參數(shù)估值理論大作業(yè).doc

最小二乘法及其在matlab中的應(yīng)用 摘要：物理量之間的函數(shù)關(guān)系在實際研究工作中有很重要的作用。本文首先介紹了最小二乘法擬合的基本原理， 其次介紹了用Matlab實現(xiàn)曲線擬合以得到函數(shù)關(guān)系的方法和步驟，最后舉例詳細介紹了該方法的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：最小二乘法；Matlab;曲線擬合1. 引言在現(xiàn)代科學(xué)研究中，物理量之間的相互關(guān)系通常是用函數(shù)來描述的。有些函數(shù)關(guān)系是由經(jīng)典理論分析推到得出的，這些函數(shù)關(guān)系不僅為我們進一步的分析研究工作提供了物理的理論基礎(chǔ)，也是我們可以十分方便的運用豐富的數(shù)學(xué)知識來解決物理問題。在現(xiàn)實的物理研究過程中，有一些問題很難由經(jīng)典物理理論推導(dǎo)出物理量的函數(shù)表達式，或者此推導(dǎo)出的表達式也十分復(fù)雜，不利于進一步的分析。但由于研究需要，又很希望能得到這些量之間的函數(shù)關(guān)系，這時就可以利用曲線擬合的方法，用實驗數(shù)據(jù)結(jié)合數(shù)學(xué)方法得到物理量之間的曲線函數(shù)表達式。在處理實驗數(shù)據(jù)時，成用最小二乘法，通常使用計算器的統(tǒng)計功能來間接計算，計算量大，不但極易出現(xiàn)按鍵錯誤，而且不方便核查校對，耗時費力，同時也無法找出誤差較大甚至錯誤的數(shù)據(jù)點。Matlab是Math Works公司推出的一種科學(xué)計算軟件，是集數(shù)值計算、符號運算及出色的圖形處理、程序語言設(shè)計等強大功能于一體的科學(xué)計算語言。用Matlab處理實驗數(shù)據(jù)僅需編寫十幾行幾乎像通常筆算式的簡練程序，運行后就可得到所需的結(jié)果。應(yīng)用它既克服了最小二乘法計算量大等缺點，又使繁瑣、枯燥的數(shù)值計算變成種簡單、直觀的可視化操作過程，且能較準確地標記實驗數(shù)據(jù)點和繪出擬合曲線。2. 最小二乘法擬合的基本原理曲線擬合又稱為函數(shù)逼近，是指對一個復(fù)雜函數(shù)f(x),求出一個簡單的便于計算的函數(shù)p(X),它要求使f(x)與p(x)的誤差在某種度量意義下最小。 我們把近似值yi*和實測值yi之差稱為殘差，即： =yi-yi*顯然，殘差的大小是衡量擬合好壞的重要標志。我們經(jīng)常采用的三種衡量的準則為：使殘差的最大絕對值最小，即： Max| |=min使殘差的絕對值之和最小，即：|=min 使殘差的平方和最小，即：|2=min 分析上面的三種準則，準則、的提法都比較自然，但是由于含有絕對值，所以不利于實際計算，而按照準則來確定參數(shù)，得到擬合曲線的方法稱作曲線擬合的最小二乘法，它的計算比較簡單，是工程實際當(dāng)中常用的一種函數(shù)逼近的方法。 曲線擬合的最小二乘法問題可以描述為：根據(jù)已知的數(shù)據(jù)(xi,yi) (i=1,2,n),選取一個近似函數(shù)，使得|2=yi-2 最小。這種求近似函數(shù)的方法稱為曲線擬合的最小二乘法，函數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的最小二乘法。3. 用Matlab實現(xiàn)曲線擬合Matlab軟件是是集數(shù)值計算、符號運算及出色的圖形處理、程序語言設(shè)計等強大功能于一體的科學(xué)計算語言。用Matlab處理實驗數(shù)據(jù)僅需編寫十幾行幾乎像通常筆算式的簡練程序，運行后就可得到所需的結(jié)果。