)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做“百牛定理”下面列舉幾種勾股定理的證明方法（1）、（趙爽弦圖）在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2。于是便可得如下的式子： 4（ab/2）+（b-a）2=c2 化簡后便可得： a2+b2=c2 亦即： c=（a2+b2）(1/2) （2）、（歐幾里德(Euclid)射影定理證法）如圖1，RtABC中，ABC=90，BD是斜邊AC上的高，通過證明三角形相似則有射影定理如下： 1）（BD）2;=ADDC， （2）（AB）2;=ADAC ， （3）（BC）2;=CDAC 。 由公式（2）+（3）得： （AB）2;+（BC）2;=ADAC+CDAC =（AD+CD)AC=（AC）2;， 圖1即 （AB）2;+（BC）2;=（AC）2，這就是勾股定理的結(jié)論。 （3）、下圖的證明方法，據(jù)說是L達(dá)芬奇（da Vinci, 14521519）設(shè)計的，用的是相減全等的證明法。 歐幾里得（Euclid）在他的原本第一卷的命題47中，給出了勾股定理的一個極其巧妙的證明，如下圖。由于圖形很美，有人稱其為“修士的頭巾”，也有人稱其為“新娘的轎椅”，實在是有趣。華羅庚教授曾建議將此圖發(fā)往宇宙，和“外星人”去交流。其證明的梗概是：(AC) 2=2SJAB=2SCAD=ADKL。同理，(BC) 2=KEBL所以 (AC) 2+(BC) 2=ADKL+KEBL=(BC) 2(4)、有幾位美國總統(tǒng)與數(shù)學(xué)有著微妙聯(lián)系。G華盛頓曾經(jīng)是一個著名的測量員。T杰弗遜曾大力促進(jìn)美國高等數(shù)學(xué)教育。A林肯是通過研究歐幾里得的原本來學(xué)習(xí)邏輯的。更有創(chuàng)造性的是第十七任總統(tǒng)JA加菲爾德（Garfield, 18311888），他在學(xué)生時代對初等數(shù)學(xué)就具有強(qiáng)烈的興趣和高超的才能。在1876年，（當(dāng)時他是眾議院議員，五年后當(dāng)選為美國總統(tǒng)）給出了勾股定理一個漂亮的證明，曾發(fā)表于新英格蘭教育雜志。證明的思路是，利用梯形和直角三角形面積公式。如次頁圖所示，是由三個直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式，求相同的面積。這種證法，在中學(xué)生學(xué)習(xí)幾何時往往感興趣 即a2+2ab+b2=2ab+c2a2+b2=c2(5)、（梅文鼎圖） 在直角ABC的斜邊AB上向外作正方形ABDE，在直角邊AC上又作正方形ACGF?？梢宰C明（從略），延長GF必過E；延長CG到K，使GK=BC=a，連結(jié)KD，作DHCF于H，則DHCK是邊長為a的正方形。設(shè)五邊形ACKDE的面積=S一方面，S=正方形ABDE面積+2倍ABC面積=c2+ab (1)另一方面，S=正方形ACGF面積+正方形DHGK面積+2倍ABC面積=b2+a2+ab. (2)由(1)，(2)得c2=a2+b2有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有 500余種，僅我國清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法，這是任何定理無法比擬的。數(shù)學(xué)在批判精神中進(jìn)步著，有著批判精神的先人們?yōu)槲覀兲峁┝诉@么多種精彩的證明方法，我們也應(yīng)該批判的繼承下來并且發(fā)揚下去四、哥尼斯堡七橋問題的發(fā)展與批判精神的作用古城哥尼斯堡，景致迷人，碧波蕩漾的普瑞格爾河橫貫其境。普瑞格爾河的兩岸及河中的兩個美麗的小島，由七座橋連接組成了這座秀色怡人的城市（如圖）。古往今來，吸引了無數(shù)的游人駐足于此。 早在十八世紀(jì)，哥尼斯堡屬于東普魯士。那時候，哥尼斯堡市民生活富足。市民們喜歡四處散步，于是便產(chǎn)生這樣的問題：是否可以設(shè)計一種方案，使得人們從自己家里出發(fā)，經(jīng)過每座橋恰好一次，最后回到家里。