2016考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)基礎(chǔ)講義.pdf

課程鑄就品質(zhì) 服務(wù)感動學(xué)員 1 2016考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)基礎(chǔ)班 第一章第一章 行列式行列式 1 排列與逆序 定義 由 n 個(gè)自然數(shù)1 2 3 n 組成的無重復(fù)有序?qū)崝?shù)組 12 n i ii 稱為一個(gè) n 級排列 定義 在一個(gè) n 級排列中 如果一個(gè)較大數(shù)排在一個(gè)較小數(shù)前面 我 們就稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序 對于逆序 我們感興趣的是一個(gè) n 級排列 12 n i ii 中逆序的總數(shù) 稱為 n 級 排列的逆序數(shù) 記作 12 n i ii 例 1 1 22 1 1 2 1 2 n n n nnnn 25341 2 行列式的定義 2 n個(gè)數(shù) ij a 1 2 i jn 排成的行列的方形表稱為一個(gè)n階行列式 它表示所 有取自不同行不同列的n個(gè)元素乘積的代數(shù)和 例 11 22 nn a a a 1122nn a aa 11 22 nn a a a 11 22 nn a a a 11 2 1 2 1 11 1 2 1 1 nn nn nn n n n aa aa aa a a a 課程鑄就品質(zhì) 服務(wù)感動學(xué)員 2 3 行列式的性質(zhì) 1 轉(zhuǎn)置不改變行列式的值 2 行列式某行 列 元素的公因子可以提到行列式之外 3 行列式兩行 列 元素成比例 則行列式值為0 例 012 103 230 D 3 012 103 230 T DD 1 4 互換行列式的某兩行 列 行列式的值改變符號 5 行列式的分行 列 可加性 6 行列式某行 列 的倍數(shù)加到另外一行 列 行列式 值不變 例 423 1423 423 aduaadu bevbbev cfwccfw 設(shè) 則 4 行列式的余子式 代數(shù)余子式 劃去元素 ij a所在的行 列 剩下的元素按照原來的順序排成的n 1階行列式稱為 ij a的余子式 記為 ij M 稱 1 i j ijij AM 為 ij a的代數(shù)余子式 例 123 456 789 D 12 M 12 A 5 行列式的展開 1 展開定理 1122iiiiinin Da Aa Aa A 1 2 in 1122jjjjnjnj a Aa Aa A 1 2 jn 2 行列式某一行 列 每個(gè)元素與另一行 列 對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積的和等于0 1122 0 kikiknin a Aa Aa A ki 1122 0 kikinkni a Aa Aa A ki 例 11 12 13 3 3 31 32 33 120 619 ij Daaaa MMxMx 設(shè)有行列式 滿足 余子式 則 6 行列式的計(jì)算 行列式基本方法 利用性質(zhì)及展開 課程鑄就品質(zhì) 服務(wù)感動學(xué)員 3 具體方法 方法一 化三角法 利用性質(zhì)將行列式化為三角型行列式 例 4124 1202 3320 0112 D 0 1 1 11 1 0 1 ni n a a Da a 思考 abbb babb Dbbab bbba 方法二 降階法 利用展開降階 例 求方程 324 220 423 的根 例 2100 1210 0120 0012 n D 方法三 范德蒙行列式 123 2222 123 1 1111 123 1111 n n nij jin nnnn n xxxx xxxxDxx xxxx 例 111 235 4925 222 abc Dabc bccaab 課程鑄就品質(zhì) 服務(wù)感動學(xué)員 4 第二章第二章 矩陣矩陣 第一節(jié) 矩陣及其運(yùn)算 1 矩陣概念 1 定義 11121 21222 12 n n ij m n mmmn aaa aaa Aa aaa 2 特殊矩陣 1 零矩陣 2 n階方陣 3 行矩陣 向量 列矩陣 向量 4 對角矩陣 單位矩陣 2 矩陣的運(yùn)算 1 加法與數(shù)乘 ijijm n ijm n ABab Aka 加法 數(shù)乘 k 2 乘法 1 乘法法則 m nm