蘇教版一元二次方程學案(已用).doc

蘇科版九年級數(shù)學第四章一元二次方程全部教案4.1 一元二次方程學習目標1、經(jīng)歷由實際問題抽象出一元二次方程的過程，進一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學模型2、了解一元二次方程的概念和它的一般形式，會根據(jù)實際問題列一元二次方程學習重、難點重點：一元二次方程的概念和一般形式難點：正確理解和掌握一般形式中的a0，“項”和“系數(shù)”學習過程：一、情境創(chuàng)設1、小區(qū)在每兩幢樓之間，開辟面積為900平方米的一塊長方形綠地，并且長比寬多10米，則綠地的長和寬各為多少？2、學校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預計到明年年底增加到7.2萬冊，求這兩年的年平均增長率？3、一個正方形的面積的2倍等于15，這個正方形的邊長是多少？4、一個數(shù)比另一個數(shù)大3，且兩個數(shù)之積為10，求這兩個數(shù)。二、探索活動上述問題可用方程解決：問題1中可設寬為x米，則可列方程： x（x+10）= 900問題2中可設這兩年的平均增長率為x，則可列方程： 5（1x）2 = 7.2問題3中可設這個正方形的連長為x，則可列方程： 2x2 = 15問題4中可設較小的一個數(shù)為x，則可列方程： x（x3）= 10觀察上面列出的4個方程，它們有哪些相同點？（從方程的概念看）歸納：像上述方程這樣，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程。注：符合一元二次方程即符合三個條件：一個未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)為2；整式方程任何一個關于x的一元二次方程都可以化成下面的形式：ax2bxc = 0（a、b、c是常數(shù)，且a0）這種形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2、bx、c分別叫做二次項、一次項和常數(shù)項，a、b分別叫二次項系數(shù)和一次項系數(shù)。三、例題教學例 1 根據(jù)題意，列出方程：（1）某學校圖書館去年年底有圖書1萬冊，預計到明年年底增加到1.44萬冊。求這兩年圖書的年平均增長率。（答案：設這兩年圖書館的年平均增長率是x，根據(jù)題意，得1（1x）2=1.44）（2）一塊面積為600平方厘米的長方形紙片，把它的一邊剪短10厘米，恰好得到一個正方形。求這個正方形的連長。（答案：設這個正方形的連長是x厘米，根據(jù)題意，得x（x10）= 600）例 2 判斷下列關于x的方程是否為一元二次方程： 2（x21）= 3y （x3）2= （x5）2 mx23x2 = 0 （a21）x2（2a1）x5a = 0例 3 把下列方程化成一般形式，并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項： 2（x21）= 3 x 3（x3）2=（x2）27四、課堂練習P81 練習 1、2五、課堂小結引導學生總結：1、一元二次方程定義的三要素。2、一元二次方程的一般形式及二次項系數(shù)不能為零。六、作業(yè)P81 練習 1、2 P82 習題4.1 1七、教后感4.2 一元二次方程的解法（1）學習目標1、了解形如（xm）2= n（n0）的一元二次方程的解法 直接開平方法2、會用直接開平方法解一元二次方程學習重、難點重點：會用直接開平方法解一元二次方程難點：理解直接開平方法與平方根的定義的關系學習過程：一、情境創(chuàng)設我們曾學習過平方根的意義及其性質(zhì)，現(xiàn)在來回憶一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性質(zhì)?如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)就叫做a的平方根。