這便是著名的“哥尼斯堡七橋問題”。熱衷于這個有趣的問題的人們試圖解決它，但一段時間內(nèi)竟然沒有人能給出答案。后來，問題傳到了著名數(shù)學(xué)家歐拉那里，居然也激起了他的興趣。他從人們尋求路線屢遭失敗的教訓(xùn)中敏銳地領(lǐng)悟到，也許這樣的方案根本就不存在。歐拉經(jīng)過悉心的研究，1736年，年方29歲的歐拉終于解決了這個問題，并向圣彼得堡科學(xué)院遞交了一份題為哥尼斯堡的七座橋的論文。論文不僅僅是解決了這一難題，而且引發(fā)了一門新的數(shù)學(xué)分支圖論的誕生。 論文的核心就是著名的“一筆畫原理”： 對滿足下列兩個要求的圖就可以一筆畫出：i.首先是連通圖；ii.其次奇點個數(shù)為0或2，當(dāng)且僅當(dāng)奇點個數(shù)為0時，始點和終點重合，形成的一筆畫稱為歐拉回路，而當(dāng)奇點個數(shù)為2時，形成的一筆畫稱為歐拉跡。 我們知道，對于可一筆畫出的圖，首先必須是連通的；其次對于圖中的某點，如果不是始點或終點，那么它必有進(jìn)有出，即交匯于此點的弧線總是成雙成對的，此點必定是偶點。 如圖，七橋問題的圖的奇點的個數(shù)為4，這表明它不是歐拉回路，也不是歐拉跡，因而，不論始點和終點是否重合都不可能找到一條經(jīng)過七座橋且每座橋只走一次的路線！ 隨著時間的推移，圖論不斷發(fā)展，歐拉回路問題也有所拓廣。就這樣到了二十世紀(jì)，又出現(xiàn)了一個新的問題。 一個郵遞員，每次送信必須從郵局出發(fā)，走遍如圖示的投遞區(qū)域內(nèi)的所有道路，最終回到郵局（圖中路旁各數(shù)字分別表示對應(yīng)路段的長度，單位：華里）。他習(xí)慣按路線KHGFEDCBAIABJDEKJIHK投遞（圖中為郵局）。聰明的讀者朋友，你知道他的路線是最短的嗎？如果不是，請你幫助這位郵遞員設(shè)計一條最短路線，并說明最短路線比他的路線少幾華里？ 1959年，我國山東大學(xué)管梅谷等一批科研人員把物資調(diào)運中的圖上作業(yè)法與一筆畫原理科學(xué)地結(jié)合起來，解決了這類郵遞員投郵路線問題，因此它被數(shù)學(xué)界稱為“中國郵遞員問題”。 下面，我們一起來分析這個問題： 由于網(wǎng)絡(luò)的奇點必定成雙，又圖中奇點有6個，根據(jù)一筆畫原理，此圖不存在歐拉回路，則必須通過添加弧線，使每個頂點均變成偶點，同時考慮添加的弧線長度總和最短才滿足要求。顯然兩奇點間可直接添弧一條；奇點與偶點間添弧一條且此偶點還須與另一奇點添弧一條；兩偶點間不必添弧。 添弧時應(yīng)注意：（1）不能出現(xiàn)重迭添弧。重迭添弧應(yīng)成對抹去，這樣并不改變每一點的奇偶性；（2）每一個圈上的添弧總長不能超過圈長一半。否則應(yīng)將此圈上的原添弧抹去，而在此圈上原沒有添弧的路線上加添弧，這樣也不改變每一點的奇偶性。 注意了（1）、（2），既保證了不改變每點奇偶性，又保證了添弧總長最短。 現(xiàn)在我們看郵遞員的投郵路線，如圖1。添弧后的新圖形已是不含奇點的脈胳，根據(jù)一筆畫原理，這個脈胳的全部弧線可構(gòu)成一條歐拉回路。對照（1）、（2）可知，圖中添弧總長不是最短，必須調(diào)整。顯然在ABJKHI圈中，添弧總長超過了該圈長一半。調(diào)整后，如圖2。此時，添弧不重迭并且每一個圈上的添弧總長都不超過本圈長的一半。另外，每點奇偶性相對于圖1沒有改變，全是偶點。全部弧線仍可構(gòu)成一條歐拉回路，并且這條路線才是最短投郵路線。因此，郵遞員的投郵路線并非最短。 根據(jù)以上分析，最短投郵路線可設(shè)計為：KHGFEDCBAIHIJBJDEKJK或KJKHGFEDCBAIHIJBJDEK等等。此時，最短路線比郵遞員路線少0.8 華里。 中國郵遞員問題的巧妙解決，也使它成為數(shù)學(xué)知識古為今用的典范。 通過對七橋問題的分析，我們可以知道批判精神對數(shù)學(xué)的發(fā)展起著極其重要的作用，數(shù)學(xué)的每一次進(jìn)步都需要人們對從前的結(jié)論進(jìn)行總結(jié)、反思及批判創(chuàng)新。