ss n CAB 2 運(yùn)算律 ABBA A BCABAC BC ABA CA 例 15 321 24 112 31 例 n階矩陣滿足 2 AA 2 BB 2 ABAB 證明 0ABBA 3 轉(zhuǎn)置 ijm n Aa T jin m Aa TT AA T T kAkA T TT ABAB T TT ABB A 注 對稱矩陣與反對稱矩陣 ij n n ij n n Aa Aa 對稱 反對稱 4 方陣的運(yùn)算 1 方陣的冪及其運(yùn)算律 m AAAA mnmmm AAABA B 課程鑄就品質(zhì) 服務(wù)感動學(xué)員 5 例 Tn nAA 設(shè)為 維列向量 求 2 方陣的行列式 n kAkA A BB AAB 3 伴隨矩陣 ijn n Aa 11211 12222 12 n n jin n nnnn n n AAA AAA AA AAA 性質(zhì) A AAAA E 11 1 n n AA AAA kAkAABB A 3 矩陣的逆 定義 基本求逆公式 可逆的充要條件 性質(zhì) 1111 111111 1 0 AAkAAk k ABB AABAB 例 2 320nAAAE 階矩陣 滿足 1 AEAE 證明可逆 并求 例 1 1 3 10 2 AAAA 三階矩陣 滿足 求 4 矩陣分塊 將大矩陣用若干條縱線和橫線分成多個(gè)小矩陣 每個(gè)小矩陣稱為A的子塊 以子塊為元素的形式上的 矩陣稱為分塊矩陣 12 34 2 2 4 4 0002 1000 0100 0010 AA A AA 例 課程鑄就品質(zhì) 服務(wù)感動學(xué)員 6 10000 01000 12100 11010 01001 A 1000 1000 0131 0214 0121 B AB 例 列分塊 11121 21222 12 1 12 n n ijn n m n mmmn aaa aaa x Aa aaa 行分塊 1 2 1 m n m m A 分塊對角形矩陣 1 1 1 00 00 AA BB 1 1 1 00 00 AB BA 1 1 2 2 n n n AA AA 第二節(jié) 矩陣的初等變換與秩 1 初等變換定義 初等行變換 0 ijiij rrrk krkr 初等列變換 0 ijiij ccck kckc 2 初等矩陣 1 定義 由單位陣經(jīng)過一次初等變換而得到的矩陣 2 類型 1 01 10 1 E i j 1 1 E i kk 1 1 1 1 E i j k k 3 性質(zhì) 初等矩陣都是可逆的 其逆仍是初等矩陣 且 1 Ei jE i j 1 1 k Ei kE i 1 Ei j kE i jk 3 初等變換的本質(zhì) 1 ABPAB 一次行變換 1 ABA QB 一次列變換 課程鑄就品質(zhì) 服務(wù)感動學(xué)員 7 例 設(shè)A是3階方陣 將A的第2行加到第1行得B 再將B的第1列的 1倍加到第2列得C 記 110 010 001 P 則 A 1 CP AP B 1 CPAP C T CP AP D T CP A P 4 矩陣等價(jià) 1 定義 ABAB 有限次初等變換 2 性質(zhì) 0 00 r E A 例 求逆 223 110 121 A 223100110010 112010121001 121001223100 110010100143 011011010153 001164001164 A E 5 矩陣的秩 1 定義 r Ar A至少有一個(gè)r階子式不為零0 r D 所有r 1階子式 1 0 r D 都為零 如 1234 0125 2468 A 2 特點(diǎn) 初等變換不改變矩陣的秩 例 求秩 1111 0111 2314 3517 A 11111111 01120112 23240010 35170000 A 6 秩的性質(zhì) 1 0r A 課程鑄就品質(zhì) 服務(wù)感動學(xué)員 8 2 ijm n Aa mi n 0 T r Ar Ar k Am nk 3 P Q可逆 則 r PAr AQr PAQr A 例 4 3 A 2r A 102 020 103 B r AB 4 r ABr Ar B 5 若 m n A n s B 0AB 則 r Ar Bn 例 122 43 311 0 3 AtB ABt 設(shè) 為三階非零矩陣 且 則 第三章第三章 向量向量 第一節(jié) 向量組線性相關(guān)性 1 向量及其運(yùn)算 1 定義 一個(gè)n維數(shù)組稱為一個(gè)n維向量 1 T 1 n n a aa a 2 運(yùn)算 加法 