2020版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)、解三角形第7節(jié)解三角形應(yīng)用舉例習(xí)題理（含解析）新人教A版.docx

第7節(jié)解三角形應(yīng)用舉例最新考綱能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識方法解決一些與測量、幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.知 識 梳 理1.仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖1).2.方位角從正北方向起按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角.如B點(diǎn)的方位角為(如圖2).3.方向角：正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，如南偏東30，北偏西45等.4.坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.5.解決與平面幾何有關(guān)的計(jì)算問題關(guān)鍵是找清各量之間的關(guān)系，從而應(yīng)用正、余弦定理求解.微點(diǎn)提醒1.不要搞錯各種角的含義，不要把這些角和三角形內(nèi)角之間的關(guān)系弄混.2.在實(shí)際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易出現(xiàn)錯誤.基 礎(chǔ) 自 測1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)東北方向就是北偏東45的方向.()(2)從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關(guān)系為180.()(3)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為.()(4)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系.()解析(2)；(3)俯角是視線與水平線所構(gòu)成的角.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修5P11例1改編)如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離為50 m，ACB45，CAB105后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為()A.50 m B.50 m C.25 m D. m解析由正弦定理得，又CBA30，AB50(m).答案A3. (必修5P15練習(xí)T3改編)如圖所示，D，C，B三點(diǎn)在地面的同一條直線上，DCa，從C，D兩點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角分別為60，30，則A點(diǎn)離地面的高度AB_.解析由已知得DAC30，ADC為等腰三角形，ADa，所以在RtADB中，ABADa.答案a4.(2019雅禮中學(xué)月考)如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40，燈塔B在觀察站南偏東60，則燈塔A在燈塔B的()A.北偏東10 B.北偏西10C.南偏東80 D.南偏西80解析由條件及圖可知，ACBA40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此燈塔A在燈塔B的南偏西80.答案D5.(2017浙江卷)我國古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率，理論上能把的值計(jì)算到任意精度.祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年.“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S6，S6_.解析如圖，連接正六邊形的對角線，將正六邊形分成六個邊長為1的正三角形，從而S6612sin 60.答案6.(2018福州模擬)如圖，在ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，ADAC，sin BAC，AB3，AD3，則BD的長為_.解析因?yàn)閟inBAC，且ADAC，所以sin，所以cosBAD，在BAD中，由余弦定理，得BD.答案考點(diǎn)一求距離、高度問題多維探究角度1測量高度問題【例11】 如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30的方向上，行駛600 m后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75的方向上，仰角為30，則此山的高度CD_m.解析由題意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300(m).在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m).答案100規(guī)律方法1.在處理有關(guān)高度問題時，要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵.2.在實(shí)際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯.3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.【訓(xùn)練1】 如圖，測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點(diǎn)C與D，測得BCD15，BDC30，CD30，并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為60，則塔高AB等于()A.5 B.15 C.5 D.15解析在BCD中，CBD1801530135.由正弦定理得，所以BC15.在RtABC中，ABBCtan ACB1515.答案D角度2測量距離問題【例12】 如圖所示，某旅游景點(diǎn)有一座風(fēng)景秀麗的山峰，山上有一條筆直的山路BC和一條索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2個小時的時間進(jìn)行徒步攀登，已知ABC120，ADC150，BD1 km，AC3 km.假設(shè)小王和小李徒步攀登的速度為每小時1 250米，請問：兩位登山愛好者能否在2個小時內(nèi)徒步登上山峰？(即從B點(diǎn)出發(fā)到達(dá)C點(diǎn))解在ABD中，由題意知，ADBBAD30，所以ABBD1 km，因?yàn)锳BD120，由正弦定理得，解得AD km，在ACD中，由AC2AD2CD22ADCDcos 150，得93CD22CD，即CD23CD60，解得CD km(負(fù)值舍去)，BCBDCD km，兩個小時小王和小李可徒步攀登1 25022 500米，即2.5千米，而2.5，所以兩位登山愛好者可以在兩個小時內(nèi)徒步登上山峰.規(guī)律方法1.選定或確定要創(chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解.2.確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理.【訓(xùn)練2】 海輪“和諧號”從A處以每小時21海里的速度出發(fā)，海輪“奮斗號”在A處北偏東45的方向，且與A相距10海里的C處，沿北偏東105的方向以每小時9海里的速度行駛，則海輪“和諧號”與海輪“奮斗號”相遇所需的最短時間為_小時.