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高斯投影及換帶計(jì)算 一 高斯投影概述 正形投影 高斯坐標(biāo)正反算及換帶計(jì)算 二 把橢球面元素歸算到高斯投影面 方向改化 距離改化 三 各種投影方法概述 本章提要 本章介紹從橢球面上大地坐標(biāo)系到平面上直角坐標(biāo)系的正形投影過(guò)程 研究如何將大地坐標(biāo) 大地線長(zhǎng)度和方向以及大地方位角等向平面轉(zhuǎn)化的問(wèn)題 重點(diǎn)講述高斯投影的原理和方法 解決由球面到平面的換算問(wèn)題 解決相鄰帶的坐標(biāo)坐標(biāo)換算 知識(shí)點(diǎn)及學(xué)習(xí)要求 1 高斯投影的基本概念 2 正形投影的一般條件 3 高斯平面直角坐標(biāo)與大地坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)換 高斯投影的正算與反算4 橢球面上觀測(cè)成果歸化到高斯平面上的計(jì)算 5 高斯投影的鄰帶換算 6 工程測(cè)量投影面與投影帶的選擇 難點(diǎn) 在對(duì)本章的學(xué)習(xí)中 首先要理解和掌握高斯投影的概念 高斯正算和反算計(jì)算 方向改化和距離改化計(jì)算 高斯投影帶的換算與應(yīng)用 工程測(cè)量中投影面與投影帶的選擇 6 1地圖投影概述 1 投影與變形 所謂地圖投影 簡(jiǎn)略說(shuō)來(lái)就是將橢球面各元素 包括坐標(biāo) 方向和長(zhǎng)度 按一定的數(shù)學(xué)法則投影到平面上 研究這個(gè)問(wèn)題的專門學(xué)科叫地圖投影學(xué) 橢球面是一個(gè)凸起的 不可展平的曲面 若將這個(gè)曲面上的元素 比如一段距離 一個(gè)角度 一個(gè)圖形 投影到平面上 就會(huì)和原來(lái)的距離 角度 圖形呈現(xiàn)差異 這一差異稱作投影的變形 投影面上的邊長(zhǎng)與原面上的相應(yīng)長(zhǎng)度之比 稱為長(zhǎng)度比 長(zhǎng)度比 2 地圖投影的分類 1 按變形性質(zhì)分類 1 等角投影又稱為正形投影 投影面上某點(diǎn)的任意兩方向線夾角與橢球面上相應(yīng)兩線段夾角相等 即角度變形為零 等角投影在一點(diǎn)上任意方向的長(zhǎng)度比都相等 但在不同地點(diǎn)長(zhǎng)度比是不同的 2 等積投影在投影平面上任意一塊面積與橢球面上相應(yīng)的面積相等 即面積變形等于零 3 等距投影定義為沿某一特定方向的距離 投影前后保持不變 即沿著該特定方向長(zhǎng)度比為1 在這種投影圖上并不是不存在長(zhǎng)度變形 它只是在特定方向上沒(méi)有長(zhǎng)度變形 2 按投影面的形狀分類 1 方位投影 以平面作為投影面 使平面與球面相切或相割 將球面上的經(jīng)緯線投影到平面上而成 2 圓柱投影 以圓柱面作為投影面 使圓柱面與球面相切或相割 將球面上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上 然后將圓柱面展為平面而成 3 圓錐投影 以圓錐面作為投影面 使圓錐面與球面相切或相割 將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上 然后將圓錐面展為平面而成 3 中國(guó)各種地圖投影 1 中國(guó)全國(guó)地圖投影 斜軸等面積方位投影 斜軸等角方位投影 偽方位投影 正軸等面積割圓錐投影 正軸等角割圓錐投影 2 中國(guó)分省 區(qū) 地圖的投影 正軸等角割圓錐投影 正軸等面積割圓錐投影 正軸等角圓柱投影 高斯 克呂格投影 寬帶 3 中國(guó)大比例尺地圖的投影 多面體投影 北洋軍閥時(shí)期 等角割圓錐投影 蘭勃特投影 解放前 高斯 克呂格投影 解放以后 從世界范圍看 各國(guó)大中比例尺地形圖所使用的投影很不統(tǒng)一 