數(shù)乘 2 線性表示 線性組合 定義 11mm xx 3 向量間的關(guān)系的描述 線性相關(guān) 線性無關(guān) 定義 若存在一組不全為0的數(shù) 12 n x xx 使得 1122 0 nn xxx 則稱向量組 12 n 線性相關(guān) 否則稱為線性無關(guān) 注 12 n 線性無關(guān) 例 123 121323 設(shè) 線性無關(guān) 證明 線性無關(guān) 4 性質(zhì)與結(jié)論 課程鑄就品質(zhì) 服務(wù)感動學(xué)員 9 1 線性相關(guān) 無關(guān) 2 含有零向量的向量組一定線性相關(guān) 3 向量組的一個(gè)部分組線性相關(guān) 則向量組一定線性相關(guān) 向量組本身線性無關(guān) 則其任何一個(gè)部分組線性無關(guān) 4 12 n 線性無關(guān) 12 n 線性相關(guān) 則 可由 12 n 線性表示 5 相關(guān)判定 1 線性表示判定 12 12 n n 可由線性表示 不能由線性表示 2 線性相 無 關(guān)判定 12 12 n n 線性相關(guān) 線性無關(guān) 例 向量組 123 1 0 2 1 1 3 1 1 2 1 2 3 TTTT aa 1 a取何值時(shí) 不能由 123 線性表示 2 a 取何值時(shí) 能由 123 線性表示 例 向量組 123 1 3 6 2 2 1 2 1 1 1 2 TTT a 線性相關(guān) 則 a 123 121121 311054 620106 212000 aa 第二節(jié) 向量組的極大無關(guān)組與秩 1 極大線性無關(guān)組與秩 定義 1212 12 1212 1212 12 nr r nr rn n rrr 為一個(gè)向量組 為其一個(gè)部分組 滿足 1 線性無關(guān) 2 中任何一個(gè)向量都可以由線性表示 則稱為向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組 稱為向量組的秩 記為 2 向量組等價(jià) 1212 rs III IIIIII IIIIII 兩個(gè)向量組 若 中任一向量可以由向量組 線性表示 則稱向量組 可由向量組 線性表示 若 與 可以互相線性表示 則稱 與 等價(jià) 課程鑄就品質(zhì) 服務(wù)感動學(xué)員 10 注 等價(jià)向量組有相同的秩 二 常用結(jié)論 1 矩陣的秩與向量組秩的關(guān)系 矩陣的秩矩陣行向量組的秩矩陣列向量組的秩 三秩相等 11121 21222 12 1 12 n n ijn n m n mmmn aaa aaa Aa aaa 2 初等變換意義下的等價(jià)與秩 向量組 矩陣 AB 行變換 1 A B的行向量組等價(jià) 列向量組未必等價(jià) 2 A B的列向量組有相同的線性相關(guān)性 例 設(shè)向量組 1 1 2 3 1 T 2 3 1 5 3 T 3 5 0 7 5 T 4 2 1 2 2 T 求 1 向量組的秩及一個(gè)極大無關(guān)組 2 把其余向量用該極大無關(guān)組表示出來 第四章第四章 線性方程組線性方程組 第一節(jié) 齊次線性方程組 1 齊次線性方程組的定義 11 11221 1 122 0 0 nn mmmnn a xa xa x a xaxa x 注 矩陣形式 0Ax 1 11 21 2 12 22 12 n n mmmn aaa aaa A aaa 1 2 n x x x x 向量形式 1122 0 nn xxx 12 n A 2 方程組的解 1 解的形式 零解 非零解 2 解的線性性質(zhì) 1 2 3 解的判定 1 0Ax r An r An 僅有零解 唯一解 有非零解 無窮多解 課程鑄就品質(zhì) 服務(wù)感動學(xué)員 11 2 nm 時(shí) 0Ax 0 0 A A 只有零解 有非零解 4 解的結(jié)構(gòu) 1 基礎(chǔ)解系的定義 12 12 12 12 0 0 0 t t t t Ax Ax Ax 為齊次線性方程組的解 滿足 1 線性無關(guān) 2 的任意一個(gè)解都可以由 線性表示 則稱 為的一個(gè)基礎(chǔ)解系 注 基礎(chǔ)解系的本質(zhì) 2 基礎(chǔ)解系特點(diǎn)及求法 對于方程組 0 m n Ax 若 r Arn 則其一定有基礎(chǔ)解系 且基礎(chǔ)解系中一定含有 n r 個(gè)向量 故0 m