用式子表示：若x2=a，則x叫做a的平方根。平方根有下列性質(zhì)：(1)一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根是互為相反數(shù)的；(2)零的平方根是零；(3)負數(shù)沒有平方根。如何求出適合等式x2=4的x的值呢?二、探索活動根據(jù)平方根的定義，由x24可知，x就是4的平方根，因此x的值為2和2即 根據(jù)平方根的定義，得 x24 x2 即此一元二次方程的解為： x1=2，x2 =2這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法。三、例題教學例 1 解下列方程：（1）x22 （2）4x210分析：第1題直接用開平方法解；第2題可先將1移項，再兩邊同時除以4化為x2a的形式，再用直接開平方法解之。例 2 解下列方程： （x1）2= 2 （x1）24 = 0 12（3x）23 = 0分析：第1小題中只要將（x1）看成是一個整體，就可以運用直接開平方法求解；第2小題先將4移到方程的右邊，再同第1小題一樣地解；第3小題先將3移到方程的右邊，再兩邊同除以12，再同第1小題一樣地去解即可。小結：如果一個一元二次方程具有（xm）2= n（n0）的形式，那么就可以用直接開平方法求解。（用直接開平方法解一元二次方程就是將一元二次方程的左邊化為一個完全平方式，右邊化為常數(shù)，且要養(yǎng)成檢驗的習慣）四、課堂練習P84 練習 1、2、3五、課堂小結引導學生總結：1、用直接開平方法解一元二次方程的一般步驟；2、任意一個一元二次方程都可以用直接開平方法解嗎？六、作業(yè)P84 練習1、2 P93 習題4.2 1七、教后感4.2 一元二次方程的解法（2）學習目標1、經(jīng)歷探究將一元二次方程的一般（xm）2= n（n0）形式的過程，進一步理解配方法的意義2、會用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程，體會轉(zhuǎn)化的思想方法學習重、難點重點：使學生掌握配方法，解一元二次方程難點：把一元二次方程轉(zhuǎn)化為的（xm）2= n（n0）形式學習過程：一、情境創(chuàng)設我們已經(jīng)學過了用直接開平方法解形如（xm）2= n（n0）的一元二次方程，那么如何解方程x26x4 = 0呢?二、探索活動我們能否將方程x26x4 = 0轉(zhuǎn)化為（xm）2= n的形式呢？ 先將常數(shù)項移到方程的右邊，得 x26x = 4 即 x22x3 = 4在方程的兩邊加上一次項系數(shù)6的一半的平方，即32后，得 x22x3 32 = 432 （x3）2 = 5 解這個方程，得 x3 = 所以 x1 = 3 x2 = （注：可以多舉幾例，綜合得出“兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方”的結論）由此可見，只要先把一個一元二次方程變形為（xm）2= n的形式（其中m、n都是常數(shù)），如果n0，再通過直接開平方法求出方程的解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法。三、例題教學例 1 將下列各進行配方：8x_（x_）2 5x_（x_）2x_（x_）2 6x_（x_）2分析：本題應用“方程兩同時加上一次項系數(shù)一半的平方”來配方。例 2 解下列方程：（1） x24x3 = 0 （2）x23x1 = 0小結：用配方法解一元二次方程的一般步驟： 1、把常數(shù)項移到方程右邊；2、在方程的兩邊各加上一次項系數(shù)的一半的平方，使左邊成為完全平方；3、利用直接開平方法解之。 思考：為什么在配方過程中，方程的兩邊總是加上一次項系數(shù)一半的平方？四、課堂練習P87 練習 1、2、3五、課堂小結引導學生總結：1、配方法解一元二次方程的作用是什么？配方時要注意什么？2、用配方法解一元二次方程的一般步驟是什么？