據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)有十幾種之多 最常用的有橫軸等角橢圓柱投影等 中華人民共和國(guó)成立后 我國(guó)大中比例尺地形圖一律規(guī)定采用以克拉索夫斯基橢球體元素計(jì)算的高斯 克呂格投影 我國(guó)新編1 100萬(wàn)地形圖 采用的則是邊緯與中緯變形絕對(duì)值相等的正軸等角圓錐投影 4 常用的幾種地圖投影 1 控制測(cè)量對(duì)地圖投影的要求 1 等角投影 又稱正形投影 2 長(zhǎng)度和面積變形不大 并能用簡(jiǎn)單公式計(jì)算由變形而引起的改正數(shù) 3 能很方便地按分帶進(jìn)行 并能按高精度的 簡(jiǎn)單的 同樣的計(jì)算公式和用表把各帶聯(lián)成整體 6 2高斯投影概述 重點(diǎn) 高斯投影是等角橫切橢圓柱投影 高斯投影是一種等角投影 它是由德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯 Gauss 1777 1855 提出 后經(jīng)德國(guó)大地測(cè)量學(xué)家克呂格 Kruger 1857 1923 加以補(bǔ)充完善 故又稱 高斯 克呂格投影 簡(jiǎn)稱 高斯投影 2 高斯投影的基本概念 N S c 中央 子 午線 赤道 1 高斯投影的原理 高斯投影采用分帶投影 將橢球面按一定經(jīng)差分帶 分別進(jìn)行投影 2 高斯投影必須滿足 1 高斯投影為正形投影 即等角投影 2 中央子午線投影后為直線 且為投影的對(duì)稱軸 3 中央子午線投影后長(zhǎng)度不變 3 高斯投影的特點(diǎn) 1 中央子午線投影后為直線 且長(zhǎng)度不變 2 除中央子午線外 其余子午線的投影均為凹向中央子午線的曲線 并以中央子午線為對(duì)稱軸 投影后有長(zhǎng)度變形 3 赤道線投影后為直線 但有長(zhǎng)度變形 赤道 中央子午線 平行圈 子午線 O x y 4 除赤道外的其余緯線 投影后為凸向赤道的曲線 并以赤道為對(duì)稱軸 5 經(jīng)線與緯線投影后仍然保持正交 6 所有長(zhǎng)度變形的線段 其長(zhǎng)度變形比均大于l 7 離中央子午線愈遠(yuǎn) 長(zhǎng)度變形愈大 赤道 中央子午線 平行圈 子午線 O x y 4 投影帶的劃分 我國(guó)規(guī)定按經(jīng)差6 和3 進(jìn)行投影分帶 6 帶自首子午線開始 按6 的經(jīng)差自西向東分成60個(gè)帶 3 帶自1 5 開始 按3 的經(jīng)差自西向東分成120個(gè)帶 高斯投影帶劃分 6 帶與3 帶中央子午線之間的關(guān)系如圖 3 帶的中央子午線與6 帶中央子午線及分帶子午線重合 減少了換帶計(jì)算 工程測(cè)量采用3 帶 特殊工程可采用1 5 帶或任意帶 按照6 帶劃分的規(guī)定 第1帶中央子午線的經(jīng)度為3 其余各帶中央子午線經(jīng)度與帶號(hào)的關(guān)系是 L 6 N 3 N為6 帶的帶號(hào) 例 20帶中央子午線的經(jīng)度為 L 6 20 3 117 按照3 帶劃分的規(guī)定 第1帶中央子午線的經(jīng)度為3 其余各帶中央子午線經(jīng)度與帶號(hào)的關(guān)系是 L 3 n n為3 帶的帶號(hào) 例 120帶中央子午線的經(jīng)度為L(zhǎng) 3 120 360 若已知某點(diǎn)的經(jīng)度為L(zhǎng) 則該點(diǎn)的6 帶的帶號(hào)N由下式計(jì)算 若已知某點(diǎn)的經(jīng)度為L(zhǎng) 則該點(diǎn)所在3 帶的帶號(hào)按下式計(jì)算 四舍五入 高斯平面直角坐標(biāo)系的建立 x軸 中央子午線的投影y軸 赤道的投影原點(diǎn)O 兩軸的交點(diǎn) O x y P X Y 高斯自然坐標(biāo) 注 X軸向北為正 y軸向東為正 赤道 中央子午線 由于我國(guó)的位于北半球 東西橫跨12個(gè)6 