函數(shù)模型及其應(yīng)用.ppt

函數(shù)模型及其應(yīng)用 1 孫小凱 班級(jí)一學(xué)生 剛好早晨遲到 早上起床太晚 為避免遲到 不得不跑步到教室 但由于平時(shí)不注意鍛煉身體 結(jié)果跑了一段就累了 不得不走完余下的路程 問(wèn)題1 如果用縱軸表示離教室的距離 橫軸表示出發(fā)后的時(shí)間 則下列四個(gè)圖象比較符合此人走法的是 問(wèn)題2 韋老師今天從縣中到二中上課 來(lái)的時(shí)候坐了出租車(chē) 我們知道洪澤出租車(chē)的價(jià)格 凡上車(chē)起步價(jià)為4元 行程不超過(guò)3km者均按此價(jià)收費(fèi) 行程超過(guò)3km 按1 5元 km收費(fèi) 縣中到二中的路程是4公里 問(wèn)韋老師今天坐車(chē)用了多少錢(qián) 縣中到二中的路程是x公里 問(wèn)韋老師今天坐車(chē)會(huì)用多少錢(qián) 實(shí)際問(wèn)題 數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)模型的解 實(shí)際問(wèn)題的解 答 求解數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的思路和方法 我們可以用示意圖表示為 數(shù)學(xué)模型 例1 某計(jì)算機(jī)集團(tuán)公司生產(chǎn)某種型號(hào)的計(jì)算機(jī)的固定成本為200萬(wàn)元 生產(chǎn)每臺(tái)計(jì)算機(jī)的可變成本為3000元 每臺(tái)計(jì)算機(jī)的售價(jià)為5000元 分別寫(xiě)出總成本C 萬(wàn)元 單位成本P 萬(wàn)元 銷(xiāo)售收入R 萬(wàn)元 以及利潤(rùn)L 萬(wàn)元 關(guān)于總量x 臺(tái) 的函數(shù)關(guān)系式 例2 物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來(lái)描述 設(shè)物體的初始溫度是T0 經(jīng)過(guò)一定時(shí)間t后的溫度是T 則 其中表示環(huán)境溫度 稱(chēng)h為半衰期 現(xiàn)有一杯用88 熱水沖的速溶咖啡 放在24 的房間中 如果咖啡降溫到40 需要20min 那么降到35 時(shí) 需要多長(zhǎng)時(shí)間 結(jié)果精確到0 1 例3 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中 函數(shù)的邊際函數(shù)定義為 某公司每月最多生產(chǎn)100臺(tái)報(bào)警系統(tǒng) 生產(chǎn)x臺(tái)的收入函數(shù)為 單位 元 其成本函數(shù)為 單位 元 利潤(rùn)是收入與成本之差 1 求利潤(rùn)函數(shù)及邊際利潤(rùn)函數(shù) 2 利潤(rùn)函數(shù)與邊際利潤(rùn)函數(shù)是具有相同的最大值 因此 解決應(yīng)用題的一般程序是 審題 弄清題意 分清條件和結(jié)論 理順數(shù)量關(guān)系 建模 將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言 利用數(shù)學(xué)知識(shí) 建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型 解模 求解數(shù)學(xué)模型 得出數(shù)學(xué)結(jié)論 還原 將用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法得出的結(jié)論 還原為實(shí)際問(wèn)題的意義 作業(yè) p883 4 函數(shù)模型及其應(yīng)用 2 解決應(yīng)用題的一般程序是 審題 弄清題意 分清條件和結(jié)論 理順數(shù)量關(guān)系 建模 將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言 利用數(shù)學(xué)知識(shí) 建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型 解模 求解數(shù)學(xué)模型 得出數(shù)學(xué)結(jié)論 還原 將用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法得出的結(jié)論 