沒有批判精神發(fā)揮的作用，就沒有當(dāng)今數(shù)學(xué)的高度發(fā)展。五、馬克思和他的數(shù)學(xué)手稿數(shù)學(xué)手稿是馬克思主義理論寶庫中的重要文獻(xiàn)，是用馬克思主義統(tǒng)帥自然科學(xué)的光輝樣板。 馬克思在談到他的學(xué)說的時候，曾經(jīng)指出這個學(xué)說的全部價值在于“按其本質(zhì)來說，它是批判的和革命的”。(馬克思恩格斯全集第23卷第24頁)這也正是體現(xiàn)在數(shù)學(xué)手稿中的基本精神。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)手稿，就要學(xué)習(xí)馬克思如何運用歷史的和辯證的科學(xué)方法，揭露和批判數(shù)學(xué)中的唯心論和形而上學(xué);又如何用唯物辯證法對舊的數(shù)學(xué)理論進(jìn)行革命的改造的。只有抓住這個基本精神，才能掌握數(shù)學(xué)手稿的實質(zhì)。 在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，微積分是由牛頓和萊布尼茨大體完成的，但是由于在形而上學(xué)思想的支配下，他們不能理解微積分的本質(zhì)，反而把它神秘化了。這種神秘性，突出地表現(xiàn)在他們進(jìn)行微分演算過程中，為了得出正確的結(jié)果，卻采用了數(shù)學(xué)上不正確的方法，即對某些項的“魔術(shù)般地丟掉”。馬克思指出，造成這種神秘化的根源是“通過形而上學(xué)的解釋來假設(shè)”:由于不能說明微分dx的來源，于是就先假定它存在。以后，達(dá)蘭貝爾曾經(jīng)對牛頓和萊布尼茨的神秘算法作了修正，從而向前邁進(jìn)了一步，但并沒有從根本上放棄牛頓和萊布尼茨的出發(fā)點，因此在他的微分演算中也仍不免“引起了某些形而上學(xué)的恐怖”。拉格朗日的純粹代數(shù)的微分演算，也是直接從牛頓的出發(fā)點開始的。微分學(xué)史證明，不徹底批判牛頓和萊布尼茨的出發(fā)點，不批判隱藏在這個出發(fā)點中的形而上學(xué)思想方法，就不可能揭示微分學(xué)的本質(zhì)。因此，馬克思所著重批判的，不是這些數(shù)學(xué)家的個別錯誤，而是他們的共同的形而上學(xué)思想方法。牛頓、萊布尼茨、達(dá)蘭貝爾、拉格朗日的理論及其改頭換面，都在馬克思的批判之列。馬克思在數(shù)學(xué)手稿中指明:這些數(shù)學(xué)家所共同遵循的微分演算的出發(fā)點意味著他們不能辯證地看待變數(shù)的變化，而把變數(shù)的變化形而上學(xué)地理解為數(shù)量的增減，即用兩個數(shù)的和表示一個數(shù)的變化，把變數(shù)的改變量看作脫離變數(shù)本身的變化而獨立存在的，因而不能從變數(shù)自身的變化中說明dx的來源。馬克思正是深刻地批判了這種形而上學(xué)的思想方法，才粉碎了認(rèn)識微分的思想障礙，廓清了微分學(xué)的本質(zhì)。 馬克思主義的批判是徹底的，是與舊的形而上學(xué)與唯心論的傳統(tǒng)觀念徹底決裂的，但這并不意味著割斷歷史。恰恰相反，馬克思主義是從批判舊世界中發(fā)現(xiàn)新世界的，“破字當(dāng)頭，立也就在其中了?！睂v史上一切正確的東西，都加以批判地吸收。數(shù)學(xué)手稿中對微分學(xué)歷史發(fā)展的論述，體現(xiàn)了馬克思主義的歷史主義。馬克思是在“歷史發(fā)展過程”中來考察微分學(xué)的。他具體分析了人們認(rèn)識微分過程中所經(jīng)歷的三個階段，這就是以牛頓和萊布尼茨為代表的“神秘的微分演算”、以達(dá)蘭貝爾為代表的“理性的微分演算”和以拉格朗日為代表的“純粹代數(shù)的微分演算”。馬克思指出:牛頓和萊布尼茨沒有說明微分的起源，一開始就在微分學(xué)地盤上活動了，因此無法揭露微分學(xué)的秘密。達(dá)蘭貝爾方法和牛頓、萊布尼茨的方法具有直接的聯(lián)系。