解析設(shè)海輪“和諧號”與海輪“奮斗號”相遇所需的最短時間為x小時，如圖，則由已知得ABC中，AC10，AB21x，BC9x，ACB120.由余弦定理得：(21x)2100(9x)22109xcos 120，整理，得36x29x100，解得x或x(舍). 所以海輪“和諧號”與海輪“奮斗號”相遇所需的最短時間為小時.答案考點(diǎn)二測量角度問題【例2】 已知島A南偏西38方向，距島A3海里的B處有一艘緝私艇.島A處的一艘走私船正以10海里/時的速度向島嶼北偏西22方向行駛，問緝私艇朝何方向以多大速度行駛，恰好用0.5小時能截住該走私船？解如圖，設(shè)緝私艇在C處截住走私船，D為島A正南方向上一點(diǎn)，緝私艇的速度為每小時x海里，則BC0.5x，AC5，依題意，BAC1803822120，由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos 120，所以BC249，所以BC0.5x7，解得x14.又由正弦定理得sinABC，所以ABC38，又BAD38，所以BCAD，故緝私艇以每小時14海里的速度向正北方向行駛，恰好用0.5小時截住該走私船.規(guī)律方法1.測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解.2.方向角是相對于某點(diǎn)而言的，因此在確定方向角時，必須先弄清楚是哪一個點(diǎn)的方向角.【訓(xùn)練3】 如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m，50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角CAD等于()A.30 B.45 C.60 D.75解析依題意可得AD20 m，AC30 m，又CD50 m，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45.答案B考點(diǎn)三正(余)弦定理在平面幾何中的應(yīng)用【例3】 (2019洛陽二模)如圖，已知扇形的圓心角AOB，半徑為4，若點(diǎn)C是上的一動點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合).(1)若弦BC4(1)，求的長；(2)求四邊形OACB面積的最大值.解(1)在OBC中，BC4(1)，OBOC4，所以由余弦定理得cosBOC，所以BOC，于是的長為4.(2)設(shè)AOC，則BOC，S四邊形OACBSAOCSBOC44sin 44sin24sin 8cos 16sin，由于，所以，當(dāng)時，四邊形OACB的面積取得最大值16.規(guī)律方法1.把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解.2.尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果，求解時要靈活利用平面幾何的性質(zhì)，將幾何性質(zhì)與正弦、余弦定理有機(jī)結(jié)合起來.【訓(xùn)練4】 (2019成都診斷)如圖，在平面四邊形ABCD中，已知A，B，AB6.在AB邊上取點(diǎn)E，使得BE1，連接EC，ED.若CED，EC.(1)求sinBCE的值；(2)求CD的長.解(1)在BEC中，由正弦定理，知，因?yàn)锽，BE1，CE，所以sinBCE.(2)因?yàn)镃EDB，所以DEABCE，所以cosDEA.因?yàn)锳，所以AED為直角三角形，又AE5，所以ED2.在CED中，CD2CE2DE22CEDEcosCED7282249.所以CD7.思維升華利用解三角形解決實(shí)際問題時：(1)要理解題意，整合題目條件，畫出示意圖，建立一個三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函數(shù)模型中，要確定相應(yīng)參數(shù)和自變量范圍，最后還要檢驗(yàn)問題的實(shí)際意義.易錯防范在三角形和三角函數(shù)的綜合問題中，要注意邊角關(guān)系相互制約，推理題中的隱含條件.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1.在相距2 km的A，B兩點(diǎn)處測量目標(biāo)點(diǎn)C，若CAB75，CBA60，則A，C兩點(diǎn)之間的距離為()A. km B. km C. km D.2 km解析如圖，在ABC中，由已知可得ACB45，AC2(km).答案A2.如圖所示，為了測量某湖泊兩側(cè)A，B間的距離，李寧同學(xué)首先選定了與A，B不共線的一點(diǎn)C(ABC的角A，B，C所對的邊分別記為a，b，c)，然后給出了三種測量方案：測量A，C，b；測量a，b，C；測量A，B，a.則一定能確定A，B間的距離的所有方案的序號為()A. B. C. D.解析對于可以利用正弦定理確定唯一的A，B兩點(diǎn)間的距離，對于直接利用余弦定理即可確定A，B兩點(diǎn)間的距離.答案D3.一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是()A.10海里 B.10海里C.20海里 D.20海里解析如圖所示，易知，在 ABC中，AB20，CAB30，ACB45，根據(jù)正弦定理得，解得BC10(海里).答案A4.(2019深圳模擬)一架直升飛機(jī)在200 m高度處進(jìn)行測繪，測得一塔頂與塔底的俯角分別是30和60，則塔高為()A. m B. mC. m D. m解析如圖所示.在RtACD中可得CDBE，在ABE中，由正弦定理得，則AB，所以DEBC200(m).答案A5.如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75，30，此時氣球的高是60 m，則河流的寬度BC等于()A.240(1)m B.180(1)mC.120(1)m D.30(1)m解析如圖，ACD30，ABD75，AD60 m，在RtACD中，CD60(m)，在RtABD中，BD60(2)(m)，BCCDBD6060(2)120(1)(m).答案C二、填空題6.如圖，在ABC中，B45，D是BC邊上一點(diǎn)，AD5，AC7，DC3，則AB_.解析在ACD中，由余弦定理可得cos C，則sin C.在ABC中，由正弦定理可得，則AB.答案7.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿DC走到C用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為_米.解析連接OC，由題意知CD150米，OD100米，CDO60.在COD中，由余弦定理得OC2CD2OD22CDODcos 60，即OC50.答案508.如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援，則cos 的值為_.解析在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800BC20.由正弦定理，得sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB為銳角，則cosACB.由ACB30，得cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.答案三、解答題9.如圖，航空測量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的飛行高度為10 000 m，速度為50 m/s.某一時刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5，經(jīng)過420 s后看山頂?shù)母┙菫?5，則山頂?shù)母叨葹槎嗌倜祝?取1.4，1.7)解如圖，作CD垂直于AB的延長線于點(diǎn)D，由題意知A15，DBC45，所以ACB30，AB5042021 000(m).又在ABC中，所以BCsin 1510 500().因?yàn)镃DAD，