第08章 彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變 課后答案【khdaw_lxywyl】.pdf

第8章 彈 性 體 的 應(yīng) 力 和 應(yīng) 變 習(xí) 題 解 答 56 第 8 章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變習(xí)題解答 第八章基本知識(shí)小結(jié)第八章基本知識(shí)小結(jié) 彈性體力學(xué)研究力與形變的規(guī)律 彈性體的基本形變有拉伸壓縮形變和剪切形變 彎曲形變是由程 度不同的拉伸壓縮形變組成 扭轉(zhuǎn)形變是由程度不同的剪切形變組成 應(yīng)力就是單位面積上作用的內(nèi)力 如果內(nèi)力與面元垂直就叫正應(yīng)力 用 表示 如果內(nèi)力方向在面 元內(nèi) 就叫切應(yīng)力 用 表示 應(yīng)變就是相對(duì)形變 在拉壓形變中的應(yīng)變就是線應(yīng)變 如果l0表示原長(zhǎng) l表示絕對(duì)伸長(zhǎng)或絕對(duì)壓 縮 則線應(yīng)變 l l0 在剪切形變中的應(yīng)變就是切應(yīng)變 用切變角 表示 力與形變的基本規(guī)律是胡克定律 即應(yīng)力與應(yīng)變成正比 在拉壓形變中表示為 Y Y 是由材料性質(zhì)決定的楊氏模量 在剪切形變中表示為 N N 是由 材料性質(zhì)決定的切變模量 發(fā)生形變的彈性體具有形變勢(shì)能 拉壓形變的形變勢(shì)能密度 2 2 1 0 YEp 剪切形變的形變勢(shì)能密度 2 2 1 0 NEp 梁彎曲的曲率與力偶矩的關(guān)系 3 12 Ybh k 桿的扭轉(zhuǎn)角與力偶矩的關(guān)系 l NR CC 2 4 8 1 1 一鋼桿的截面積為 5 0 10 4m2 所受軸向外力如圖所示 試計(jì)算A B B C和C D之間的應(yīng) 力 NFNFNFNF 4 4 4 3 4 2 4 1 103 105 108 106 解 E G H F1 F2 F3 F4 段S之 A B C D 根據(jù)桿的受力情況 可知桿處于平衡狀態(tài) 分別在 AB 之間 E 處 BC 之間 G 處 CD 之間 H 處作垂 直桿的假想截面 S 隔 離 AE 由 平 衡 條 件 E 處面 上 的 內(nèi) 力 F F1 A B間 的 應(yīng) 力 28 100 5 106 1 102 1 4 4 mNSFSF 隔 離 AG 由 平 衡 條 件 G 處面 上 的 內(nèi) 力 F F段S之 2 F1 B C 間 壓 應(yīng) 力 28 100 5 10 68 104 0 4 4 12 mN s FF 隔 離 HD 由 平 衡 條 件 H 處面 上 的 內(nèi) 力 F F段S之 4 C D 間 的 應(yīng) 力 第8章 彈 性 體 的 應(yīng) 力 和 應(yīng) 變 習(xí) 題 解 答 57 第 8 章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變習(xí)題解答 28 100 5 103 4 106 0 4 4 mNSFSF 8 1 2 利用直徑為 0 02m 的 C 鋼桿 CD 固定剛性桿 AB 若 CD 桿 內(nèi)的應(yīng)力不得超過(guò) max 16 107Pa T 問(wèn) B 處最多能懸掛多大重量 A D B 解 隔離 AB 以 A 點(diǎn)為軸 由力矩平衡條件 有 TWWT39 0 6 00 1 0 1 22 8 00 1 8 0 隔 離 CD 桿 CD 應(yīng) 力 T S T S D 2 2 桿 能 承 受 的 最 大 拉 力 472 4 1 max4max 1002 5101602 014 3 2 D TN B 處能懸掛的最大重量 NTW 4 maxmax 1096 1 39 0 8 1 3 圖中上半段為橫截面等于 4 0 10 4m2 且楊氏模量為 6 9 1010Pa的鋁制桿 下半段為橫 截面等于 1 0 10 4m2且楊氏模量為 19 6 1010Pa 的鋼桿 又知鋁桿內(nèi)允許最大應(yīng)力為 7 8 107Pa 鋼桿內(nèi)允許最大應(yīng)力為 13 7 107Pa 不計(jì)桿的自 重 求桿下端所能承擔(dān)的最大負(fù)荷以及在此負(fù)荷 下桿的總伸長(zhǎng)量 F 解 設(shè)鋁桿與鋼桿的長(zhǎng)度 橫截面 楊氏模量 應(yīng)力分別為 l1 S1 Y1 1 l2 S2 Y2 2 顯 然 1 F S1 2 F S2 設(shè)鋁桿和鋼桿所能承擔(dān)的最大負(fù)荷分別為F1max F2max 則 NSF 447 1max1max1 1012 3 100 4108 7 NSF 447 2max21max2 1037 1 100 110 7 13 整個(gè)桿的最大負(fù)荷應(yīng)取鋼桿的最大負(fù)荷 NF 4 max 1037 1 根據(jù)拉伸形變的胡克定律 對(duì)于鋁桿 1 1 1 max l l