2016_17學(xué)年高中數(shù)學(xué)1.3.2.1余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案【新人教B版必修】.docx

余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.會(huì)用“五點(diǎn)法”、“圖象變換法”作余弦函數(shù)和yAcos(x)的圖象.(重點(diǎn))2.理解余弦函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)求余弦函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間及最值.(難點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理1余弦函數(shù)的圖象閱讀教材P51內(nèi)容，完成下列問題.把正弦函數(shù)ysin x的圖象向左平移個(gè)單位長度就得到余弦函數(shù)ycos x的圖象，該圖象叫做余弦曲線.圖135用“五點(diǎn)法”作函數(shù)ycos 2x，xR的圖象時(shí)，首先應(yīng)描出的五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是()A.0，2B.0，C.0，2，3，4D.0，【解析】令2x0，和2，得x0，故選B.【答案】B教材整理2余弦函數(shù)的性質(zhì)閱讀教材P52P53內(nèi)容，完成下列問題.1.余弦函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)ycos x定義域R值域1,1奇偶性偶函數(shù)周期性以2k為周期(kZ，k0)，2為最小正周期單調(diào)性當(dāng)x2k，2k2(kZ)時(shí)，遞增；當(dāng)x2k，2k(kZ)時(shí)，遞減最大值與最小值當(dāng)x2k(kZ)時(shí)，最大值為1；當(dāng)x2k(kZ)時(shí)，最小值為12.余弦型函數(shù)yAcos(x)(xR)(其中A，為常數(shù)，且A0，0)的周期T.判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)余弦函數(shù)ycos x是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，對(duì)稱軸有無數(shù)多條.()(2)余弦函數(shù)ycos x的圖象是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形.()(3)在區(qū)間0,3上，函數(shù)ycos x僅在x0時(shí)取得最大值1.()(4)函數(shù)ycos x在上是減函數(shù).()【答案】(1)(2)(3)(4)質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_小組合作型用“五點(diǎn)法”作余弦型函數(shù)的圖象用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y2cosx，x0,2的簡圖.【精彩點(diǎn)撥】在0,2上找出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，用光滑的曲線連接即可.【自主解答】列表：x02cos x101012cos x32123描點(diǎn)連線，如圖1.“五點(diǎn)法”是作三角函數(shù)圖象的常用方法，“五點(diǎn)”即函數(shù)圖象最高點(diǎn)、最低點(diǎn)、與x軸的交點(diǎn).2.列表、描點(diǎn)、連線是“五點(diǎn)法”作圖過程中的三個(gè)基本環(huán)節(jié)，注意用光滑的曲線連接五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).再練一題1.用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y32cos x，x0,2的簡圖.【解】按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表，描點(diǎn)畫出圖象(如圖).x02cos x10101y32cos x13531求余弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求函數(shù)ycos的單調(diào)遞減區(qū)間.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：72010027】【精彩點(diǎn)撥】本題中自變量的系數(shù)為負(fù)，故首先利用誘導(dǎo)公式，將ycos化為ycos形式，故只需求ycos的單調(diào)遞減區(qū)間即可.【自主解答】ycoscos，令zx，則ycos z，即2kz2k，kZ，2kx2k，kZ，2kx2k，kZ.故函數(shù)ycos的單調(diào)遞減區(qū)間為，kZ.1.求形如yAcos(x)b(其中A0，w0，b為常數(shù))的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以借助于余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過解不等式求得.2.具體求解時(shí)注意兩點(diǎn)：要把x看作一個(gè)整體，若0，0時(shí)，將“x”代入余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以解得與之單調(diào)性一致的單調(diào)區(qū)間；當(dāng)A0時(shí)同樣方法可以求得與余弦函數(shù)單調(diào)性相反的單調(diào)區(qū)間.再練一題2.(2016南京高一檢測(cè))求函數(shù)y2的單調(diào)遞增區(qū)間.【解】y22.結(jié)合y|cos x|的圖象.由kxk(kZ)得kxk(kZ).