高等數(shù)學上知識點匯總.pdf

0 27 課題組成員 高國恒 雷錦 徐禮鋒 秦明鑫 李軻 王冠宇 應蕾 曾通 高等數(shù)學上 目錄 第一章 P1 P3 第二章 P3 P6 第三章 P6 P15 第四章 P15 P20 第五章 P20 P24 第六章 P25 P27 1 27 第一章 函數(shù) 基本概念 1 集合 具有某種共同屬性的事物的總體 組成這個集合的事物稱為該集合的元素 2 集合的表示方法 列舉法 描述法 常用 3 集合的運算 并集 A B x x A 或 x B 交集 A B x x A 且 x B 差集 A B x x A 且 x B 4 常見數(shù)集 N 自然數(shù)集 Z 整數(shù)集 Q 有理數(shù)集 R 實數(shù)集 C 復數(shù)集 5 鄰域 0 x a 0 a 0 對數(shù)函數(shù) xy a log a 0 a 1 三角函數(shù) 反三角函數(shù) A B A B A B A B 2 27 4 常見的三角函數(shù)公式 平方公式 1cossin 22 xx xx 22 sectan1 xx 22 csccot1 降冪公式 2 2cos1 cos2 x x 2 2cos1 sin2 x x 3 27 5 復合函數(shù) 設 f X uf u y g Xxxgu 則 g Xxxgfy 稱為由 確定的復合函數(shù) 6 初等函數(shù) 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限次復合所得的函數(shù) 一般來說 分 段函數(shù) 隱函數(shù)是非初等函數(shù) 不能從參數(shù)方程中消去 t 解出 y 的參數(shù)方程也是非初等函數(shù) 7 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù) 雙曲正弦 2 xx ee shx 雙曲余弦 2 xx ee chx 雙曲正切 xx xx ee ee thx 雙曲余切 xx xx ee ee cthx 相關等式見書 p23 第二章 導數(shù)與極限 一 導數(shù)的定義一 導數(shù)的定義 1 導數(shù)的定義 設函數(shù) xfy 在點 0 x的某鄰域內(nèi)有定義 若 0 0 lim 0 xx xfxf xx x y xx 0 lim存在 則稱函數(shù) xfy 在點 0 x處可導 稱此極限為 xfy 在點 0 x處的導數(shù) 導數(shù)是差商的極限 反 映函數(shù)的變化率 二 數(shù)列的極限二 數(shù)列的極限 1 有界數(shù)列與無界數(shù)列 若存在常數(shù) M 0 對任意的正整數(shù) n 都有 x M 則稱數(shù)列 xn 為有界數(shù)列 否則為無界數(shù)列 2 數(shù)列的單調(diào)性 若對任意正整數(shù) n 都有 XN XN 1則稱數(shù)列 Xn 為單調(diào)增加數(shù)列 若對任意正整數(shù) n 都有 XN XN 1則稱數(shù)列 Xn 為單調(diào)減少數(shù)列 3 數(shù)列極限的定義 若對任意給定的正數(shù) 存在正整數(shù) N 使當 n N 時 必有 an L 0 無窮遠處的 an也大于 0 5 子數(shù)列的三個等價命題 數(shù)列 an 收斂于 L 數(shù)列 an 的任一子列 ank 都收斂于 L 子列 a2n 和 a2n 1 都收斂于 L 三 函數(shù)的極限三 函數(shù)的極限 1 函 數(shù) 極 限 的 定 義 設 函 數(shù) xf在 0 x的 某 個 去 心 鄰 域 內(nèi) 有 點 遠 A 是 一 個 常 數(shù) 若 4 27 Axfxx 時 有0當 0 0 0 則稱當 0 xx 時 xf以 A 為 極限 記作Axf xx lim 0 2 單側(cè)極限 左極限 Axfxf xx lim 0 0 右極限 Axfxf xx lim 0 0 3 左右極限與極限的關系 lim 0 xf xx lim 0 xf xx lim 0 xf xx A 題目類型 證明極限是否存在 4 函數(shù)極限的性質(zhì) 唯一性 如果極限 lim 0 xf xx 存在 那么極限值是唯一的 局部有界性 若極限 lim 0 xf xx 存在 那么 xf在 0 x的某個去心鄰域內(nèi)有界 局部保序性 如果 且 A B 則在 0 x的某個 去心鄰域內(nèi)有 xf xg 局部保號性 如果Axf xx lim 0 且 A 0 則在 0 x的某個去心鄰域內(nèi)使得 函數(shù) xf在此鄰域內(nèi)與 A 保持同號 四 無窮大與無窮小四 無窮大與無窮小 1 無窮小 若0 lim 0 xf xx 則稱函數(shù) xf是 0 xx 時的無窮小 2 無窮小的運算性質(zhì) 有限個無窮小的和是無窮小 有界函數(shù) 常數(shù) 有限個無窮小 與無窮小的乘 積是無窮小 3 無窮大 