第三講 空間位置關系與綜合題目的向量解法.doc

交流試題 會員交流資料 第三講空間位置關系與綜合題目的向量解法知識梳理知識盤點一平行關系（1）所謂直線的方向向量，就是指的向量，一條直線的方向向量有個。（2）所謂平面的法向量，就是指所在直線與平面垂直的直線，一個平面的法向量也有個。1線線平行證明兩條直線平等，只要證明這兩條直線的方向向量是，也可以證這兩條直線平行于同一個平面的法向量。2線面平行證明線面平行的方法：（1）證明直線的方向向量與平面的法向量；（2）證明能夠在平面內找到一個向量與已知直線的方向向量；（3）利用共面向量基本定理，即證明直線的方向向量與平面內的兩個不共線的向量是。3面面平行的證明方法：（1）轉化為、處理；（2）證明這兩個平面的法向量是。二垂直關系4線線垂直：證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量是；5線面垂直的證明方法：（1）證明線面垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量是；（2）證明直線與平面內的；6面面垂直的證明方法：（1）轉化為證明、；（2）證明這兩個平面的法向量是。特別提醒1.用向量證明立體幾何問題，有兩種基本思維：一種是用向量表示幾何量，利用向量的運算進行判斷；別一種是用向量的坐標表示幾何量，共分為三步進行判斷：(1)建立立體圖形與空間向量的聯系，用空間向量(或坐標)表示問題中的點、線、面，把立體幾何問題轉化為向量問題；(2)通過向量的運算，研究點、線、面之間的位置關系；(3)根據運算結果的幾何意義來解釋相關問題。2用向量知識證明立體幾何問題，仍然離不開立體幾何定理。例如要證明線面平行，只需要證明平面中的一條直線和平面內的一條直線平行，即轉化為證明線線平行問題，也就是用向量方法證明直線時，只需要證明直線的方向向量共線即可。3向量作為溝通“數”與“形”的橋梁，是利用數形結合解題的一種重要載體，只有掌握了向量運算的各種幾何意義，才能較好地利用向量這一工具解決實際問題。4以柱體、錐體為依托，考查空間中的線線、線面、面面關系，以及角和距離是高考的“熱點”，在角題時，應深入挖掘里面的特殊關系，尤其是垂直關系，建立空間直角坐標系，是解決此類問題的關鍵?；A闖關1正方體中，是的中點，是底面的中心，是棱上任意一點，則直線與直線所成的角是( )(A) (B) (C) (D)與點的位置有關2在正方體中，是底面的中心，分別是棱、的中點，則直線( )(A)是與的公垂線 (B)垂直于，但不垂直于(C)垂直于，但不垂直于 (D)與、都不垂直3在正方體中，是異面直線和的公垂線，則直線與的關系是( )(A)異面直線 (B)平行直線 (C)垂直但不相交 (D)垂直相交4空間中有四點，其中，且，則直線和( )(A)平行 (B)平行或重合 (C)必定相交 (D)必定垂直5設是平面外一點，點滿足，則直線與平面的位置關系是。6已知矩形中，平面，且，若在邊上存在一點，使得，則的取值范圍是。典例精析例1已知是正三棱柱，是的中點，求證：平面剖析證明線面平行問題，可以有以下三種方法：(1)利用線面平行的判斷定理，轉化為線線平行問題；(2)向量與兩個不共線的向量共面的充要條件是存在實數對，使得，利用共面向量基定理可以證明線面平行問題；(3)設為平面的法向量，要證明直線平面，只需要證明即可。zCxDyBAC1B1A1解證法一：建立如圖所示的空間直角坐標系，設正三棱柱的底面邊長為，側棱長為，則 從而設平面的法向量，由，得取，得，由，得，即平面.證法二：如圖所示，記，則，共面， 平面，平面警示利用空間向量方法證明立體幾何中的平行與垂直關系問題，主要運用了直線的方向向量與平面的法向量的，同時也要借助空間中已有的一些關于平行、垂直的定理。另外，利用向量知識解題，一般不需要添加輔助線，只是利用向量運算及向量基本定理，把要證明的直線或平面用該平面內的向量表示即可。變式訓練NMD1DCBAC1B1A11 如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長為，分別是和上的點，求證：平面.例2(2006年山東高密調研)如圖，在四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E、F 分別是AB、PB的中點.（）求證：EFCD；（）在平面PAD內求一點G，使GF平面PCB，并證明你的結論。剖析證明線線垂直問題，可以利用線線垂直的判定定理，或者證明這兩條直線的方向向量的內積為零。 解以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系（如圖），設AD=a，則D（0，0，0）、A（a,0,0）、B(a,a,0)、C(0,a,0)，、（）（）警示本題是一道開放型的綜合題目，以四棱錐為載體，考查線線垂直、線面垂直關系，對于此類問題，要掌握柱休與錐體特有的性質、關系，在解題時要充分利用，從而找出隱含條件，促使問題的解決。