六、作業(yè)P87 練習1、2 P93 習題4.2 2、3七、教后感4.2 一元二次方程的解法（3）學習目標1、掌握用配方法解一元二次方程的基本步驟和方法2、會正確運用配方法解一元二次方程，進一步體會配方法是一種重要的數(shù)學方法學習重、難點重點：使學生掌握用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程難點：把一元二次方程轉(zhuǎn)化為的（xm）2= n（n0）形式學習過程：一、情境創(chuàng)設我們已經(jīng)學過了用直接開平方法與配方法解一元二次方程，那么如何解方程2x25x2 = 0呢?二、探索活動由于該方程不是（xm）2= n（n0）的形式，因此不能用直接開平方法解，而且也不符合上節(jié)課用配方法所解的方程的形式，但如果將方程兩邊同時除以二次項系數(shù)的話就和上節(jié)課所學的一樣了。即方程兩邊同時除以2，得 x2x 1= 0再用上節(jié)課的知識解決即可。小結：對于二次項系數(shù)不為1的一元二次方程，我們可以先將兩邊同時除以二次項系數(shù)，再利用配方法求解。三、例題教學例 1 解下列方程： 3 x28x1 = 0 3 x24x1 = 0分析：第1小題先將方程兩邊同時除以3，將二次項系數(shù)化為1，再用配方法解之；而第2小題的二次項系數(shù)是負數(shù)，同樣只需兩邊同除以二次項系數(shù)3，再用配方法解之。小結：用配方法解一元二次方程的一般步驟： 1、方程兩邊同時除以二次項系數(shù)；2、把常數(shù)項移到方程右邊；3、在方程的兩邊各加上一次項系數(shù)的一半的平方，使左邊成為完全平方；4、利用直接開平方法解之。四、課堂練習P88 練習 1五、課堂小結引導學生總結：1、配方法解一元二次方程的作用是什么？配方時要注意什么？2、用配方法解一元二次方程的一般步驟是什么？六、作業(yè)P88 練習1 P93 習題4.2 3七、教后感4.2 一元二次方程的解法（4）學習目標1、體驗用配方法推導一元二次方程求根公式的過程，明確運用公式求根的前提條件是b24ac02、會用公式法解一元二次方程學習重、難點重點：掌握一元二次方程的求根公式，并應用它熟練地解一元二次方程難點：求根公式的結構比較復雜，不易記憶；系數(shù)和常數(shù)為負數(shù)時，代入求根公式常出符號錯誤學習過程：一、情境創(chuàng)設1、用配方解一元二次方程的步驟是什么？2、用配方法結合直接開平方法解一元二次方程，計算比較麻煩，能否研究出一種更好的方法，迅速求得一元二次方程的實數(shù)根呢？3、如何解一般形式的一元二次方程ax2bxc = 0（a0）？二、探索活動能否用配方法把一般形式的一元二次方程ax2bxc = 0（a0）轉(zhuǎn)化為呢？回顧用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程的過程，讓學生分組討論交流，達成共識：因為，方程兩邊都除以，得 移項，得 配方得 即 當，且時，大于等于零嗎？讓學生思考、分析，發(fā)表意見，得出結論：當時，因為，所以，從而到此，你能得出什么結論？讓學生討論、交流，從中得出結論，當時，一般形式的一元二次方程的根為，即。由以上研究的結果，得到了一元二次方程的求根公式： （）這個公式說明方程的根是由方程的系數(shù)、所確定的，利用這個公式，我們可以由一元二次方程中系數(shù)、的值，直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。思考：當時，方程有實數(shù)根嗎？三、例題教學例 1 解下列方程： x23x2 = 0 2 x27x = 4分析：第2小題要先將方程化為一般形式再用求根公式求解。四、課堂練習1、P90 練習 1、22、思維拓展：用配方法解方程x2pxq = 0(p24q0)五、課堂小結引導學生總結：1、用公式法解一元二次方程時要注意什么？2、任何一個一元二次方程都能用公式法求解嗎？舉例說明。3、若解一個一元二次方程時，b24ac0，請說明這個方程解的情況。