帶 各帶又獨(dú)自構(gòu)成直角坐標(biāo)系 故 X值均為正 而Y值則有正有負(fù) x y o 500km 500000 636780 360m 500000 227559 720m 國(guó)家統(tǒng)一坐標(biāo) 帶號(hào) 帶號(hào) 例 有一國(guó)家控制點(diǎn)的坐標(biāo) x 3102467 280m y 19367622 380m 1 該點(diǎn)位于6 帶的第幾帶 2 該帶中央子午線經(jīng)度是多少 3 該點(diǎn)在中央子午線的哪一側(cè) 4 該點(diǎn)距中央子午線和赤道的距離為多少 第19帶 L 6 19 3 111 先去掉帶號(hào) 原來(lái)橫坐標(biāo)y 367622 380 500000 132377 620m 在西側(cè) 距中央子午線132377 620m 距赤道3102467 280m 不同點(diǎn) 1 x y軸互異 2 坐標(biāo)象限不同 3 表示直線方向的方位角定義不同 相同點(diǎn) 數(shù)學(xué)計(jì)算公式相同 高斯平面直角坐標(biāo)系與數(shù)學(xué)上的笛卡爾平面直角坐標(biāo)系的異同點(diǎn) 3 橢球面三角系化算到高斯平面 將橢球面三角系歸算到高斯投影面的主要內(nèi)容是 將起始點(diǎn)的大地坐標(biāo)B L歸算為高斯平面直角坐標(biāo)x y 為了檢核還應(yīng)進(jìn)行反算 亦即根據(jù)x y反算B L 通過(guò)計(jì)算該點(diǎn)的子午線收斂角及方向改正 將橢球面上起算邊大地方位角歸算到高斯平面上相應(yīng)邊的坐標(biāo)方位角 通過(guò)計(jì)算各方向的曲率改正和方向改正 將橢球面上各三角形內(nèi)角歸算到高斯平面上的由相應(yīng)直線組成的三角形內(nèi)角 通過(guò)計(jì)算距離改正 將橢球面上起算邊的長(zhǎng)度歸算到高斯平面上的直線長(zhǎng)度 當(dāng)控制網(wǎng)跨越兩個(gè)相鄰?fù)队皫?需要進(jìn)行平面坐標(biāo)的鄰帶換算 6 3高斯投影坐標(biāo)正反算公式 了解 1 高斯投影坐標(biāo)正算公式 B l x y 高斯投影必須滿足以下三個(gè)條件 中央子午線投影后為直線 中央子午線投影后長(zhǎng)度不變 投影具有正形性質(zhì) 即正形投影條件 對(duì)于任何一種投影 坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系是最主要的 如果是正形投影 除了滿足正形投影的條件外 還有它本身的特殊條件 2 高斯投影坐標(biāo)反算公式 x y B l 滿足以下三個(gè)條件 x坐標(biāo)軸投影后為中央子午線是投影的對(duì)稱軸 x坐標(biāo)軸投影后長(zhǎng)度不變 投影具有正形性質(zhì) 即正形投影條件 當(dāng)B 0時(shí)x X 0 y則隨l的變化而變化 這就是說(shuō) 赤道投影為一直線且為y軸 當(dāng)l 0時(shí) 則y 0 x X 這就是說(shuō) 中央子午線投影亦為直線 且為x軸 其長(zhǎng)度與中央子午線長(zhǎng)度相等 兩軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) 當(dāng)l 常數(shù)時(shí) 經(jīng)線 隨著B值增加 x值增大 y值減小 這就告訴我們 經(jīng)線是凹向中央子午線的曲線 且收斂于兩極 又因 即當(dāng)用 B代替B時(shí) y值不變 而x值數(shù)值相等符號(hào)相反 這就說(shuō)明赤道是投影的對(duì)稱軸 當(dāng)B 常數(shù)時(shí) 緯線 隨著的l增加 x值和y值都增大 這就是說(shuō) 緯線是凸向赤道的曲線 又當(dāng)用 l代替l時(shí) x值不變 而y值數(shù)值相等符號(hào)相反 這就說(shuō)明 中央子午線是投影對(duì)稱軸 