還原為實(shí)際問(wèn)題的意義 解之得 例2 某房地產(chǎn)公司要在荒地ABCDE 如圖 上劃出一塊長(zhǎng)方形的地面修建一幢公寓樓 已知EF 80m BC 70m BF 30m AF 20m 問(wèn) 如何設(shè)計(jì)才能使公寓樓地面面積最大 最大面積是多少 D 例1 如圖 有一塊半徑為 的半圓形鋼板 計(jì)劃剪裁成等腰梯形 的形狀 它的下底 是 的直徑 上底 的端點(diǎn)在圓周上 問(wèn) 腰為多少時(shí) 梯形周長(zhǎng)最大 解 設(shè)腰長(zhǎng)AD BC x 周長(zhǎng)為y E 練習(xí) 1 有一批材料可以建成200m的圍墻 如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場(chǎng)地 中間用同樣的材料隔成三個(gè)面積相等的矩形 如下圖所示 則圍成的矩形最大面積為 m2 圍墻厚度不計(jì) 解析 設(shè)矩形寬為xm 則矩形長(zhǎng)為 200 4x m 則矩形面積為S x 200 4x 4 x 25 2 2500 0 x 50 x 25時(shí) S有最大值2500m2 2 有甲 乙兩種產(chǎn)品 生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品所獲得利潤(rùn)分別為p和q 萬(wàn)元 它們與投入的資金x 萬(wàn)元 的關(guān)系分別為 今投入3萬(wàn)元資金生產(chǎn)甲 乙兩種產(chǎn)品 為了獲得最大利潤(rùn) 對(duì)甲乙兩種產(chǎn)品的投入分別應(yīng)為多少萬(wàn)元 此時(shí)最大利潤(rùn)是多少萬(wàn)元 3某產(chǎn)品的成本y 萬(wàn)元 與產(chǎn)量x 臺(tái) 之間的函數(shù)關(guān)系 若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬(wàn)元 則生產(chǎn)者不 虧本 即銷(xiāo)售收入不小于總成本 的最低產(chǎn)量臺(tái)數(shù)為 小結(jié) 2 解題過(guò)程 從問(wèn)題出發(fā) 引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào) 建立函數(shù)關(guān)系式 再研究函數(shù)關(guān)系式的定義域 并結(jié)合問(wèn)題的實(shí)際意義做出回答 即建立數(shù)學(xué)模型 并推理演算求出數(shù)學(xué)模型的解 再結(jié)合實(shí)際做出回答 1 解題四步驟 設(shè) 列 解 答 函數(shù)模型及其應(yīng)用 3 例1 某旅社有客房300間 每間日房租為20元 每天都客滿(mǎn) 公司欲提高檔次 并提高租金 如果每間客房每日增加2元 客房出租數(shù)就會(huì)減少10間 若不考慮其它因素 旅社將房間租金提高多少時(shí) 每天客房租金總收入最高 點(diǎn)撥 由題設(shè)可知 每天客房總的租金是增加2元的倍數(shù)的函數(shù) 設(shè)提高為x個(gè)2元 則依題意可算出總租金 用y表示 的表達(dá)式 由于房間數(shù)不太多 為了幫助同學(xué)理解這道應(yīng)用題 我們先用列表法求解 然后再用函數(shù)的解析表達(dá)式求解 解 設(shè)客房租金每間提高x個(gè)2元 Y 20 2x 300 10 x 20 x2 600 x 200 x 6000 20 x2 20 x 100 100 6000 20 x 10 2 8000 則將有10 x間客房空出 客房租金的總收入為 由此得到 當(dāng)x 10時(shí) y的最大值為8000 即每間租金為20 10 2 40 元 時(shí)客房租金總收入最高 每天為8000元 總結(jié) 通過(guò)列表的形式求解 直觀性強(qiáng) 有助于同學(xué)理解 但運(yùn)算過(guò)程比較繁瑣 作為探求思路的方法還是可行的 根據(jù)題目的條件列出函數(shù)關(guān)系式 利用二次函數(shù)求極值 是常用的方法 練習(xí) 1 將進(jìn)貨單價(jià)為80元的商品按90元一個(gè)出售時(shí) 能賣(mài)出400個(gè) 根據(jù)經(jīng)驗(yàn) 該商品每個(gè)上漲1元 其銷(xiāo)售量就減少20個(gè) 為獲得最大利潤(rùn) 售價(jià)應(yīng)定為多少元 