初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料(64)最大-最小值.doc

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題選講(初三.20) 最大 最小值 一、內(nèi)容提要1.求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)，的最大、最小值常用兩種方法：配方法：原函數(shù)可化為y=a(x+)2+.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)(x+)20，若a0時(shí)，當(dāng)x= 時(shí)， y 最小值=；若a0，y，這時(shí)取等號(hào)，則y 為最小值；若a0,b0,a+b=k .(k為定值).那么ab=a(ka)=a2+ka=(ak)2+.當(dāng)a=時(shí)，ab有最大值.證明定理二，用判別式法，也叫構(gòu)造方程法.設(shè)a0,b0,ab=k (k為定值)，再設(shè) y=a+b. 那么y=a+, a2ya+k=0.（這是關(guān)于a的二次議程方程） a 為正實(shí)數(shù)， 0. 即(y)24k 0，y24k0.y2(不合題意舍去)； y 2. y最小值=2.解方程組得a=b=. 當(dāng)a=b=時(shí)，a+b 有最小值 2 .3.在幾何中，求最大、最小值還有下列定理： 定理三：一條邊和它的對(duì)角都有定值的三角形，其他兩邊的和有最大值.當(dāng)這兩邊相等時(shí)，其和的值最大.定理四：一條邊和這邊上的高都有定值的三角形，其他兩邊的和有最小值.當(dāng)這兩邊相等時(shí)，其和的值最小.定理五：周長(zhǎng)相等的正多邊形，邊數(shù)較多的面積較大；任何正多邊形的面積都小于同周長(zhǎng)的圓面積.二、例題例1.已知：3x2+2y2=6x, x和y 都是實(shí)數(shù)，求：x2+y2 的最大、最小值.解：由已知y2=, y是實(shí)數(shù)，y20.即0，6x3x2 0， x22x 0. 解得0x2.這是在區(qū)間內(nèi)求最大、最小值，一般用配方法， x2+y2=x2+=( x3)2+ 在區(qū)間0x2中，當(dāng)x=2 時(shí)，x2+y2有最大值 4. 當(dāng)x=0時(shí)，x2+y2=0是最小值 .例2.已知：一個(gè)矩形周長(zhǎng)的數(shù)值與它面積的數(shù)值相等.求：這個(gè)矩形周長(zhǎng)、面積的最小值.解：用構(gòu)造方程法.設(shè)矩形的長(zhǎng)，寬分別為 a,b 其周長(zhǎng)、面積的數(shù)值為k.那么2(a+b)=ab=k. 即 a和b是方程x2kx+k=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.a,b都是正實(shí)數(shù)，0.即()24k0.解得k16；或k0 .k0不合題意舍去.當(dāng)k16取等號(hào)時(shí)，a+b,ab 的值最小，最小值是16.即這個(gè)矩形周長(zhǎng)、面積的最小值是16.例3.如圖ABC的邊BC=a, 高AD=h, 要剪下一個(gè) 矩形EFGH，問(wèn)EH取多少長(zhǎng)時(shí)，矩形的面積最大？ 最大面積是多少？解：用構(gòu)造函數(shù)法設(shè)EH=x, S矩形=y, 則GH=.AHGABC， . y=. 當(dāng)x=時(shí)，y 最大值 =. 即當(dāng)EH=時(shí)，矩形面積的最大值是.例4.如圖已知：直線m n，A，B，C都是定點(diǎn)，AB=a, AC=b, 點(diǎn)P在AC上，BP的延長(zhǎng)線交直線m于D.問(wèn)：點(diǎn)P在什么位置時(shí)，SPAB+SPCD最??？解：設(shè)BAC=，PA=x, 則PC=bx. mn，.CD=SPAB+SPCD=axSin+(bx) Sin=aSin(=aSin(2x+. 2x =2b2 (定值)，根據(jù)定理二，2x +有最小值. 當(dāng)2x =， x=時(shí)，SPAB+SPCD的最小值是(1)abSin.例5.已知：RtABC中, 內(nèi)切圓O的半徑 r=1.求：SABC的最小值. 解：SABC=ab ab 2S.2r=a+bc,c=a+b2r.a+b2r= . 兩邊平方，得a2+b2+4r2+2ab4(a+b)r= a2+b2. 4r2+2ab4(a+b)r=0. 