n Ax 的通解為 1 122n rn r xkkk 注 任何 n r 個(gè)線性無關(guān)解都是基礎(chǔ)解系 找解系的指導(dǎo)思想 例 求 1234 1234 1234 0 30 230 xxxx xxxx xxxx 的基礎(chǔ)解系 例 1212 010 101 0 AttAx t Ax 設(shè) 且方程組的基礎(chǔ)解系中 僅含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量 求的通解 第二節(jié) 非齊次線性方程組 1 非齊次線性方程組的定義 11 111 1 1 nn mmnnm a xa xb a xa xb 注 矩陣形式 A xb 1 11 21 2 12 22 12 n n mmmn aaa aaa A aaa 1 2 n x x x x 向量形式 1122nn xxxb 12 n A 2 方程組的解 1 解的形式 無解 僅有一個(gè)解 無窮多個(gè)解 課程鑄就品質(zhì) 服務(wù)感動學(xué)員 12 2 解的線性性質(zhì) 1 2 3 解的判定 1 n n r Ar A Axbr Ar A r Ar A 無解 有唯一解 有無窮多個(gè)解 2 mn 時(shí) 1 1 0 n D D D D AAA 且xbxb 4 解的結(jié)構(gòu) m n Axb r Ar An 1 1n rn r kk x 例 求非齊次方程組的通解 1234 1234 1234 221 245 224 xxxx xxxx xxxx 例 12312 23 3 3 1 1 0 2 1 0 1 3 T T Axbr A Axb 設(shè)四元非齊次方程組 已知是 個(gè)解向量 且 求的通解 第五章第五章 矩陣的特征值與特征矩陣的特征值與特征向量向量 第一節(jié) 方陣的特征值與特征向量 1 內(nèi)積 向量之間的一種運(yùn)算 定義 11 TTn nn aabb 1 12 2 TT n n aba ba b 2 正交組的概念 1 向量正交的定義 2 正交組 正交組與線性無關(guān)組的關(guān)系 正交組 兩兩正交的非0向量組 性質(zhì) 正交組一定線性無關(guān) 反之不真 但線性無關(guān)組可通 Schmidt方法化為正交組 3 Schmidt方法 12 r 正交化 11 21 221 11 課程鑄就品質(zhì) 服務(wù)感動學(xué)員 13 11 11 1111 rrr rrr rr 單位化 1 1 1 2 2 2 4 正交矩陣 1 定義 T AAE 2 性質(zhì) 1 1 1 T T AAA AA AAAA AA 的列 行 向量 正交 正交 正交正交 正組是單位正交交向量組 5 特征值與特征向量 1 定義 A 0 2 求法 1 0 0 n ii EA EA x 得特征值 第二步 得屬 第一步 解 分別解方于程組的特征向量 例 324 202 423 A 3 特征值與特征向量的性質(zhì) 1 1 121122 12 ijn nn nnn n nAan aaatr A A 階矩陣有 個(gè)特征值 且 例 200 0 1 2 5 03 AabAa b b 的特征值為 求的值 2 10 m m A f Aa Aa Aa Ef f A 是 的特征值 是 的一個(gè)特征向量 則 一定有特征值 也是的特征向量 3 特征向量的線性無關(guān)性 屬于不同特征值的特征向量一定線性無關(guān) r r r 課程鑄就品質(zhì) 服務(wù)感動學(xué)員 14 特別地 實(shí)對稱矩陣的特征值全為實(shí)數(shù) 且實(shí)對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量是正交的 第二節(jié) 相似矩陣與矩陣對角化 1 相似矩陣 1 定義 2 相似的性質(zhì) ABAB 有相同的特征多項(xiàng)式 特征值 行列式 秩 反之不真 例 ABABE 若四階矩陣 與 相似 的特征值為1 2 3 4則 2 矩陣對角化 1 定義 A與對角矩陣相似 即 1 n A 則稱A可相似對角化 2 對角化的條件 1 充要條件 n nn n AAn 可對角化有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量 2 充分條件 n nn n AnA 有 個(gè)不同的特征值 則可以對角化 3 實(shí)對稱矩陣一定可以對角化 且存在正交矩陣Q使得 1 1T n Q AQQ AQ 例 133 353 664 A 是否可以對角化 若可