所以函數(shù)y2的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ).有關(guān)三角函數(shù)的最值問題已知函數(shù)y1abcos x的最大值是，最小值是，求函數(shù)y4asin 3bx的最大值.【精彩點(diǎn)撥】欲求函數(shù)y的最大值，須先求出a，b，為此可利用函數(shù)y1的最大、最小值，結(jié)合分類討論求解.【自主解答】函數(shù)y1的最大值是，最小值是.當(dāng)b0時(shí)，由題意得當(dāng)b0時(shí)，由題意得因此y2sin 3x或y2sin 3x.函數(shù)的最大值均為2.1.對(duì)于求形如yacos xb的函數(shù)值域問題，一般情況下只要注意到余弦函數(shù)的性質(zhì)“有界性”即可解決.注意當(dāng)x有具體范圍限制時(shí)，需考慮cos x的范圍.2.求解此類問題時(shí)，要先求三角函數(shù)值的范圍，然后再根據(jù)其系數(shù)的正負(fù)性質(zhì)求解.再練一題3.(2016日照高一檢測(cè))函數(shù)ysin2xcos x的值域?yàn)開.【解析】設(shè)cos xt，因?yàn)閤，則t，所以y1cos2xcos x2，t，故當(dāng)t，即x時(shí)，ymax；當(dāng)t1，即x0時(shí)，ymin1.所以函數(shù)的值域?yàn)?【答案】探究共研型與正弦、余弦函數(shù)圖象有關(guān)的零點(diǎn)問題探究1方程sin xx的實(shí)根個(gè)數(shù)有多少個(gè)？【提示】在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出ysin x，yx圖象可知在x0,1內(nèi)，sin x1時(shí)不會(huì)相交，所以方程只有一個(gè)實(shí)根為0.探究2函數(shù)f (x)cos x在0，)內(nèi)有多少個(gè)零點(diǎn)？【提示】令f (x)0，所以cos x分別作出y，ycos x可知兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，所以f (x)在0，)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).判斷方程cos x0根的個(gè)數(shù).【精彩點(diǎn)撥】當(dāng)求解的方程不是普通方程時(shí)，經(jīng)常采用數(shù)形結(jié)合法求解，即分別畫出兩個(gè)函數(shù)圖象來求方程解的個(gè)數(shù).【自主解答】設(shè)f (x)，g(x)cos x，在同一直角坐標(biāo)系中畫出f (x)與g(x)的圖象，如圖：由圖可知，f (x)與g(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，故方程cos x0有三個(gè)根.1.求f (x)Asin x0(A0)或f (x)Acos x0(A0)的根的個(gè)數(shù)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由于正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象都是介于y1與y1之間，只需考慮Af (x)A的x的范圍，在該范圍內(nèi)f (x)的圖象與Asin x或Acos x的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即方程根的個(gè)數(shù).2.準(zhǔn)確畫出圖象是解決此類問題的關(guān)鍵，同時(shí)要注意相關(guān)問題的求解.再練一題4.求下列方程解的個(gè)數(shù)：(1)方程x2cos x0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是_.(2)方程sin xlg x的解的個(gè)數(shù)是_.【解析】(1)作函數(shù)ycos x與yx2的圖象，如圖所示，由圖象，可知原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.(2)建立坐標(biāo)系xOy，先用五點(diǎn)法畫出函數(shù)ysin x，x0,2的圖象，再依次向左、右連續(xù)平移2個(gè)單位，得到y(tǒng)sin x的圖象.描出點(diǎn)，(1,0)，(10,1)，并用光滑曲線連接得到y(tǒng)lg x的圖象，如圖所示.由圖象可知方程sin xlg x的解有3個(gè).【答案】(1)2(2)31.函數(shù)ycos x與函數(shù)ycos x的圖象()A.關(guān)于直線x1對(duì)稱B.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.關(guān)于x軸對(duì)稱 D.關(guān)于y軸對(duì)稱【解析】作出函數(shù)ycos x與函數(shù)ycos x的簡圖(略)，易知它們關(guān)于x軸對(duì)稱，故選C.【答案】C2.下列函數(shù)中，周期為的是()A.ysin B.ysin 2xC.ycos D.ycos 4x【解析】T，4.【答案】D3.(2016濟(jì)南高一檢測(cè))函數(shù)ysin是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：72010028】A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù) D.即是奇函數(shù)又是偶函數(shù)【解析】ysinsinsincos x，函數(shù)ysin是偶函數(shù).【答案】B4.(2016山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一檢測(cè))函數(shù)ycos(x)，x0,2的單調(diào)遞減區(qū)間是_.【解析】ycos(x)cos x，其單調(diào)遞減區(qū)間為0，.