最大利潤(rùn)是多少 2 某車(chē)間最大生產(chǎn)能力為月生產(chǎn)100臺(tái)機(jī)床 至少要完成40臺(tái)才能保本 當(dāng)生產(chǎn)x臺(tái)時(shí)的總成本函數(shù)為G x x2 10 x 百元 按市場(chǎng)規(guī)律 價(jià)格為P 970 5x x需求量 可以銷(xiāo)售完 試寫(xiě)出利潤(rùn)函數(shù) 并求出生產(chǎn)多少臺(tái)時(shí) 利潤(rùn)最大 3 某商場(chǎng)出售一種商品 原來(lái) 每天可賣(mài)出1000件 每件可獲利4元 根據(jù)經(jīng)驗(yàn) 若單件商品的價(jià)格每減少0 1元 每天的銷(xiāo)售量就會(huì)多出100件 從獲得最好的經(jīng)濟(jì)效益的角度來(lái)看 該商品的單價(jià)應(yīng)比現(xiàn)在減少 元 函數(shù)模型及其應(yīng)用 4 例題 一家報(bào)刊攤點(diǎn) 從報(bào)社買(mǎi)進(jìn)報(bào)紙價(jià)格是每份0 24元 賣(mài)出是每份0 40元 賣(mài)不掉的報(bào)紙還可以每份0 08元的價(jià)格退回報(bào)社 在一個(gè)月的30天里 有20天每天可賣(mài)出300份 其余10天 每天賣(mài)出200份 但這30天里 每天從報(bào)社買(mǎi)進(jìn)的份數(shù)必須相同 這家報(bào)刊攤點(diǎn)應(yīng)該每天從報(bào)社進(jìn)多少份報(bào)紙 才能獲得最大利潤(rùn) 一個(gè)月可賺多少錢(qián) 2 當(dāng)200 x 300時(shí) y 0 4 0 24 10 200 0 24 0 08 10 x 200 0 4 0 24 20 x 640 1 6x 640 1 6 300 1120 解 設(shè)這家報(bào)刊攤點(diǎn)每天從報(bào)社買(mǎi)進(jìn)x份報(bào)紙 一個(gè)月可賺y元 1 當(dāng)x 200時(shí) y 0 4 0 24 30 x 4 8x 4 8 200 969 3 當(dāng)x 300時(shí) y 0 4 0 24 10 200 0 24 0 08 10 x 200 0 4 0 24 20 300 0 24 0 08 x 300 20 2560 4 8x 2560 4 8 300 1120 總結(jié) 求分段函數(shù)的最值 應(yīng)先求出函數(shù)在各部分的最值 然后取各部分的最值的最大值為整個(gè)函數(shù)的最大值 取各部分的最小者為整個(gè)函數(shù)的最小值 變式 如圖 一動(dòng)點(diǎn)P自邊長(zhǎng)為1的正方形的邊界運(yùn)動(dòng)一周后再回到A點(diǎn) 若點(diǎn)P的路程為x 點(diǎn)P到頂點(diǎn)A的距離為y 求A P兩點(diǎn)間的距離y與點(diǎn)P的路程x之間的函數(shù)關(guān)系式 2 某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元 每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元 已知總收益滿(mǎn)足函數(shù) 其中x是儀器的月產(chǎn)量 1 將利潤(rùn)表示為當(dāng)月產(chǎn)最的函數(shù) 2 求每月生產(chǎn)多少臺(tái)儀器時(shí) 公司所獲利潤(rùn)最大 最大利潤(rùn)為多少元 例2 在一定范圍內(nèi) 某種產(chǎn)品的購(gòu)買(mǎi)量為yt 與單價(jià)x元之間滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系 如果購(gòu)買(mǎi)1000t 每噸為800元 如果購(gòu)買(mǎi)2000t 每噸為700元 一客戶(hù)購(gòu)買(mǎi)400t 單價(jià)應(yīng)該為 A 820元B 840元C 860元D 880元 c 解 設(shè)在進(jìn)價(jià)基礎(chǔ)上增加x元后 日均經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)為y元 則有日均銷(xiāo)售量為 桶 而 有最大值 只需將銷(xiāo)售單價(jià)定為11 5元 就可獲得最大的利潤(rùn) 利潤(rùn)怎樣產(chǎn)生的 銷(xiāo)售