《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例》教案.doc

數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例教案中衛(wèi)市第一中學(xué)俞清華教學(xué)目標(biāo)：1認(rèn)知目標(biāo)：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，掌握用數(shù)學(xué)歸納法證題的方法。2能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生理解分析、歸納推理和獨(dú)立實(shí)踐的能力。3情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生的求知欲，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的世界觀和勇于探索的科學(xué)精神。教學(xué)重點(diǎn)：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及掌握用數(shù)學(xué)歸納法證題的方法。教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法原理的了解及遞推思想在解題中的體現(xiàn)。教學(xué)過程：一創(chuàng)設(shè)情境，回顧引入師：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例（板書）。首先給大家講一個(gè)故事：從前有一個(gè)員外的兒子學(xué)寫字，當(dāng)老師教他寫數(shù)字的時(shí)候，告訴他一、二、三的寫法時(shí)，員外兒子很高興，告訴老師他會(huì)寫數(shù)字了。過了不久，員外要寫請(qǐng)?zhí)缯?qǐng)親朋好友到家里做客，員外兒子自告奮勇地要寫請(qǐng)?zhí)?。結(jié)果早晨開始寫，一直到了晚間也沒有寫完，請(qǐng)問同學(xué)們，這是為什么呢？生：因?yàn)橛行铡叭f(wàn)”的。師：對(duì)！有姓“萬(wàn)”的。員外兒子萬(wàn)萬(wàn)也沒有想到“萬(wàn)”不是一萬(wàn)橫，而是這么寫的“萬(wàn)”。通過這個(gè)故事，你對(duì)員外兒子有何評(píng)價(jià)呢？生：（學(xué)生的評(píng)價(jià)主要會(huì)有兩種，一是員外兒子愚蠢，二是員外兒子還是聰明的。）師：其實(shí)員外兒子觀察、歸納、猜想的能力還是很不錯(cuò)的，但遺憾的是他猜錯(cuò)了！在數(shù)學(xué) 上，我們很多時(shí)候是通過觀察歸納猜想，這種思維過程去發(fā)現(xiàn)某些結(jié)論，它是一種創(chuàng)造性的思維過程。那么，我們?cè)谝郧暗膶W(xué)習(xí)過程中，有沒有也像員外兒子那樣猜想過某些結(jié)論呢？生：有。例如等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)。師：很好。我們是由等差數(shù)列前幾項(xiàng)滿足的規(guī)律：，歸納出了它的通項(xiàng)公式的。其實(shí)我們推導(dǎo)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的方法和員外兒子猜想數(shù)字寫法的方法都是歸納法。那么你能說說什么是歸納法，歸納法有什么特點(diǎn)嗎？生：由特殊事例得出一般結(jié)論的歸納推理方法，通常叫做歸納法。特點(diǎn)：特殊一般。師：對(duì)。（投影展示有關(guān)定義）像這種由特殊事例得出一般結(jié)論的歸納推理方法，通常叫做歸納法。根據(jù)推理過程中考察的對(duì)象是涉及事物的一部分還是全部，分為不完全歸納法和完全歸納法。完全歸納法是一種在研究了事物的所有（有限種）特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法。那么，用完全歸納法得出的結(jié)論可靠嗎？生：（齊答）可靠。師：用不完全歸納法得出的結(jié)論是不是也是可靠的呢？為什么？生：不可靠。這是因?yàn)橹豢疾炝瞬糠智闆r，結(jié)論不一定具有普遍性。師：是不可靠的。不妨再舉一例容易驗(yàn)證，如果由此作出結(jié)論對(duì)于任何，都成立，那就是錯(cuò)誤的。事實(shí)上，。二設(shè)置問題，引導(dǎo)探究師：請(qǐng)問同學(xué)們你們玩過多米諾骨牌嗎？生：（沒）玩過。（課堂氣氛由剛才的沉思變得開始活躍）師：無(wú)論玩沒玩過，下面我們一起來(lái)玩一下。（投影儀上進(jìn)行生動(dòng)、形象的骨牌演示）在觀看骨牌玩法時(shí)，請(qǐng)思考：滿足什么條件，骨牌可以全部倒下？生：假設(shè)第張骨牌倒下，保證第張骨牌倒下。師：這樣就保證了可以遞推下去，骨牌就可以全部倒下了，是嗎？生：不是。我們不知道第張骨牌是否倒下了，從而我們是假設(shè)第張骨牌倒下。若第張骨牌倒下，需要第張骨牌倒下；若第張骨牌倒下，需要第張骨牌倒下，最后遞歸到需要第1張骨牌倒下，所以，還要有一個(gè)條件：第一張骨牌倒下。師：大家說有了這兩個(gè)條件，骨牌是不是可以順次的倒下呢？生：是。師：上面同學(xué)說得很好，要使骨牌全部倒下應(yīng)滿足兩個(gè)條件（投影顯示）第一個(gè)條件是：第一張骨牌倒下；第二個(gè)條件是：假設(shè)第張骨牌倒下，第張骨牌一定倒下。現(xiàn)在你能不能利用這種思想（遞推思想）來(lái)證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式呢？是不是應(yīng)該建立一種遞推順序呢？生：時(shí)結(jié)論正確時(shí)結(jié)論正確時(shí)，結(jié)論正確，時(shí)結(jié)論正確時(shí)結(jié)論正確師：由于這個(gè)過程推理方法是一樣的，能否把這個(gè)過程一般化呢？生：假設(shè)時(shí)結(jié)論正確時(shí)結(jié)論也正確。師：這樣就保證了遞推。下面你能證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式了嗎？三解決問題，引出概念（學(xué)生共答，教師板書）證明：（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，等式是成立的。（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，就是，下面看看是否能推出時(shí)等式也成立，那么等于什么？生：。師：哦！