橢圓的弦中點(diǎn)問題_解析版.doc

. WORD格式.資料 .東光一中 高二 年級(jí) 數(shù)學(xué) 學(xué)科課時(shí)練 出題人： 許淑霞 出題時(shí)間：2015.1.22橢圓的中點(diǎn)弦問題學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)：會(huì)求與橢圓的中點(diǎn)弦有關(guān)的問題 掌握一種思想：設(shè)而不求，整體代換的思想體會(huì)兩種方法：判別式法與點(diǎn)差法學(xué)習(xí)重點(diǎn)：能解決與橢圓的中點(diǎn)弦有關(guān)的問題學(xué)習(xí)過程：一、方法總結(jié)：1、與橢圓的弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題，我們稱之為橢圓的中點(diǎn)弦問題。2、解橢圓的中點(diǎn)弦問題的一般方法是：（1）判別式法：聯(lián)立直線和橢圓的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解。（2）點(diǎn)差法：若設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)為、，將這兩點(diǎn)代入橢圓的方程并對(duì)所得兩式作差，得到一個(gè)與弦的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量。我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”。3、設(shè)直線的技巧：（1）直線過定點(diǎn)時(shí)引入?yún)?shù)斜率，利用點(diǎn)斜式設(shè)方程，注意討論斜率存在與不存在兩種情況。（2）直線斜率一定時(shí)引入?yún)?shù)截距，利用斜截式設(shè)方程。（3）已知一般直線可設(shè)直線的斜截式方程，利用條件尋找k與b的關(guān)系。3、直線與橢圓相交所得弦中點(diǎn)問題，是解析幾何中的重要內(nèi)容之一，也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問題。這類問題一般有以下三種類型：（1）求過中點(diǎn)的弦所在直線方程問題；（2）求弦中點(diǎn)的軌跡方程問題；（3）求與中點(diǎn)弦有關(guān)的圓錐曲線的方程二、題型復(fù)習(xí)：（一）、求過中點(diǎn)的弦所在直線方程問題例1、已知橢圓，求過點(diǎn)p(,)且被點(diǎn)p平分的弦所在直線方程注意：解決過中點(diǎn)的弦的問題時(shí)判斷點(diǎn)位置非常重要。（1）若中點(diǎn)在圓錐曲線內(nèi)，則被點(diǎn)平分的弦一般存在；（2）若中點(diǎn)在圓錐曲線外，則被點(diǎn)平分的弦可能不存在。結(jié)論：（1） 設(shè)橢圓的弦AB的中點(diǎn)為P（，則,（2） 設(shè)雙曲線的弦AB的中點(diǎn)為P（則。（3）設(shè)拋物線的弦AB的中點(diǎn)為P（則。練習(xí)1、過橢圓內(nèi)一點(diǎn)M（2，1）引一條弦，使弦被點(diǎn)M平分，求這條弦所在的直線方程。解法一：設(shè)所求直線方程為y-1=k(x-2)，代入橢圓方程并整理得：又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A()，B（），則是方程的兩個(gè)根，于是，又M為AB的中點(diǎn)，所以，解得，故所求直線方程為。解法二：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A()，B（），M（2，1）為AB的中點(diǎn)，所以，又A、B兩點(diǎn)在橢圓上，則，兩式相減得，所以，即，故所求直線方程為。（二）過定點(diǎn)的弦和平行弦的中點(diǎn)軌跡例2：已知橢圓，（1） 過點(diǎn)引橢圓的割線，求割線被橢圓截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程。（2） 求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程。解法一：設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，聯(lián)立方程，消去，整理得，設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為、，中點(diǎn)，則，代入得，即又過點(diǎn)的直線與橢圓相交，所以解得，即，解得。當(dāng)不存在時(shí)，不滿足題設(shè)要求，舍去。所以割線被橢圓截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程是（）解法二：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為、，中點(diǎn)，則兩式相減得，整理得，由題意知，所以，又，所以，整理得。又過點(diǎn)的直線與橢圓相交，與解法一同理可得。所以割線被橢圓截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程是（）注意：當(dāng)定點(diǎn)在圓錐曲線外的時(shí)候一定要驗(yàn)證直線與圓錐曲線相交的條件，并求出（或）的取值范圍；驗(yàn)證斜率不存在的情況是否符合題意。練習(xí)1、 過橢圓上一點(diǎn)P（-8，0）作直線交橢圓于Q點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)的軌跡方程。解法一：設(shè)弦PQ中點(diǎn)M（），弦端點(diǎn)P（），Q（），則有，兩式相減得，又因?yàn)?，所以，所以，而，故?；?jiǎn)可得 （）。解法二：設(shè)弦中點(diǎn)M（），Q（），由，可得，又因?yàn)镼在橢圓上，所以，即，所以PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為 （）。練習(xí)2、已知橢圓的一條弦的斜率為3，它與直線的交點(diǎn)恰為這條弦的中點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)。解：設(shè)弦端點(diǎn)、，弦的中點(diǎn)，則 ， 又 ，兩式相減得即 ，即來源:學(xué).科.網(wǎng)點(diǎn)的坐標(biāo)為。（三）、求與中點(diǎn)弦有關(guān)的圓錐曲線的方程例3、已知中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為的橢圓被直線截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求橢圓的方程。解：設(shè)橢圓的方程為，則設(shè)弦端點(diǎn)、，弦的中點(diǎn)，則， ，又，兩式相減得即 聯(lián)立解得，所求橢圓的方程是練習(xí)3、平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓M：1(ab0)右焦點(diǎn)的直線xy0交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為.(1)求M的方程；解：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則1，1，1，由此可得1.x1x22x0，y1y22y0，a22b2.又由題意知，M的右焦點(diǎn)為(，0)，a2b23.由得a26，b23.M的方程為1.enjoythetrustof得到.的信任have/puttrustin信任intrust受托的，代為保管的take.ontrust對(duì).不加考察信以為真truston信賴giveanewturnto對(duì)予以新的看法turnaround/round轉(zhuǎn)身，轉(zhuǎn)過來，改變意見turnback折回，往回走turnaway趕走