應(yīng)用它既克服了最小二乘法計算量大等缺點，又使繁瑣、枯燥的數(shù)值計算變成種簡單、直觀的可視化操作過程，且能較準確地標記實驗數(shù)據(jù)點和繪出擬合曲線。 本文通過舉例詳細介紹用Matlab實現(xiàn)最小二乘法處理實驗數(shù)的方法。 算法： 輸入各參量x,y 的測量值； 用Matlab語言中的plot函數(shù)x,y的曲線散點趨勢圖，以此圖對比典型曲線圖，選擇合適的經(jīng)驗公式； 編寫Matlab的函數(shù)，用來完成經(jīng)驗公式中待定系數(shù)的計算。 Matlab程序：將上面的算法編寫成Matlab程序計算數(shù)據(jù)最小二乘擬合系數(shù)。Function S=squar_least(x,y,n,w)數(shù)據(jù)的最小二乘擬合，其中x,y為數(shù)據(jù)（x，y）坐標；n為數(shù)據(jù)擬合的次數(shù),缺省是n=1;w為權(quán)值，缺省值w=1;s為數(shù)據(jù)擬合的系數(shù)。4. 舉例說明例：已知在測量小車位移（yi）和時間（xi）關(guān)系時，測得的數(shù)據(jù)如下：表1 小車時間（xi）和位移（yi）關(guān)系xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 yi 0 2 4 7 8 9 12 14 15 18 解：首先畫出數(shù)據(jù)的散點圖，輸入x=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9;y=0 2 4 7 8 9 12 14 15 18;subplot(1,2,1);plot(x,y,o)grid on選擇經(jīng)驗公式： 我們從圖中可以看出其基本為直線趨勢，所以擬合的曲線應(yīng)該是一次直線，我們分別用三次樣條插值法和最小二乘法一次擬合進行比較，下面是借助Matlab工具進行作圖，其程序如下：x=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9;y=0 2 4 7 8 9 12 14 15 18;p=polyfit(x,y,1)x1=0:0.01:9;y1=polyval(p,x1);x2=0:0.01:9;y2=interp1(x,y,x2,spline);subplot(1,2,2);plot(x1,y1,k,x2,y2,r)grid on 在圖1左側(cè)是實際測得的數(shù)據(jù)，右側(cè)中的紅色曲線表示三次樣條插值法，黑色直線是最小二乘法擬合所得。從圖1比較我們可以很明顯的看出，插值曲線要求嚴格通過所給的每一個數(shù)據(jù)點，這會保留所給數(shù)據(jù)的誤差，如果個別數(shù)據(jù)誤差很大，那么差值效果顯然不好。也就是說我們所給的數(shù)據(jù)本身不一定可靠，但由于所給的數(shù)據(jù)很多，這就要求從所給的一大堆看上去雜亂無章的數(shù)據(jù)中找出規(guī)律，在這種情況下我們利用最小二乘法擬合可以得到一條曲線來反映所給數(shù)據(jù)點總的趨勢，以消除局部的波動。在上面的程序中，運行后得到p的值，即為多項式的系數(shù)，由高次向低次排列。我們利用polyval()函數(shù)，它是求多項式在某一出的函數(shù)值，其格式為y=polyval(p,x)式中，p是多項式的系數(shù)，y是擬合多項式在點x處的值。在上面例題中求得p= 1.9333 0.2000,即擬合曲線方程為p(x)=1.9333x+0.2000.結(jié)束語：本文詳細說明了最小二乘擬合的原理和使用，并結(jié)合MATLAB,舉例說明最小二乘在Matlab中的具體使用方法，且通過作圖驗證，通過以上的說明可以看出，采用所述方法進行兩個量之間關(guān)系的曲線擬合是較為方便和實用的。參考文獻：劉智敏，誤差與數(shù)據(jù)處理，原子能出版社，1981.薛毅，數(shù)