【答案】0，5.用五點(diǎn)法作出函數(shù)y1cos x(0x2)的簡圖.【解】列表：x02cos x101011cos x01210描點(diǎn)連線，如圖.我還有這些不足：(1)_(2)_我的課下提升方案：(1)_(2)_學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(十)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1.(2016廣州高一檢測(cè))已知函數(shù)f (x)cos x，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.函數(shù)f (x)的最小正周期為2B.函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)C.函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于直線x0對(duì)稱D.函數(shù)f (x)是奇函數(shù)【解析】f (x)cos x的圖象即為函數(shù)f (x)cos x的圖象繞x軸翻轉(zhuǎn)而成的，A、B、C均正確，函數(shù)f (x)應(yīng)是偶函數(shù)，故選D.【答案】D2.(2016南昌高一檢測(cè))函數(shù)y|cos x|1的最小正周期是()A.2k(kZ)B.3C. D.2【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y|cos x|1的周期同函數(shù)y|cos x|的周期一致，由函數(shù)y|cos x|的圖象知其最小正周期為，所以y|cos x|1的最小正周期也為，故選C.【答案】C3.函數(shù)y12cosx的最小值，最大值分別是()A.1,3 B.1,1C.0,3 D.0,1【解析】cosx1,1，2cosx2,2，y12cosx1,3的最小值為1，最大值為3.【答案】A4.下列關(guān)系式中正確的是()A.sin 11cos 10sin 168B.sin 168sin 11cos 10C.sin 11sin 168cos 10D.sin 168cos 10sin 11【解析】sin 168sin(18012)sin 12cos 78，sin 11cos 79.由余弦函數(shù)的單調(diào)性得cos 79cos 78cos 10，即sin 11sin 168|cos x|的x的取值范圍是()A. B.C. D.【解析】sin x|cos x|，sin x0，x(0，)，在同一坐標(biāo)系中畫出ysin x，x(0，)與y|cos x|，x(0，)的圖象，觀察圖象易得x.【答案】A二、填空題6.函數(shù)y2cos的最小正周期為4，則_.【解析】4，.【答案】7.利用余弦曲線，寫出滿足cos x0，x0,2的x的區(qū)間是_.【解析】畫出ycos x，x0,2上的圖象如圖所示.cos x0的區(qū)間為.【答案】8.(2016徐州高一檢測(cè))函數(shù)ylg(2cos x)的定義域?yàn)開.【解析】由題意知2cos x0，即cos x，所以2kx2k(kZ)，即函數(shù)的定義域?yàn)?kZ).【答案】(kZ)三、解答題9.判斷下列函數(shù)的奇偶性，并求它們的周期.(1)y3cos 2x，xR；(2)ycos，xR.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：72010029】【解】(1)把2x看成一個(gè)新的變量u，那么cos u的最小正周期為2，這就是說，當(dāng)u增加到u2且必須至少增加到u2時(shí)，函數(shù)cos u的值重復(fù)出現(xiàn).而u22x22(x)，所以當(dāng)自變量x增加到x且必須至少增加到x時(shí)，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)，因此，y3cos 2x的周期為.yf (x)3cos 2x，f (x)3cos(2x)3cos 2x，y3cos 2x為偶函數(shù).(2)函數(shù)ycos的周期T.xR，且f (x)cossinx，f (x)sinsinxf (x)，ycos為奇函數(shù).10.求函數(shù)ysin2xacos xa的最大值為1時(shí)a的值.【解】y1cos2xacos xa2a.因?yàn)閏os x1,1，要使y最大，則必須滿足2最小.當(dāng)1，即a2(舍去)；當(dāng)11，即2a2時(shí)，若cos x，則ymax.由題設(shè)，令1，得a1(舍去正值)；當(dāng)1，即a2時(shí)，若cos x1，則ymax，由題設(shè)，令1，得a5.綜上所述a5或a1.能力提升1.(2016濰坊高一檢測(cè))函數(shù)ycos的()A.最小正周期為2B.圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C.圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.圖象關(guān)于x軸對(duì)稱【解析】函數(shù)ycos的周期為：.所以A不正確；函數(shù)ycossin 2x，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)取得0，函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B不正確，D不正確.【答案】C2.(2014江蘇高考)已知函數(shù)ycos x與ysin(2x)(0)，它們的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為的交點(diǎn)，則的值是_.【解析】由題意，得sincos，因?yàn)?，所以.【答案】3.已知函數(shù)f (x)2cos x(0)，且函數(shù)yf (x)的圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為.(1)求f 的值；(2)將函數(shù)yf