用r=1,ab=2S 代入，得 4+4S4(a+b) =0. a+b=S+1.ab=2S且a+b=S+1.a,b是方程x2(S+1)x+2S=0 的兩個(gè)根.a,b是正實(shí)數(shù)，0，即 (S+1)242S 0，S26S+10 .解得S3+2或S32. S32不合題意舍去.SABC的最小值是3+2.例6.已知：.如圖ABC中，AB=，C=30.求：a+b 的最大值. 解：設(shè) a+b=y , 則b=ya. 根據(jù)余弦定理，得()2=a2+(ya)22a(ya)Cos30 寫(xiě)成關(guān)于a 的二次方程：(2+)a2(2+)ya+y2(8+4)=0.a 是實(shí)數(shù)，0.即(2+)2y24(2+)y2(8+4)0，y2(8+4)2 0 . (8+4)y (8+4).a+b 的最大值是8+4.又解：根據(jù)定理三 AB和C都有定值. 當(dāng)a=b 時(shí)，a+b 的值最大.由余弦定理，()2=a2b22abCos30可求出a=b=4+2.三、練習(xí)1.x1,x2,x3,x4,x5 滿足. x1+x2+x3+x4+x5=. x1x2x3x4x5，那么. x5的最大值是.(1988年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)2.若矩形周長(zhǎng)是定值20cm,那么當(dāng)長(zhǎng)和寬分別為_(kāi)，_時(shí)，其面積最大，最大面積是_.3.面積為100cm2的矩形周長(zhǎng)的最大值是.4.a,b均為正數(shù)且a+b=ab,那么 a+b的最小值 是_.5.若x0,則x+的最小值是_.6如圖直線上有A、B、C、D四個(gè)點(diǎn).那么到A，B，C，D距離之和為最小值的點(diǎn)，位于，其和的最小值等于定線段.(1987年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)7.如右圖ABC中，AB=2，AC=3，是以AB，BC，CA為邊的正方形，則陰影部份的面積的和的最大值是.(1988年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)8.下列四個(gè)數(shù)中最大的是 ( )（A） tan48+cot48 .(B)sin48+cos48.(C) tan48+cos48. (D)cot48+sin48. (1988年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)9.已知拋物線y=x2+2x+8與橫軸交于B，C兩點(diǎn)，點(diǎn)D平分BC，若在橫軸上側(cè)的點(diǎn)A為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且BAC為銳角，則AD的取值范圍是_(1986年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題) 10.如圖ABC中，C=Rt，CA=CB=1，點(diǎn)P在AB上，PQBC于Q.問(wèn)當(dāng)P在AB上什么位置時(shí)，SAPQ最大？11.ABC中，AB=AC=a，以BC為邊向外作等邊三角形BDC，問(wèn)當(dāng)BAC取什么度數(shù)時(shí)AD最長(zhǎng)？12.已知x2+2y2=1, x,y都是實(shí)數(shù)，求2x+5y2的最大值、最小值.13.ABC中B=，AC=1，求BA+BC的最大值及這時(shí)三角形的形狀.14.直角三角形的面積有定值k,求它的內(nèi)切圓半徑的最大值.15.D，E，F(xiàn)分別在ABC的邊BC、AC、AB上，若BDDC=CEEA=AFFA=k(1k) (0k1). 問(wèn)k取何值時(shí)，SDEF的值最?。?6.ABC中，BC=2，高AD=1，點(diǎn)P，E，F(xiàn)分別在邊BC，AC，AB上，且四邊形PEAF是平行四邊形.問(wèn)點(diǎn)P在BC的什么位置時(shí)，SPEAF的值最大？練習(xí)題參考答案1. 5. 2. 5，5 25. 3. 40cm 4. 4 5. 6 6.BC上，BC+AD.7. 最大值是9，S=32SinBAC,BAC=90度時(shí)值最大.8.(A). 9. 3AD9 10. P在AB中點(diǎn)時(shí)，S最大值=，S=x與x的和有定值，當(dāng)x=x時(shí)，S值最大.11.當(dāng)BAC=120度時(shí)，AD最大，在ABD中，設(shè)BAD=由正弦定理，當(dāng)150=90時(shí)，AD