看來(lái)時(shí)等式也成立，這樣做對(duì)嗎？生：（齊答）不對(duì)。師：注意在證時(shí)，一定要用到歸納假設(shè)，時(shí)等式成立這一步，因?yàn)檫@樣才能保證遞推，那么與有什么關(guān)系呢？（學(xué)生齊答，教師繼續(xù)板書）。這就是說，當(dāng)時(shí)，等式也成立，大家說有了這兩步，是不是就證明了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的正確性了呢？生：時(shí)等式成立時(shí)等式成立時(shí)等式成立所以取任何正整數(shù)等式都成立。師：這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法，那么你能談?wù)勈裁词菙?shù)學(xué)歸納法，及其用數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟是怎樣的呢？生：（在學(xué)生交流，教師引導(dǎo)完善下）數(shù)學(xué)歸納法（證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟）是：（投影跟蹤給出）。（1）證明當(dāng)取第一個(gè)值（例如或2等）時(shí)結(jié)論正確；（2）假設(shè)當(dāng)（，且）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)時(shí)結(jié)論也正確。根據(jù)（1）和（2），可知命題對(duì)從開始的所有正整數(shù)都正確。所以數(shù)學(xué)歸納法是證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種方法。概括起來(lái)就是“兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論?！睅煟河脭?shù)學(xué)歸納法證題，實(shí)質(zhì)是一種什么思想？生：遞推思想。師：在遞推中，兩個(gè)步驟各起到了怎樣的作用呢？生：第一步是奠基，是遞推的基礎(chǔ)，第二步是保證能夠遞推，是遞推的依據(jù)。（此時(shí)投影上注明）師：這兩步可以缺少哪一步嗎？生：（學(xué)生舉例說明，教師點(diǎn)評(píng)，投影上也舉出實(shí)例，從而明確）兩步缺一不可。師：我們已經(jīng)知道，由不完全歸納法得到的結(jié)論不可靠，因而必須作證明。若命題是與正整數(shù)有關(guān)的，證明可考慮用數(shù)學(xué)歸納法。下面請(qǐng)同學(xué)們看一道例題。例1：用數(shù)學(xué)歸納法證明：（師生共同證題，總結(jié)出用數(shù)學(xué)歸納法證題的技巧是“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”。）練習(xí)：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1。2。3首項(xiàng)是，公比是的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是。四歸納小結(jié)，深化主題師：本節(jié)的中心內(nèi)容是什么？為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法？什么是數(shù)學(xué)歸納法？體現(xiàn)什么思想？生：（學(xué)生積極回答，從而自主地構(gòu)建本節(jié)課的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。）（投影展示）小結(jié)：1歸納法 特點(diǎn)：特殊一般2數(shù)學(xué)歸納法概念及證題步驟。3數(shù)學(xué)歸納法實(shí)質(zhì)是遞推思想。五布置作業(yè)： P76 1，2數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例教案說明一、數(shù)學(xué)歸納法的地位與作用1數(shù)學(xué)歸納法在教材中的地位與作用數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)命題的一種重要的證明方法，它起源于正整數(shù)的歸納公理或最小數(shù)原理，而演變成各種形式。數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例是人教版高中數(shù)學(xué)新教材第三冊(cè)第二章“極限”中第一部分的知識(shí)。通過對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)，可對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多重要結(jié)論，如等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式、二項(xiàng)式定理以及中小學(xué)很多思維上開拓創(chuàng)新的題目可以進(jìn)行很好地證明，使很多數(shù)學(xué)結(jié)論更加嚴(yán)密，也為后繼學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。2數(shù)學(xué)歸納法對(duì)思維發(fā)展的地位與作用人類對(duì)問題的研究，結(jié)論的發(fā)現(xiàn)認(rèn)同，思維流程通常是觀察歸納猜想證明。猜想的結(jié)論對(duì)不對(duì)，證明是尤為關(guān)鍵的。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解題時(shí)，有助于學(xué)生對(duì)等式的恒等變形，不等式的放縮，數(shù)、式、形的構(gòu)造與轉(zhuǎn)化等知識(shí)加強(qiáng)訓(xùn)練與掌握。對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的理解，蘊(yùn)含著遞歸與遞推，歸納與推理，特殊到一般，有限到無(wú)限等數(shù)學(xué)思想和方法，對(duì)思維的發(fā)展起到了完善與推動(dòng)的作用。二、數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)與教學(xué)目標(biāo)定位數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)了遞推的思想，數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)就是利用遞推思想去證題的一種方法。