變式訓練2正方體的邊長為4，分別是棱的中點，求證：平面平面.例3(2006年河南開封)已知正四棱柱中，分別為的中點，平面.（I）求二面角平面角的正切值；（II）求點到平面的距離剖析由于題設中條件中已知平面，而可知的方法向量即為平面的法向量。解 （1）如圖建立坐標系，設zABCDxyA1B1C1D1MN故、 即向量與面垂直設與面BDN垂直，則即 設所求二面角為，則， （2）由，在向量方向上的投影為，所以到面的距離為警示若問題的題設中存在垂直關系時，建立空間直角坐標系大多較為方便；如果不存在時，應選好基底進行運算，或采用傳統的歐氏幾何法加以證明。變式訓練3. 如圖，PD垂直正方形ABCD所在平面，AB2，E是PB的中點，）（1）建立適當的空間坐標系，寫出點E的坐標；（2）在平面PAD內求一點F，使EF平面PCB例4在正方體中，分別是的中點。(1)證明：平面平面；(2)在上求一點，使得平面.剖析證明面面垂直通常有兩種方法，一是利用面面垂直的判斷定理，轉化為證明線面垂直、線線垂直的問題去證明，二是證明兩個平面的法向量互相垂直。zyxFEMD1A1C1B1DCBA解（1）建立如圖所示的平面直角坐標系，不妨設正方體的棱長為2，則，設平面的法向量為，則，令，得，同理可得平面的法向量.，平面平面.（2）由于點在直線上，設可得，要使平面，需有，解得.故當時，平面.警示平面的法向量是指所在直線與平面垂直的問題，它在解決立體幾何問題中有著非常重要的應用。一個平面的法向量有無窮多個，一般來說，我們只需求出其中最簡單的一個即可。求法向量的方法一般是用待定系數法，即設出平面法向量的坐標，然后根據與平面內的兩個不共線的向量都垂直，即數量積為0，建立方程組進行求解。變式訓練：4如圖，ABCD是邊長為的正方形，ABEF是矩形，且二面角CABF是直二面角，G是EF的中點，（）求證平面平面；（）求GB與平面AGC所成角的正弦值. 例5（2006年湖北卷）如圖，在棱長為1的正方體中，是側棱上的一點，.（）試確定，使得直線與平面所成角的正切值為；（）在線段上是否存在一個定點，使得對任意的，在平面上的射影垂直于.并證明你的結論.剖析解決探索性題目的一般方法是假設存在，然后據此并結合已知條件進行推理和計算 ，若沒有矛盾，則假設成立，否則假設錯誤，也就是說不存在。為此本題可先假設符合條件的存在，并結合已知條件進行推導。解()建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)所以又由知，為平面的一個法向量。設AP與平面所成的角為，則。依題意有解得。故當時，直線AP與平面所成的角的正切值為。（）若在A1C1上存在這樣的點Q，設此點的橫坐標為，則Q(x，1，1)，。依題意，對任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等價于D1QAP即Q為A1C1的中點時，滿足題設要求。警示空間向量最適合于解決這類立體幾何中的探索性的問題，它不必進行復雜繁難的作圖、論證和推理，只需要通過坐標運算進行判斷，在解題過程中，往往把“是否存在”的問題，轉化為“點的坐標是否有解”“是否有規(guī)定范圍內的解”等等，所以使問題簡單、有效地得以解決，在復習中要注意運用這一方法解題。變式訓練5（2006年江西卷）如圖，在三棱錐ABCD中，側面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD，BDCD1，另一個側面是正三角形DCBA（1） 求證：ADBC（2） 求二面角BACD余弦值的大小（3） 在線段AC上是否存在一點E，使ED與面BCD成30角？若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由。例6(2006年上海春)四棱錐中，底面是一個平行四邊形，.(1)求證：底面；(2)求四棱錐的體積；(3)對于向量，定義一種運算：，試計算的絕對值，說明其與四棱錐體積的關系，并由此猜測向量這一運算的絕對值的幾何意義。剖析要證底面，只需證明是底面的一個法向量即可。解(1)又是底面內的兩條相交直線，底面.(2)設與的夾角為，則.(3)，它是四棱錐體積的3倍。據此可以猜測：在幾何意義上表示以為棱的平行六面體的體積。警示本題是一道探索性的新定義題目，對應新定義問題的解決，一定要讀懂題目中所給出的定義，只有理角清楚了新定義的含義，才能準確地解決該題。變式訓練6(2006年上海南匯區(qū))直三棱柱ABC-A1B1C1的底面為等腰直角三角形，BAC=900，AB=AC=2，AA=2，E, F分別是BC、AA1的中點。求（1）異面直線EF和A1B所成的角。（2）直三棱柱ABC-A1B1C1的體積。