2015屆高考理科數(shù)學(xué)一輪-第九章-計(jì)數(shù)原理、概率復(fù)習(xí)題解析9.8二項(xiàng)分布及其應(yīng)用

第8課時二項(xiàng)分布及其應(yīng)用1了解條件概率和兩個事件相互獨(dú)立的概念2理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布3能解決一些簡單的實(shí)際問題對應(yīng)學(xué)生用書P184【梳理自測】一、條件概率1(教材改編)已知P(AB)，P(A)，則P(B|A)_.2把一枚硬幣連續(xù)拋兩次，記“第一次出現(xiàn)正面”為事件A，“第二次出現(xiàn)正面”為事件B，則P(B|A)等于()A.B.C. D.答案：1.2.A以上題目主要考查了以下內(nèi)容：(1)對于任何兩個事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號P(B|A)來表示，其公式為P(B|A).在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的個數(shù)，則P(B|A).(2)條件概率具有的性質(zhì)：0P(B|A)1；如果B和C是兩互斥事件，則P(BC|A)P(B|A)P(C|A)二、相互獨(dú)立事件1在一段時間內(nèi)，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定兩人的行動相互之間沒有影響，那么在這段時間內(nèi)至少有1人去此地的概率是()A. B.C. D. w W w .x K b 1.c o M2每次試驗(yàn)的成功率為p(0p1)，重復(fù)進(jìn)行10次試驗(yàn)，其中前7次都未成功后3次都成功的概率為()ACp3(1p)7 BCp3(1p)3Cp3(1p)7 Dp7(1p)3答案：1.C2.C以上題目主要考查了以下內(nèi)容：(1)對于事件A、B，若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響，則稱A、B是相互獨(dú)立事件(2)若A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)P(B)P(AB)P(B|A)P(A)P(A)P(B)(3)若A與B相互獨(dú)立，則A與，與B，與也都相互獨(dú)立(4)若P(AB)P(A)P(B)，則A與B相互獨(dú)立三、二項(xiàng)分布1如果XB，則使P(Xk)取最大值的k值為()A3 B4C5 D3或42設(shè)袋中有大小相同的4個紅球與2個白球，若從中有放回地依次取出一個球，記6次取球中取出2紅球的概率為_答案：1.D2.以上題目主要考查了以下內(nèi)容：(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的，各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn)，在這種試驗(yàn)中每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的(2)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生k次的概率為Cpk(1p)nk(0kn)(p為事件A發(fā)生的概率)，事件A發(fā)生的次數(shù)是一個隨機(jī)變量X，其分布列為二項(xiàng)分布，記為XB(n，p)【指點(diǎn)迷津】1一個區(qū)別互斥事件與獨(dú)立事件的區(qū)別“互斥”強(qiáng)調(diào)不可能同時發(fā)生，“相互獨(dú)立”強(qiáng)調(diào)一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響2二種算法計(jì)算條件概率有兩種方法(1)利用定義P(B|A)；(2)若n(A)表示試驗(yàn)中事件A包含的基本事件的個數(shù)，則P(B|A).對應(yīng)學(xué)生用書P185考向一條件概率(2014山東聊城模擬)某種電路開關(guān)閉合后，會出現(xiàn)紅燈或綠燈閃爍，已知開關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率是，兩次閉合都出現(xiàn)紅燈的概率為.求在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次出現(xiàn)紅燈的概率【審題視點(diǎn)】第一次閉合出現(xiàn)紅燈為條件，兩次都閉合出現(xiàn)紅燈為積事件【典例精講】“第一次閉合后出現(xiàn)紅燈”記為事件A，“第二次閉合后出現(xiàn)紅燈”記為事件B，則P(A)，P(AB).P(B|A).【類題通法】(1)定義法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)求P(B|A) .(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A).1從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)等于()A.B.C. D.解析：選B.P(A)，P(AB).由條件概率計(jì)算公式，得P(B|A).考向二相互獨(dú)立事件的概率健康、低碳成為現(xiàn)代人的生活理念，租自行車騎游的人越來越多某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車時間不超過兩小時免費(fèi)，超過兩小時的部分每小時收費(fèi)2元(不足1小時的部分按1小時計(jì)算)有甲、乙兩人相互獨(dú)立來該租車點(diǎn)租車騎游(各租一車一次)設(shè)甲，乙不超過兩小時還車的概率分別為，；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為，；兩人租車時間都不會超過四小時(1)分別求出甲、乙在三小時以上且不超過四小時還車的概率；(2)求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和小于6元的概率【審題視點(diǎn)】甲、乙兩人租車費(fèi)用分別為0、2、4，分六類情況，利用獨(dú)立事件和互斥事件求和【典例精講】(1)分別記甲、乙在三小時以上且不超過四小時還車為事件A、B，則P(A)1，P(B)1.