由于滿足正形投影條件 所以經(jīng)線和緯線的投影是互相垂直的 距中央子午線愈遠(yuǎn)的子午線 投影后彎曲愈厲害 表明長(zhǎng)度變形愈大 3 高斯投影坐標(biāo)正反算公式的幾何解釋 練習(xí)1 已知某點(diǎn)的坐標(biāo) B 29 04 05 3373 L 121 10 33 2012 計(jì)算 1 該點(diǎn)的3 帶和6 帶帶號(hào) 2 該點(diǎn)的3 帶高斯投影坐標(biāo)并反算檢核 子午線收斂角的概念如右圖所示 及分別為橢球面點(diǎn) 過(guò)點(diǎn)的子午線及平行圈在高斯平面上的描寫 由圖可知 所謂點(diǎn)子午線收斂角就是在上的切線與坐標(biāo)北之間的夾角 用表示 在橢球面上 因?yàn)樽游缇€同平行圈正交 又由于投影具有正形性質(zhì) 因此它們的描寫線及也必正交 由圖可見 平面子午線收斂角也就是等于在點(diǎn)上的切線同平面坐標(biāo)系橫軸的傾角 6 4 1平面子午線收斂角公式 了解 6 4橢球面上的方向和長(zhǎng)度歸算至高斯平面 在中央子午線上l 0 r 0 在赤道上B 0 r 0 在同一經(jīng)線上 l 常數(shù) 緯度愈高 r的絕對(duì)值也愈大 在極點(diǎn)處最大 在同一緯線上 B 常數(shù) 經(jīng)差l的絕對(duì)值愈大 r的絕對(duì)值也愈大 r為奇函數(shù) 有正負(fù) 當(dāng)描寫點(diǎn)在中央子午線以東時(shí) 經(jīng)差為正 r也為正 當(dāng)描寫點(diǎn)在中央子午線以西時(shí) 經(jīng)差為負(fù) r也為負(fù) 1 求 的公式 2 由高斯平面坐標(biāo)x y計(jì)算 6 4 2方向改化公式 重點(diǎn) 方向改正數(shù)就是指大地線的投影曲線和連接大地線兩點(diǎn)的弦之夾角 我國(guó)二等三角網(wǎng)平均邊長(zhǎng)為13KM 當(dāng)ym 250km時(shí) 上式精確至0 01 故通常用于二等三角測(cè)量計(jì)算 方向改化數(shù)計(jì)算公式 我國(guó)三四等三角網(wǎng)平均邊長(zhǎng)為10KM范圍內(nèi) 可對(duì)上式簡(jiǎn)化 該式精確為0 1 6 4 3距離改化公式 重點(diǎn) 由S化至D所加的 S改正稱為距離改正 當(dāng)S 70km ym 350km 6 帶的邊緣 計(jì)算精度小于0 001m 對(duì)于一等邊長(zhǎng)的歸算完全可滿足要求 對(duì)于二等邊長(zhǎng)的歸算可略去項(xiàng) 對(duì)于三四等邊長(zhǎng)的歸算又可再略去項(xiàng) 1距離改換公式 2 距離改化的實(shí)用計(jì)算公式 一等三角網(wǎng)的距離改正的實(shí)用公式 二等三角網(wǎng)的距離改正的實(shí)用公式 三等三角網(wǎng)以下的距離改正的實(shí)用公式 產(chǎn)生換帶的原因高斯投影為了限制高斯投影的長(zhǎng)度變形 以中央子午線進(jìn)行分帶 把投影范圍限制在中央子午線東 西兩側(cè)一定的范圍內(nèi) 因而 使得統(tǒng)一的坐標(biāo)系分割成各帶的獨(dú)立坐標(biāo)系 在工程應(yīng)用中 往往要用到相鄰帶中的點(diǎn)坐標(biāo) 有時(shí)工程測(cè)量中要求采用帶 帶或任意帶 而國(guó)家控制點(diǎn)通常只有帶坐標(biāo) 這時(shí)就產(chǎn)生了帶同帶 或帶 任意帶 之間的相互坐標(biāo)換算問(wèn)題 如下圖所示 6 5高斯投影的鄰帶換算 了解 需要進(jìn)行坐標(biāo)鄰帶換算的情況 1 控制網(wǎng)跨越兩個(gè)投影帶 2 在分界子午線附近地區(qū)測(cè)圖 需要用到另一帶的三角點(diǎn)作為控制點(diǎn)時(shí) 3 6 帶 3 帶 1 5 帶之間的換算 坐標(biāo)鄰帶換算的一般方法 把橢球面上的大地坐標(biāo)作為過(guò)渡坐標(biāo) 