六、作業(yè)后進生：P90 練習1 優(yōu)生：P93 習題4.2 2、3七、教后感4.2 一元二次方程的解法（5）學習目標1、用公式法解一元二次方程中，進一步理解代數(shù)式b24ac對根的情況的判斷作用2、能用b24ac的值判別一元二次方程根的情況學習重、難點重點：一元二次方程根與系數(shù)的關系難點：由一元二次方程的根的情況求方程中字母系數(shù)的取值學習過程：一、情境創(chuàng)設不解方程，你能判斷下列方程根的情況嗎？ x22x8 = 0 x2 = 4x4 x23x = 3二、探索活動1、一元二次方程根的情況與一元二次方程中二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項有關嗎？能否根據(jù)這個關系不解方程得出方程的解的情況呢？例 解下列方程： x2x1 = 0 x22x3 = 0 2x22x1 = 0分析：本題三個方程的解法都是用公式法來解，由公式法解一元二次方程的過程中先求出b24ac的值可以發(fā)現(xiàn)它的符號決定著方程的解。由此可以發(fā)現(xiàn)一元二次方程ax2bxc = 0（a0）的根的情況可由b24ac來判定： 當b24ac0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根； 當b24ac = 0時，方程有兩個相等的實數(shù)根； 當b24ac 0時，方程沒有實數(shù)根。我們把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc = 0（a0）的根的判別式。2、若已知一個一元二次方程的根的情況，是否能得到的值的符號呢？當一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根時，b24ac0當一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根時， b24ac = 0當一元二次方程沒有實數(shù)根時，b24ac 0三、例題教學例 1 不解方程，判斷下列方程根的情況： 3x2x1 = 3x 5（x21）= 7x 3x24x = 4分析：先把方程化為一般形式，確認a、b、c后，再算出b24ac的值，對方程給予判定。例 2 若方程8x2（m1）xm7 = 0有兩個不相等的實數(shù)根，求m的值。分析：本題與例1剛好相反，應由方程有兩個不相等的實數(shù)根得b24ac = 0，從而得到關于m的方程，求出m的值。四、課堂練習1、P91 練習 1、22、當k為何值時，關于x的方程kx2（2k1）xk3 = 0有兩個不相等的實數(shù)根？五、課堂小結一元二次方程根與系數(shù)有什么樣的關系？六、作業(yè)1、不解方程，判斷下列方程根的情況： 4x213x9 = 0 3（x2）= x2 3x24x = 52、當m為何值時，方程8mx2（8m1）x2m = 0 有兩個不相等的實數(shù)根？ 有兩個相等的實數(shù)根？ 沒有實數(shù)根？七、教后感4.2 一元二次方程的解法（6）學習目標1、會用因式分解法解一元二次方程，體會“降次”化歸的思想方法2、能根據(jù)一元二次方程的特征，選擇適當?shù)那蠼夥椒?，體會解決問題的靈活性和多樣性學習重、難點重點：因式分解法解一元二次方程難點：將方程的右邊化為零后，對左邊進行正確的因式分解學習過程：一、情境創(chuàng)設用不同的方法解方程：x2x = 0二、探索活動1、你能用幾種方法解方程x2x = 0？本題既可以用配方法解，也可以用公式法來解，但由于公式法比配方法簡單，一般選用公式法來解。還有其他方法可以解嗎？仔細觀察方程的左邊，可以發(fā)現(xiàn)這個等式的左邊有公因式x，這時可把x提出來，左邊即為兩項的乘積，我們知道：兩個因式的乘積等于0，則這兩個因式為零，這樣，就把一元二次方程降為一元一次方程，此時，方程即可解。解：x2-x0， x(x-1)0，于是x0或x-30 x1=0，x2=3這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。