答：甲、乙在三小時以上且不超過四小時還車的概率分別為、.(2)記兩人所付的租車費(fèi)用之和小于6元為事件C，則P(C).答：兩人所付的租車費(fèi)用之和小于6元的概率是.【類題通法】1.當(dāng)從意義上不易判定兩事件是否相互獨(dú)立時，可運(yùn)用公式P(AB)P(A)P(B)計(jì)算判定求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率時，要搞清事件是否相互獨(dú)立若能把復(fù)雜事件分解為若干簡單事件，同時注意運(yùn)用對立事件可把問題簡化2由兩個事件相互獨(dú)立的定義，可推廣到三個或三個以上相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，即若A1，A2，An相互獨(dú)立，則P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)2(2014江蘇鹽城模擬)如圖所示的電路有a，b，c三個開關(guān)，每個開關(guān)開或關(guān)的概率都是，且是相互獨(dú)立的，則燈泡甲亮的概率為_解析：理解事件之間的關(guān)系，設(shè)“a閉合”為事件A，“b閉合”為事件B，“c閉合”為事件C，則燈亮應(yīng)為事件AC，且A，C，之間彼此獨(dú)立，且P(A)P()P(C).所以P(AC)P(A)P()P(C).答案：考向三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(2013高考四川卷)某算法的程序框圖如圖所示，其中輸入的變量x在1,2,3，24這24個整數(shù)中等可能隨機(jī)產(chǎn)生(1)分別求出按程序框圖正確編程運(yùn)行時輸出y的值為i的概率Pi(i1,2,3)；(2)甲、乙兩同學(xué)依據(jù)自己對程序框圖的理解，各自編寫程序重復(fù)運(yùn)行n次后，統(tǒng)計(jì)記錄了輸出y的值為i(i1,2,3)的頻數(shù)以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表的部分?jǐn)?shù)據(jù)甲的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表(部分)運(yùn)行次數(shù)n輸出y的值為1的頻數(shù)輸出y的值為2的頻數(shù)輸出y的值為3的頻數(shù)30146102 1001 027376697乙的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表(部分)運(yùn)行次數(shù)n輸出y的值為1的頻數(shù)輸出y的值為2的頻數(shù)輸出y的值為3的頻數(shù)30121172 1001 051696353當(dāng)n2 100時，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i1,2,3)的頻率(用分?jǐn)?shù)表示)，并判斷兩位同學(xué)中哪一位所編程序符合算法要求的可能性較大；(3)將按程序框圖正確編寫的程序運(yùn)行3次，求輸出y的值為2的次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望【審題視點(diǎn)】(1)運(yùn)行程序框圖，分別數(shù)出輸出y的值為1,2,3的數(shù)的個數(shù)，即事件包含的基本事件個數(shù)，利用古典概型公式求解(2)利用已知條件中頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表得出各小組頻數(shù)，利用頻率公式得頻率，再與(1)的結(jié)論比較，得出結(jié)論(3)利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式P(i)Cpi(1p)ni(0in)求出分布列，再用期望公式求解【典例精講】(1)變量x是在1,2,3，24這24個整數(shù)中隨機(jī)產(chǎn)生的一個數(shù)，共有24種可能當(dāng)x從1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23這12個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為1，故P1；當(dāng)x從2,4,8,10,14,16,20,22這8個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為2，故P2；當(dāng)x從6,12,18,24這4個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為3，故P3.所以輸出y的值為1的概率為，輸出y的值為2的概率為，輸出y的值為3的概率為.(2)當(dāng)n2 100時，甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i1,2,3)的頻率如下：輸出y的值為1的頻率輸出y的值為2的頻率輸出y的值為3的頻率甲乙比較頻率趨勢與概率，可得乙同學(xué)所編程序符合算法要求的可能性較大(3)隨機(jī)變量可能的取值為0,1,2,3.P(0)C03，P(1)C12，P(2)C21，P(3)C30.故的分布列為0123P所以E01231.即的數(shù)學(xué)期望為1.【類題通法】(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特點(diǎn)每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；任何一次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率都是一樣的(2)二項(xiàng)分布滿足的條件每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的；各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；隨機(jī)變量是這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)3(2014浙江紹興模擬)A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對比試驗(yàn)，每個試驗(yàn)組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效若在一個試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗(yàn)組為甲類組設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為.