設函數(shù) xfy 在點 0 x的某鄰域內(nèi)有定義 如果對任意正數(shù) M 都存在正數(shù) 0 使當 0 x x0 M 稱函數(shù) xf為 0 xx 時的無窮大 記作 lim 0 xf xx lim 0 xf xx 不表示 xf的極限存在 僅僅表示一種趨勢 4 函數(shù)為無窮大則必定無界 5 無窮大與無窮小的關系 在 x 的某趨限過程中 若 xf是無窮大 則 1 xf 是無窮小 若 xf是 無窮小 且 xf不等于 0 則 1 xf 是無窮大 6 無窮大的運算性質(zhì) 有界量加無窮大還是無窮大 無界量乘無窮大是無窮大 有界量乘無窮大未 必是無窮大 五 極限的運算法則五 極限的運算法則 1 極限的四則運算法則 設Axf xx lim 0 Bxg xx lim 0 則 5 27 BAxgxfxgxf xxxxxx lim lim lim 000 BAxgxfxgxf xxxxxx lim lim lim 000 當 B 0 時 B A xg xf xg xf xx xx xx lim lim lim 0 0 0 2 當0 0 a 0 0 b m 和 n 都是非負數(shù)時有 0 0 b a 當 n m n nn m mm x bxbxb axaxa 1 10 1 10 lim 0 當 n m 當 nb 規(guī)定 b a dxxf b a dxxf 當 a b 時 規(guī)定 a a dxxf 0 例題 計算 1 0 2 1x的值 容易發(fā)現(xiàn)該定積分表示的是以原點為圓心 以一為半徑的位于第一象限的四分之一 圓 則 1 0 2 1x 4 1 5 1 3 定積分的存在條件定理一 可積的必要條件 21 27 若 f x 在 a b 上可積 則 f x 在 a b 上有界 定理一 可積的必要條件 若 f x 在 a b 上可積 則 f x 在 a b 上有界 定理二 定積分存在定理 若 f x 是區(qū)間 a b 上的連續(xù)函數(shù)或分段連續(xù)函數(shù) 即有至 多有限個第一類間斷點 則 f x 在 a b 上可積 即連續(xù)函數(shù)一定是可積函數(shù) 5 2 定積分的性質(zhì) 性質(zhì)一 定積分的線性運算性質(zhì) 性質(zhì)二 定積分對于積分區(qū)間的可加性 若已知 f x 在某區(qū)間上可積 則 f x 在其任何 一個子區(qū)間上也可積 且對該區(qū)間中的任意三個常數(shù) a b c 有 b a dxxf c a dxxf b c dxxf 性質(zhì)三 若 f x 在 a b 上可積 則改變 f x 的有限個點后所得的函數(shù) F x 仍在 a b 上可 積 且積分值不變 即有 b a dxxf b a dxxF 特例 若 f x 在 a b 除有限個點外恒為零 則 b a dxxf 0 性質(zhì)四 定積分對被積函數(shù)的保序性 設 f x g x 在 a b 上可積 且在 a b 上成立 f x g x z 則 b a dxxf b g a dxx 特例 若 f x 在 a b 上可積 且在 a b 上成立 g x 0 則有 b g a dxx0 性質(zhì)五 定積分的估值定理 若 f x 在 a b 上可積 且當 a x b 時 成立 m f x M 則有 m b a b a dxxf M b a 性質(zhì)六定積分的中值定理 若 f x 在 a b 上連續(xù) 則存在 a b 使得 b a dxxf f b a 其中 ab dxxf b a 叫做函數(shù) f x 在 a b 上的平均值 記為 f 值得注意的是積分平均值的概念適用于可積函數(shù) 而積分中值定理僅適用于連續(xù)函 數(shù) 推廣 若 f x 在 a b 上連續(xù) g x 在 a b 上可積且不變號 則存在 a b 使得 b a dxxgxf f b g a dxx 此式稱為廣義的積分中值公式 22 27 5 35 3 微積分基本定理微積分基本定理 5 3 15 3 1 微積分第一基本定理微積分第一基本定理 若 f x 在 a b 上連續(xù) 則變上限積分函數(shù) F x x f a dtt在 a b 上可微 且有 x x a dttf dx d F f x 幾個重要公式 x xfdttf dx d a x x xfdttf dx d a x x xfdttf dx d x x xf x 5 3 2 原函數(shù)與不定積分 原函數(shù)的定義 設 f x 在某區(qū)間 I 上有定義 如果對任意的 x I 都有 x F f x 或 dF x f x 則稱函數(shù) F x 為 f x 或微分形式 f x dx 在區(qū)間 I 上的原函數(shù) 原函數(shù)的性質(zhì) 原函數(shù)存在定理 連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù) 且有當已知 f x 在 I 上的一個原函數(shù) F x 時 f x 在 I 