格林公式及其應用(28).ppt

思考與練習 1 設 且都取正向 問下列計算是否正確 提示 一 平面曲線積分與路徑無關的條件 二 二元函數(shù)的全微分求積 第三節(jié) 2 曲線積分與路徑無關的條件 第十一章 p197 例2 回顧 結果 被積函數(shù)相同 起點終點也相同 但是由于積分路徑不同 導致積分結果不同 稱此曲線積分與路徑有關 被積函數(shù)相同 起點和終點也相同 雖然積分路徑不同 但是積分結果相同 稱此曲線積分與路徑無關 回顧 p197 例3 結果 1 曲線積分與路徑義無關的定義 B A 如果在區(qū)域G內(nèi)有 一 平面曲線積分與路徑無關的條件 2 平面上曲線積分與路徑無關的等價條件 定理2 設D是單連通域 在D內(nèi) 具有一階連續(xù)偏導數(shù) 1 沿D中任意光滑閉曲線L 有 2 對D中任一分段光滑曲線L 曲線積分 3 4 在D內(nèi)每一點都有 與路徑無關 只與起止點有關 函數(shù) 則以下四個條件等價 在D內(nèi)是某一函數(shù) 的全微分 即 說明 積分與路徑無關時 曲線積分可記為 證明 1 2 設 為D內(nèi)任意兩條由A到B的有向分段光滑曲 線 則 根據(jù)條件 1 證明 2 3 在D內(nèi)取定點 因曲線積分 則 同理可證 因此有 和任一點B x y 與路徑無關 有函數(shù) 證明 3 4 設存在函數(shù)u x y 使得 則 P Q在D內(nèi)具有連續(xù)的偏導數(shù) 從而在D內(nèi)每一點都有 證明 4 1 設L為D中任一分段光滑閉曲線 如圖 利用格林公式 得 所圍區(qū)域為 證畢 注意 1 常用來判斷曲線積分與路徑無關 2 當曲線積分與路徑無關時 常選擇最簡路徑 平行于坐標軸的直線段組成的折線作為積分路徑 如果D是復連通域 即使曲線積分也不一定與路徑無關 注意以上的結果與L的形狀無關 單連通的條件不可去 見p205例4 當曲線積分 與路徑無關時 我們可以不沿指定的L積分 一般選擇沿折線積分 例1 解 練習證明下列曲線積分與路徑無關 并計算積分值 教材214頁 題4 2 解 曲線積分與路徑無關 可沿折線積分 二 二元函數(shù)的全微分求積 1 原函數(shù) 如果存在一個函數(shù)u x y 使得 du x y P x y dx Q x y dy 原函數(shù) 全微分式 例如 全微分式 2 判別定理 定理3 設函數(shù)P x y Q x y 在單連通域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù) 則P x y dx Q x y dy在D內(nèi)為某一函數(shù)全微分 在D內(nèi)恒成立 3 全微分求積 當Pdx Qdy為全微分式時 求其原函數(shù)u x y 的過程 與路徑無關 可選平行于坐標軸的折線作為積分路徑 如圖取為積分路徑 得 如圖取為積分路徑 得 例2 驗證 在整個坐標平面內(nèi)是某個函數(shù)u的全微分 并求u 在整個坐標面上是某個函數(shù)的全微分 注 起點可以任選 一般選原點 原函數(shù)可以相差一個常數(shù) 練習 解 或 例3 解 全微分方程及其求法 定義 若有全微分形式 例如 所以原方程是全微分方程 全微分方程 全微分方程的解法 1 應用曲線積分與路徑無關 則全微分方程的通解為 例1 這是全微分方程 方程的通解為 故 故 例1 解 是全微分方程 將左端重新組合 原方程的通解為 例2 用直接湊全微分的方法 內(nèi)容小結 1 格林公式 2 等價條