2、下面哪些方程，用因式分解法求解比較簡便？ x22x3 = 0 （2x1）21 = 0 （x1）218 = 0 3（x5）2 = 2（5x）分析：第、小題用因式分解法求解比較簡便。結論：如果一個一元二次方程的一邊是0，另一邊能分解為兩個一次因式的乘積，那么這樣的一元二次方程就可以用因式分解法求解。三、例題教學例 1 解下列方程： x2 = 4x x3x（x3）= 0分析：第小題先化為一般形式，再提取公因式分解因式解之；第小題可以將（x3）作為一個整體，提取公因式解之。例 2 解方程（2x1）2x2= 0分析：方程的左邊可以用“平方差公式”分解因式，將之分解為兩個一次因式的積，從而解之。思考：在解方程（x2）2 = 4（x2）時，在方程兩邊都除以（x2），得x2=4，于是解得x =2，這樣解正確嗎？為什么？（不正確，這樣解使得方程少了一個解，原因在于兩邊同時除以的因式（x2）可能為0，而方程兩邊不可以同時除以0）四、課堂練習1、P92 練習 1、2、32、思維拓展：解方程： 3x（x1）= 2（x1）（x1） （3x1）24x2= 0五、課堂小結如何選用解一元二次方程的方法？六、作業(yè)后進生：P92 練習1、2 優(yōu)生：P93 習題4.2 4、5（用因式分解法解）七、教后感4.3 用一元二次方程解決問題（1）學習目標1、通過對實際問題的分析，進一步理解方程是刻畫客觀世界的有效模型2、經(jīng)歷用方程解決實際問題的過程，知道解應用問題的一般步驟和關鍵所在學習重、難點重點：用一元二次方程解“組織旅游”問題難點：分析問題尋找等量關系學習過程：一、情境創(chuàng)設一個正方體的表面積是2162，求這個正方體的棱長；一個直角三角形的面積是242，兩條直角邊的差是2，求兩條直角邊長。二、探索活動1、如何設未知數(shù)？如何找出問題中的相等關系？第1情境中，可由正方體的表面積等于正方體的六個面的面積和來表示，從而得到等量關系：“棱長26=2162”；第2情境中，由直角三角形的面積等于兩條直角邊之積的一半可得等量關系：“直角邊直角邊2=242”，設所求未知量為未知數(shù)，再由這些等量關系列出方程。2、如何解這些方程？方程的解都符合題意嗎？可用開平方法、配方法、公式法、因式分解法等方法解這些方程，方程的解必須要符合實際意義。三、例題教學例 1 已知兩個數(shù)的和等于12，積等于32，求這兩個數(shù)。分析：可設其中一個數(shù)為x，由“和等于12”列代數(shù)式表示另一個數(shù)為“12x”，再由“積等于32”列出方程“x(12x)=32”。例 2 某旅行社的一則廣告如下：我社組團去龍灣風景區(qū)旅游，收費標準為：如果人數(shù)不超過30人，人均旅游費用為800元；如果人數(shù)多于30人且不超過40人，那么每增加1人，人均旅游費用降低10，但人均旅游費用不得低于500元。甲公司分批組織員工到龍灣風景區(qū)旅游，現(xiàn)計劃用28000元組織第一批員工去旅游，問這次旅游可以安排多少人參加？分析：首先應得到總費用是28000，即有等量關系“人均費用人數(shù)=28000”，若人數(shù)不超過30人，則總費用不超過30800=2400028000，所以人數(shù)應超過30人，因此又得等量關系“800元（參加人數(shù)30人）10元=實際人均費用”，由此可以列出方程”80010(x30)x = 28000”，解題過程略。注：解出來的解必須符合實際意義且要符合條件中的“人數(shù)多于30人且不超過40人”與“人均旅游費用不得低于500元”。四、課堂練習1、P95 練習 （此題應將條件“人數(shù)超過30人但不超過40人”改為“人數(shù)超過30人時”，否則無解）2、思維拓展：某學校會議室的地面是一個長方形，它的長比寬多1m，用320塊邊長為25的正方形瓷磚恰好可將地面鋪滿。求會議室地面的長和寬。五、課堂小結1、用一元二次方程解決實際問題要經(jīng)歷怎樣的過程？（一審、二設、三列（列代數(shù)式、列方程）、四解、五驗、六答）2、用一元二次方程解決問題的關鍵是什么？