拉格朗日則相反地從代數(shù)函數(shù)出發(fā)，把一切函數(shù)都看成有待展開的代數(shù)表達(dá)式，使微分演算完全溶化在代數(shù)展開式的演算中，沒有說明代數(shù)學(xué)和微分學(xué)的歷史聯(lián)系，因而他最終也無法治服“神秘的微分演算”，只能用自己“純粹代數(shù)的微分演算”和它簡單地對立起來。馬克思批判地吸取這三個階段所取得的積極成果提出的微分方法，是這三種微分演算歷史發(fā)展的必然結(jié)果。通讀數(shù)學(xué)手稿，可以使我們對馬克思所提出的方法的革命意義有一個深刻的了解，使我們必然得出一個結(jié)論:“除了以這種或那種形式從形而上學(xué)的思維復(fù)歸到辯證的思維，在這里沒有其他任何出路，沒有達(dá)到思想清晰的任何可能?！?自然辯證法第29頁) 歷史的方法和辯證的方法是一致的。馬克思正是應(yīng)用辯證法，通過分析批判各種微分學(xué)理論，并給予革命的改造，才使微分學(xué)恢復(fù)了它歷史的本來面目。六、發(fā)展批判性思維能力批判性思維有程度的區(qū)分，沒有人完全不具備批判性思維能力，也沒有人完全擁有它而不需要改進(jìn)。如何發(fā)展我們的批判性思維能力？美國著名的哲學(xué)家杜威特別強(qiáng)調(diào)，一位好的思考者必須能夠同時把正確的態(tài)度和原則性知識結(jié)合起來，并將二者融合為一。如果非要他在二者之間選擇其一的話，他會選擇正確的態(tài)度。發(fā)展正確的理智態(tài)度并非輕而易舉，就如同生活中做其它有益的事情一樣，需要改變某些習(xí)慣和思考方式，尋找一套好的訓(xùn)練方法，并付諸實踐貫徹執(zhí)行。1、 正確的態(tài)度在日常思維中，缺乏批判性思維的觀念和理智的懷疑與反思態(tài)度是使我們的思考和論證不能盡如人意的重要根源。思考態(tài)度是一種思維傾向，它引導(dǎo)我們朝著好的思考者的方向不斷努力。好的思考者應(yīng)當(dāng)具備什么樣的品格特征？國外的批判性思維專家有諸多不同的看法，我們選擇其中的一組作為樹立批判性思維觀念和態(tài)度的參考： （一）試圖更好地了解世界的好奇心。 （二）能提出創(chuàng)造性的問題。 （三）習(xí)慣問“為什么”，探求維護(hù)一種見解的理由。 （四）使用由可靠的信息來源提供的信息資料。 （五）思考問題顧及整體狀況，對事物的解釋顧及周圍的情境。 （六）思考問題集中，不脫離主題。 （七）思路開闊，善于尋找其它可選擇的方案。 （八）保持開放的思維空間，認(rèn)真考慮他人的意見。 （九）根據(jù)充分的根據(jù)和理由采取或者改變一種觀點或立場。 （十）在根據(jù)和理由不足的情況下，不輕易下判斷。 （十一）盡可能獲得清晰、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼J(rèn)知。 （十二）了解所知的限度，檢視其它的可能性而不是得出結(jié)論的證明本身。 （十三）能意識到個人判斷的局限性和認(rèn)知過程中的偏見。 （十四）有條不紊地處理復(fù)雜的事務(wù)，對下一步的行動步驟有所預(yù)見。 （十五）從他人的表現(xiàn)中敏銳地覺察到他們的情感態(tài)度、知識水平和老練程度。 （十六）能在廣泛的領(lǐng)域運用他們的批判性思維能力。 2、原則性知識正確的態(tài)度和觀念必須與原則性知識結(jié)合起來，才能使批判性思維能力日臻完善。盡管在如何培養(yǎng)批判性思維方面存在不同的意見，在掌握邏輯探究的原則和推理方法的知識方面，卻是大多數(shù)專家所認(rèn)同的。 培養(yǎng)和訓(xùn)練批判性思維能力，需要掌握評估論證的一系列批判性準(zhǔn)則，它包括對所提出的問題是否恰當(dāng)、所給出的理由是否正當(dāng)以及所做出的推理是否強(qiáng)有力進(jìn)行評估的準(zhǔn)則。它假設(shè)良好的信念和明智的決定是建立在對論證進(jìn)行恰當(dāng)?shù)脑u估基礎(chǔ)之上的。對論證的評估是一種反思性思考方式，寬容原則和中立原則是這種思考方式所遵循的基本原則。 對給出的論證的評估必須建立在準(zhǔn)確的理解基礎(chǔ)之上，寬容原則用于對給出的