(1)求一個試驗(yàn)組為甲類組的概率；(2)觀察3個試驗(yàn)組，用表示這3個試驗(yàn)組中甲類組的個數(shù)求的分布列和數(shù)學(xué)期望解析：(1)設(shè)Ai表示事件“一個試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠有i只”，i0,1,2.Bi表示事件“一個試驗(yàn)組中，服用B有效的小白鼠有i只”，i0,1,2.依題意有P(A1)2，P(A2)，P(B0)，P(B1)2.所求的概率為PP(B0A1)P(B0A2)P(B1A2).(2)的可能值為0,1,2,3，且B.P(0)3，P(1)C2，P(2)C2，P(3)3.的分布列為0123P數(shù)學(xué)期望E3.對應(yīng)學(xué)生用書P187(2014洛陽市統(tǒng)考)隨著建設(shè)資源節(jié)約型、環(huán)境友好型社會的宣傳與實(shí)踐，低碳綠色的出行方式越來越受到追捧，全國各地興起了建設(shè)公共自行車租賃系統(tǒng)的熱潮據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，已有北京、株洲、杭州、太原、蘇州、深圳等城市建成公共自行車租賃系統(tǒng)某市公共自行車實(shí)行60分鐘內(nèi)免費(fèi)租用，60分鐘至120分鐘(含120分鐘)收取1元租車服務(wù)費(fèi)，120分鐘至180分鐘(含180分鐘)收取2元租車服務(wù)費(fèi)，180分鐘以上的時間按每小時3元計(jì)費(fèi)(不足1小時的按1小時計(jì))，租車費(fèi)用實(shí)行分段合計(jì)現(xiàn)有甲、乙兩人相互獨(dú)立到租車點(diǎn)租車上班(各租一車一次)，設(shè)甲、乙不超過1小時還車的概率分別為，1小時以上且不超過2小時還車的概率分別為，2小時以上且不超過3小時還車的概率分別為，兩人租車時間均不會超過4小時(1)求甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率；(2)設(shè)甲一周內(nèi)有四天(每天租車一次)均租車上班，X表示一周內(nèi)租車費(fèi)用不超過2元的次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望【審題視點(diǎn)】不同的時間段，租車費(fèi)用不同，發(fā)生的概率不同，甲、乙二人各人獨(dú)立，又分4種不同的情況，故分類之中有分步，互斥中有獨(dú)立【思維流程】用獨(dú)立事件分別計(jì)算兩人都付0元，1元，3元，6元的概率用互斥事件求概率之和求甲每天所付車費(fèi)不超過2元的概率由重應(yīng)重復(fù)試驗(yàn)分別計(jì)算四天中分別有0,1,2,3,4天的概率寫分布列，計(jì)算期望值【解答過程】(1)甲、乙兩人租車費(fèi)用相同包括0元，1元，3元，6元，1分兩人都付0元的概率為P1，2分兩人都付1元的概率為P2，3分兩人都付3元的概率為P3，4分兩人都付6元的概率為P4(1)(1)，5分則甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率為PP1P2P3P4.6分發(fā)(2)依題意，甲每天租車費(fèi)用不超過2元的概率為P.則P(X0)C()0()4，P(X1)C()1()3，P(X2)C()2()2，P(X3)C()3，P(X4)C()4()0，9分http:/www .xkb1. comX的分布列為X01234P11分X的數(shù)學(xué)期望為E(X)2343.12分【規(guī)范建議】(1)第一問中，由于總費(fèi)用采取分段合計(jì)，不會出現(xiàn)2元現(xiàn)象，容易漏掉6元現(xiàn)象，即P4的計(jì)算(2)甲每天租車費(fèi)用不超過2元，包含“不超過1小時”與“1小時以上且不超過2小時”兩種情況是互斥事件，不是獨(dú)立(3)4天之內(nèi)發(fā)生的天數(shù)XB(4，)，其EX43.1(2013高考廣東卷)甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁判(1)求第4局甲當(dāng)裁判的概率；(2)求前4局中乙恰好當(dāng)1次裁判的概率解析：(1)記A1表示事件“第2局結(jié)果為甲勝”，A2表示事件“第3局甲參加比賽時，結(jié)果為甲負(fù)”，A表示事件“第4局甲當(dāng)裁判”則AA1A2.P(A)P(A1A2)P(A1)P(A2).(2)記B1表示事件“第1局比賽結(jié)果為乙勝”，B2表示事件“第2局乙參加比賽時，結(jié)果為乙勝”，B3表示事件“第3局乙參加比賽時，結(jié)果為乙勝”，B表示事件“前4局中乙恰好當(dāng)1次裁判”，則BB3B1B2B1.P(B)P(B3B1B2B1)P(B3)P(B1B2)P(B1)P()P(B3)P(B1)P(B2)P()P(B1)P().X K b1.Co m2(2013高考全國新課標(biāo)卷)一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n3，再從這批產(chǎn)品中任取4件檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；如果n4，再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn)假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立(1)求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率；(2)已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位：元)，求X