能力提升1若向量夾角的余弦值是，則的值為( )(A)2 (B)2(C)2或(D)2或2直線的方向向量為，平面內兩共點向量，下列關系中能表示的是（）（A）= （B）= （C）= (D)以上均不能3以下向量中與向量a（1,2,3），b（3,1,2）都垂直的向量為（）（A）(1,7,5) （B）(1,7,5) （C）(1，7,5)（D）（1，7，5）4在正方體中，棱長為，分別是和上的點，則與平面的關系是( )(A)相交 (B)平行 (C)垂直 (D)不能確定 5已知斜三棱柱ABCA1B1C1的底ABC為直角三角形，C=90；側棱與底面成60角，B1點在底面射影D為BC中點,若側面A1ABB1與C1CBB1成30的二面角，BC=2cm，則四棱錐AB1BCC1的體積是（ ） （） （） （） （） 6在空間四邊形中，分別是和對角線的中點，則平面與平面的位置關系是。7在正方體中，分別是與的中點，則與所成的角為。8設正四棱錐S-ABCD的側棱之長為，底面邊長為，E是SA的中點，則異面直線BE與SC所成的角等于。9在正三棱錐中，已知在棱上，且，若與平面所成的角為，則 10已知三棱錐P-ABC中,PA=PC, APC=ACB=900, BAC=300, 平面PAC平面PBC.求證: 平面PAB平面PBC.11. （2007年高考新方案）如圖所示，已知四棱錐PABCD的底面是直角梯形，ABC=BCD = 90，AB = BC = PB = PC = 2CD，側面PBC底面ABCD （1）證明：PABD； （2）求二面角P BD C的正切值； （3）求證：平面PAD平面PAB12. (2006年山東濟寧)如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=90,AB=BC=a,AA1=2AB，M為CC1上的點.（）當M在C1C上的什么位置時，B1M與平面AA1C1C所成的角為30；（）在（）的條件下求B到平面AMB1的距離. 仿真訓練一選擇題1在下列命題中：若、共線，則、所在的直線平行；若、所在的直線是異 面直線，則、一定不共面；若、三向量兩兩共面，則、三向量一定也共面；已知三向量、，則空間任意一個向量總可以唯一表示為 其中正確命題的個數為 （ ）(A)0 (B)1 (C)2 (D)32已知（ ）(A)15(B)5(C)3(D)13已知（2，1，3），（1，4，2），（7，5，），若、三向量共 面，則實數等于 （ ）(A) (B) (C) (D)4直三棱柱ABCA1B1C1中，若， 則 （ ）(A)+ (B)+ (C)+ (D)+5已知ABC的三個頂點為A（3，3，2），B（4，3，7），C（0，5，1），則BC邊上的中線長為 （ ）(A)2 (B)3 (C)4 (D)56將正方形ABCD沿對角線BD折起，使得平面ABD平面BCD，若E是CD的中點，則異面直線AE、BC所成角的正切值為（A） （B） （C）2 （D）7已知為平面外一點，為的兩條斜線段，若，與所成的角的差為45，則的長為（ ）(A)4 (B)6或8 (C)4或6 (D)88已知，點Q在直線OP上運動，則當取得最小值時，點Q的坐標為 （ ）ABCC1A1B1D1F1(A) (B) (C) (D)9（2006年廣西柳州）如圖，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA=900，點D1、F1分別是A1B1、A1C1的中點，若BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是 （ ）（A） （B） （C） （D） 10在三棱錐ABCD中，AB=CD=2，E、F分別是AC、BD的中點，且EF=，則AB與CD所成的角為：( ) （） 30 （） 60 （） 90 （） 120BACD11(2007上海浦東)右圖是一個正方體的表面展開圖，A、B、C均為棱的中點，D是頂點，則在正方體中，異面直線AB和CD的夾角的余弦值為（ ）（A）（B）（C）（D）12（2006年黃岡）如圖，在正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點，G、H分別為DE、AC的中點，將ABC沿DE、EF、DF折成三棱錐以后，BG與DH所成的角的余弦值為（）（A）0 （B） （C） （D）二填空題13若A(m1，n1,3)，B(2m,n,m2n)，C(m3,n3,9)三點共線，則m+n= 14在空間四邊形ABCD中，AC和BD為對角線，G為ABC的重心，E是BD上一點，BE3ED，以，為基底，則 15（2005年山東模擬）若三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，且滿足，則點到平面的距離是.16在長方體中，和與底面所成的角分別為600和450，則異面