首先把某投影帶 如21帶 內(nèi)的有關(guān)點(diǎn)的平面坐標(biāo)x y利用高斯投影反算公式換算成橢球面上的大地坐標(biāo)B L 然后再由大地坐標(biāo)B L利用投影正算公式換算成相鄰帶的 如22帶 的平面坐標(biāo) 計(jì)算步驟 根據(jù) 利用高斯反算公計(jì)算換算 得到 采用已求得的 并顧及到第 帶的中央子午線 求得 利用高斯正算公式計(jì)算第 帶的直角坐標(biāo) 為了檢核計(jì)算的正確性 要求每步都應(yīng)進(jìn)行往返計(jì)算 算例在中央子午線的 帶中 有某一點(diǎn)的平面直角坐標(biāo) 現(xiàn)要求計(jì)算該點(diǎn)在中央子午線的第 帶的平面直角坐標(biāo) 1 地圖投影的概念在數(shù)學(xué)中 投影 Project 的含義是指建立兩個(gè)點(diǎn)集間一一對(duì)應(yīng)的映射關(guān)系 同樣 在地圖學(xué)中 地圖投影就是指建立地球表面上的點(diǎn)與投影平面上點(diǎn)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 地圖投影的基本問(wèn)題就是利用一定的數(shù)學(xué)法則把地球表面上的經(jīng)緯線網(wǎng)表示到平面上 由于地球橢球體表面是曲面 而地圖通常是要繪制在平面圖紙上 因此制圖時(shí)首先要把曲面展為平面 然而球面是個(gè)不可展的曲面 即把它直接展為平面時(shí) 不可能不發(fā)生破裂或褶皺 若用這種具有破裂或褶皺的平面繪制地圖 顯然是不實(shí)際的 所以必須采用特殊的方法將曲面展開 使其成為沒(méi)有破裂或褶皺的平面 6 6有關(guān)投影的基本知識(shí) 了解 2 地圖投影的變形1 長(zhǎng)度變形2 面積變形3 角度變形 1 墨卡托 Mercator 投影 墨卡托投影為正軸等角切圓柱投影 是由墨卡托于1569年專門為航海目的設(shè)計(jì)的 其設(shè)計(jì)思想是令一個(gè)與地軸方向一致的圓柱切于或割于地球 將球面上的經(jīng)緯網(wǎng)按等角條件投影于圓柱表面上 然后將圓柱面沿一條母線剪開展成平面 即得墨卡托投影 該投影的經(jīng)緯線是互為垂直的平行直線 經(jīng)線間隔相等 緯線間隔由由赤道向兩極逐漸擴(kuò)大 圖上任取一點(diǎn) 由該點(diǎn)向各方向長(zhǎng)度比皆相等 即角度變形為零 在正軸等角切圓柱投影中 赤道為沒(méi)有變形的線 隨緯度增高面積變形增大 UTM投影全稱為 通用橫軸墨卡托投影 UniversalTransverseMercatorProjection 是一種 等角橫軸割圓柱投影 橢圓柱割地球于南緯80度 北緯84度兩條等高圈 投影后兩條相割的經(jīng)線上沒(méi)有變形 而中央經(jīng)線上長(zhǎng)度比0 9996 UTM投影是為了全球戰(zhàn)爭(zhēng)需要?jiǎng)?chuàng)建的 美國(guó)于1948年完成這種通用投影系統(tǒng)的計(jì)算 UTM投影分帶方法與高斯 克呂格投影相似 是自西經(jīng)180 起每隔經(jīng)差6度自西向東分帶 將地球劃分為60個(gè)投影帶 1 UTM是對(duì)高斯投影的改進(jìn) 改進(jìn)的目的是為了減少投影變形 2 UTM投影的投影變形比高斯的要小 最大在0 001 但其投影變形規(guī)律比高斯要復(fù)雜一點(diǎn) 因?yàn)樗玫氖歉顖A柱 所以 它的m 1的地方是在割線上 實(shí)際上是一個(gè)圓 處在正負(fù)1 40 的位置 距離中央經(jīng)線大約180km 3 UTM投影在中央經(jīng)線上 投影變形系數(shù)m 0 9996 而高斯投影的中央經(jīng)線投影的變形系數(shù)m 1 4 UTM為了減少投影變形也采用分帶 它采用6 分帶 但起始的1帶是 e174 e180 所以 UTM的6 分帶的帶號(hào)比高斯的大30 5 很重要