上的全體原函數(shù)組成的集合就是函數(shù)族 F x C 其中 C 是任意實數(shù) 不定積分的定義 在區(qū)間 I 上 函數(shù) f x 的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為 f x 或微分形 式 f x dx 在區(qū)間 I 上的不定積分 記作 dxx f 故有 dxx f x f a dtt C 值得注意的是 dxx f表示函數(shù) 而 b f a dxx表示一個常數(shù) 定理 微分 求導 運算與積分運算是一對互逆的運算 即有 xfdxxf dx d 23 27 dxxfdxxf d CxFdxxF CxFxF d 其實 我們知微分運算與積分運算是一對互逆的運算 則有 f dxx dx d dx dxxf d dx dxx f f x 其余公式均可由此推導得出 只是在不定積分與原函數(shù)的互化中要注意 C 這是容易 遺漏的點 謹記 基本微分表 Cxdx ln x 1 Cxdx tanxsec2 Cxdx cotxcsc2 Cxdx sectanxsecx Cxdx csccotxcscx CCxdx arccosx或arcsin x 1 1 2 CCxdx arccotx或arctan x1 1 2 Cchxdx shx Cshxdx chx 常見函數(shù)補充 Cdx x ln ln xlnx 1 Cdx x sin lncotx Cxxxdx lnlnx 5 3 3 微積分第二基本定理 微積分第二基本定理的內(nèi)容 設 f x 在區(qū)間 a b 上連續(xù) F x 是 f x 在 a b 上的任意一個 原函數(shù) 則 a aFbFdxxf b 24 27 該式也稱為牛頓 萊布尼恣公式 第六章 積分法 6 1 1 不定積分的性質(zhì) 不定積分同定積分一樣具有線性運算性質(zhì) 即有 dxxgkdxxfkdxxgkxfk 2121 6 1 2 不定積分的換元法 不定積分的第一換元法 湊微分法 如果 u g x 是可微函數(shù) f u 在 g x 的值域區(qū)間 I 上連續(xù) 則有換元公式 dxxgxg f xgdxgf xgu duuf 若是xxxx knnk1212 cossin或是cossin 拆奇次項求微分 當被積函數(shù)是xx kl22 sincos時 用倍角公式降冪 兩個正弦函數(shù)或余弦函數(shù)相乘時 使用積化和差公式求解 當被積函數(shù)是去湊微分csc或sec拆分cotcsc或tansec 2222 xxxxxx nknn 型積分的計算方法 x 2 dx nmxx NM 1 判別式04m2 n 2 判別式04m2 n 3 判別式04m2 n 不定積分的第二換元法 湊微分法 設 f x 連續(xù) x g t 的導數(shù) g t也連續(xù)且 g t不等于 0 則有換元公式 tgftgdtgfdxxf g tdt 這里 右端積分求得之后 其中的 t 須用 x g t 的反函數(shù) t g 1 x回代 25 27 三角變換 當被積函數(shù)含有二次根式 222222 aaxxax 則可以分別作變換 X asint x atant x asect 倒數(shù)變換 令 x t 1 即可 令題目中的根式為新的變量 J 基本公式表的補充 Cxx tansec lnsecxdx Cxx cotcsc lncscxdx C a x a xa dx arcsin 1 22 Cxax xa dx ln 22 22 Caxx ax dx ln 22 22 Cxa x a xa dxxa 22 2 22 2 arcsin 2 C a x axa dx arctan 1 22 6 1 3 不定積分的分部積分法 不定積分的分部積分公式 xfdxgxgxfxgdxf 反復運用分部積分法求解不定積分 使用多次分部積分法 獲得所求積分所滿足的方程式 求出不定積分 對于含有正整數(shù) n 的不定積分的關于 n 的遞推公式使用分部積分法求解 各種積分法的混合使用 26 27 6 1 4 幾類特殊函數(shù)的積分 6 1 4 1 有理函數(shù)的積分法 形如 R x n xQ xP m 的函數(shù)稱為有理函數(shù) 且當 n m 時 稱 為有理真分式 當 n m 時 稱為有理假分式 而其積分稱為有理函數(shù)的積分 1 有理假分式 通過如下一道例題 我們可得出關于有理假分式的定積分的計算的一 般規(guī)律 2 有理真分式 有理真分式的積分主要面臨以下四種類型函數(shù)的計算 1 a x A 2 n a x A 3 qpxx2 CBx 4 n2 q px x CBx n 2 3 對于有理真分式的積分求解 它相當于有理假分式的積分求解去除第一步的多項式除 法 所以二者的積分求解大體類似 6 1 4 2 三角有理函數(shù)的積分法 形如 R cosx sinx 的函數(shù)稱之為三角有理函數(shù) 其積分稱之為三角有理函數(shù)積分 計算三角有理函數(shù)積分的基本思想是通過變量代