（尋找題中的等量關系）六、作業(yè)補充。七、教后感4.3 用一元二次方程解決問題（2）學習目標1、進一步體會通過建立方程解決實際問題的意義和方法2、進一步體會運用方程解決問題的關鍵是尋找等量關系，提高分析問題、解決問題的能力學習重、難點重點：列一元二次方程解“面積與體積”和“平均增長率”問題難點：理解“平均增長率”中的變化過程，尋找正確的等量關系學習過程：一、情境創(chuàng)設一塊長方形鐵皮的長是寬的2倍，四角各截去一個正方形，制成高是5，容積是5003的無蓋長方體容器。求這塊鐵皮的長和寬。二、探索活動如何設未知數(shù)？如何找出表達實際問題的相等關系？這個問題中的相等關系是什么？一般情況下，應設要求的未知量為未知數(shù)；應從題中尋找未知數(shù)所表示的未知量與已知量之間的等量關系；這個問題的等量關系是“長寬高=容積”與“長=寬2”。三、例題教學例 1 某商店6月份的利潤是2500元，要使8月份的利潤達到3600元，這兩個月利潤的月平均增長的百分率是多少？分析：如果設這兩個月的利潤平均月增長的百分率是x，那么7月份的利潤是2500（1x）元，8月份的利潤是2500（1x）2元。例 2 一塊起碼方形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為4的小正方形，做成一個無蓋的盒子。已知盒子的容積是4003，求原鐵皮的邊長。四、課堂練習1、P96 練習 1、2、3、42、思維拓展：某服裝店花2000元進了批服裝，按50%的利潤定價，無人購買。決定打折出售，但仍無人購買，結果又一次打折后才售完。經(jīng)結算，這批服裝共盈利430元。如果兩次打折相同，每次打了幾折？五、課堂小結如何尋找等量關系？六、作業(yè)后進生：P96 練習1、2、3、4 優(yōu)生：P99 習題4.3 2、4、5、6七、教后感4.3 用一元二次方程解決問題（3）學習目標1、進一步認識建立方程模型的作用，提高數(shù)學的應用意識2、在用方程解決實際問題的過程中，提高抽象、概括、分析問題的能力學習重、難點重點：用一元二次方程解決實際問題難點：正確尋找等量關系學習過程：一、情境創(chuàng)設一根長22cm的鐵絲。（1）能否圍成面積是30cm2的矩形？（2）能否圍成面積是32 cm2的矩形？并說明理由。二、探索活動分析情境問題可知：如果設這根鐵絲圍成的矩形的長是xcm，那么矩形的寬是_。根據(jù)相等關系：矩形的長矩形的寬=矩形的面積，可以列出方程求解。思考：這根鐵絲圍成的矩形中，面積最大是多少？三、例題教學例 1 如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=12，點P從點A沿AB向點B 以1/s的速度移動；同時，點Q從點B沿邊BC向點C以2/s的速度移動，問幾秒后PBQ的面積等于82？分析：題中含有等量關系：SPBQ =82，只要用點P運動的時間來表示三角形各邊的長并代入等量關系式即可得到相應的方程。例 2 如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm。點P沿邊AB從點A開始向點B以2cm/s的速度移動，點Q沿邊DA從點D開始向點A以1cm/s的速度移動。如果P、Q同時出發(fā)，用t（s）表示移動的時間（0t3）那么，當t為何值時，QAP的面積等于2cm2?四、課堂練習1、P98 練習 2、思維拓展：如圖，有100m長的籬笆材料，要圍成一矩形倉庫，要求面積不小于600m2，在場地的北面有一堵50m的舊墻，有人用這個籬笆圍成一個長40m，寬10m的倉庫，但面積只有4010m2，不合要求，問應如何設計矩形的長與寬才能符合要求呢？五、課堂小結如何正確尋找實際問題中的等量關系？六、作業(yè)后進生：P98 練習 P99 習題4.3 6 優(yōu)生：P99 習題4.3 6、7、8七、教后感4.3 用一元二次方程解決問題（4）學習目標1、進一步體會利用一元二次方程解決實際問題的一般規(guī)律和方法2、增強數(shù)學的應用意識，進一步提高分析問題、解決問題的能力學習重、難點重點：列一元二次方程解