一堂精彩的課不僅僅是傳授給學(xué)生知識(shí)，更重要的是對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)和情感的熏陶。根據(jù)本節(jié)課的特點(diǎn)及布魯納的教學(xué)目標(biāo)，特設(shè)置一條明線：如何驗(yàn)證等差數(shù)列通項(xiàng)公式的正確性；一條暗線：如何驗(yàn)證由不完全歸納法得到的與正整數(shù)有關(guān)命題的真假。將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)定為三重目標(biāo)：認(rèn)知目標(biāo)：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，掌握用數(shù)學(xué)歸納法證題的方法與技巧；能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生理解分析、歸納推理和獨(dú)立實(shí)踐的能力；情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生的求知欲，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的世界觀和勇于探索的科學(xué)精神。三、學(xué)法、教法特點(diǎn)及預(yù)期效果1學(xué)法指導(dǎo)高中學(xué)生具有一定的邏輯思維和推理演算能力，并且對(duì)事物的認(rèn)識(shí)逐步的由感性上升到理性，個(gè)體的發(fā)展由外顯轉(zhuǎn)化為內(nèi)隱，這些都是我們學(xué)好本節(jié)的有利因素。但不足的是，學(xué)生考慮問題的全面性及課堂氣氛的活躍性還不夠好。為此，根據(jù)教育學(xué)家奧蘇伯爾關(guān)于學(xué)科和認(rèn)知結(jié)構(gòu)組織的假設(shè)及其“先行組織者”技術(shù)與美國(guó)心理學(xué)家布魯納倡導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)法教育理論，在學(xué)法方面我采用“導(dǎo)思點(diǎn)撥練”的學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生自主參與知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、形成過程。在這個(gè)過程中對(duì)學(xué)生進(jìn)行以下學(xué)法指導(dǎo)。（1）溫故知新法引導(dǎo)學(xué)生回顧等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程，從而引出歸納法的概念，其又分為完全歸納法和不完全歸納法，如何驗(yàn)證等差數(shù)列通項(xiàng)公式的正確性呢？進(jìn)而引出數(shù)學(xué)歸納法。（2）體驗(yàn)感悟法讓學(xué)生認(rèn)真觀看多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)，從而感悟數(shù)學(xué)歸納法原理。（3）質(zhì)疑法引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)質(zhì)疑，解決問題，得到方法。（4）練習(xí)法通過類比，練習(xí)用數(shù)學(xué)歸納法證題，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)歸納法原理。2教學(xué)特點(diǎn)本節(jié)課在教法上貫徹如下兩個(gè)原則：一是建構(gòu)主義原則。學(xué)生是教學(xué)的主體，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一種再創(chuàng)造過程，他們通過吸收與融合原知識(shí)的過程來(lái)建立理解的層次結(jié)構(gòu)。皮亞杰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)學(xué)說：“所有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)再構(gòu)建，構(gòu)成復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，不斷發(fā)展?！睌?shù)學(xué)知識(shí)不能從一個(gè)人遷移到另一個(gè)人，一個(gè)人的數(shù)學(xué)知識(shí)必須基于個(gè)人對(duì)經(jīng)驗(yàn)的歸納、交流，通過反思來(lái)主動(dòng)建構(gòu)，這就是建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀。為此教學(xué)設(shè)計(jì)是通過等差數(shù)列通項(xiàng)公式的證明及多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)的進(jìn)行建構(gòu)。二是寓教于樂原則。實(shí)踐證明，學(xué)生在積極愉快的情形下，學(xué)習(xí)效率會(huì)大幅提高；在寬松的情形下，能夠最大限度地激發(fā)其聰明才智和創(chuàng)造性。結(jié)合本節(jié)課特點(diǎn)，將知識(shí)性與趣味性相結(jié)合，以吸引學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，自覺地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，以調(diào)動(dòng)學(xué)生的“心理場(chǎng)”。比如，通過講員外兒子學(xué)寫數(shù)字，引進(jìn)了歸納法的概念，同時(shí)學(xué)生也體會(huì)到通過觀察、歸納、猜想一些結(jié)論，是很好的一個(gè)思維流程，但其結(jié)果不可靠。通過多米諾骨牌玩法的演示，詮釋了遞推思想。3預(yù)期效果通過學(xué)法指導(dǎo)，教法特點(diǎn)實(shí)現(xiàn)三重目標(biāo)。四、教學(xué)診斷與評(píng)價(jià)1教學(xué)診斷證明數(shù)學(xué)歸納法的第一步是容易實(shí)現(xiàn)的，第二步是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，在驗(yàn)證命題的正確性時(shí)，極易脫離歸納