S F Y 所以 11 1max 1SY lF l 對(duì)于鋼桿 同樣有 22 2max 2SY lF l 整個(gè)桿的伸長(zhǎng)量是 max21 Flll 11 1 SY l 22 2 SY l m 3 100 1106 19 0 2 100 4109 6 0 3 4 1089 2 1037 1 410410 8 1 4 電梯用不在一條直線上的三根鋼索懸掛 電梯質(zhì)量為 500kg 最大負(fù)載極限 5 5kN 每根鋼索都 能獨(dú)立承擔(dān)總負(fù)載 且其應(yīng)力僅為允許應(yīng)力的 70 若電梯向上的最大加速度為g 5 求鋼索直徑為多少 0 8m 0 6m1 0m W 3m 2m 第8章 彈 性 體 的 應(yīng) 力 和 應(yīng) 變 習(xí) 題 解 答 58 第 8 章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變習(xí)題解答 將 鋼 索 看 作 圓 柱 體 且 不 計(jì) 其 自 重 取 鋼 的 允 許 應(yīng) 力 為6 0 108Pa T T T 解 設(shè)每根鋼索承受拉力為 T 電梯自重為 W mg 負(fù)荷為 W m g 由牛頓第二定律 W N WmgWmg gmmWWT gmmammWWT 33 3 1 3 1 1016 4 105 58 9500 4 0 4 0 2 12 1 2 0 2 0 3 a W 設(shè)鋼索直徑為 D 每根鋼索的應(yīng)力 2 5 0 D T mmm TD 15 6 1015 6 100 67 014 3 1016 4 2 2 3 83 8 1 5 矩形橫截面桿在軸向拉力作用下拉伸應(yīng)變?yōu)?此材料的泊松系數(shù)為 求證桿體積的相對(duì) 改變?yōu)?V V0 V0 1 2 V0表示原體即 V表示形變后體積 上式是否適用于壓縮 低碳鋼楊氏 模量為Y 19 6 1010Pa 泊松系數(shù) 0 3 受到的拉應(yīng)力為 1 37Pa 求桿件體積的相對(duì)改變 解 設(shè)桿原長(zhǎng)為l0 矩形截面兩邊原長(zhǎng)分別為a0和b0 據(jù)線應(yīng)變定義 軸向應(yīng)變 0 0 l ll 橫向應(yīng)變 0 0 0 0 1 所以 a aa b bb 01010 1 1 1 bbaall 由泊松系數(shù)定義 1 拉伸時(shí) 0 1 0 1 21 1 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22 22 1 000 00000101 000 000 0 0 略去高級(jí)小項(xiàng) lba lbalba lba lbaabl V VV 對(duì)于壓縮 0 仍有 1 成立 因此上式對(duì)壓縮情況仍然適用 據(jù)胡克定律 YY 12 10 0 0 108 2 10 6 19 3 021 37 1 21 YV VV 8 1 6 桿受軸向拉力 F 其橫截面為 S 材料的重度 單位體積物質(zhì)的重量 為 試證明考慮材 料的重量時(shí) 橫截面內(nèi)的應(yīng)力為 xx S F 桿內(nèi)應(yīng)力如上式 試證明桿的總伸長(zhǎng)量 Y l YS lF l 2 2 x 證明 建立圖示坐標(biāo) o x 在坐標(biāo) x 處取 一截面 S 隔離 o x 段桿 由平衡條件 截面 x dx 第8章 彈 性 體 的 應(yīng) 力 和 應(yīng) 變 習(xí) 題 解 答 59 第 8 章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變習(xí)題解答 S 上的內(nèi)力 F F Sx 據(jù)應(yīng)力定義 x S F S xSF S F F o 考 慮x處 的 線 元dx 該 線 元 在 重 力 作 用 下 的 絕 對(duì) 伸 長(zhǎng) 為dl 據(jù) 胡 克 定 律 dxYxYSFYdxdldxYdl 積分 2 0 2 l l Y l SY lF l YYS F ldxxdl 8 2 1 在剪切材料時(shí) 由于刀口不快 沒(méi)有切斷 該鋼板發(fā)生了切變 鋼板的橫截面積為S 90cm2 兩 刀口間的垂直距離為d 0 5cm 當(dāng)剪切力為F 7 105N時(shí) 求 鋼板中的 d 切應(yīng)力 鋼板的切應(yīng)變 與刀口相齊的 兩個(gè)截面所發(fā)生的相對(duì)滑移 已知鋼的剪切 模量N 8 1010Pa 解 據(jù)切應(yīng)力定義 27 1090 107 1078 7 4 5 mN S F 據(jù)胡克定律 radN N 4 108 1078 7 107 9 10 7 cmdldl 44 1085 4107 95 0 8 3 1 一鋁管直徑為 4cm 壁厚 1mm 長(zhǎng) 10m 一端固定 而另一端作用一力矩 50Nm 求鋁管的扭轉(zhuǎn) 角 對(duì)同樣尺寸的鋼管再計(jì)算一遍 已知鋁的剪切模量N 2 63 1010Pa 鋼的剪切模量為 8 0 1010Pa 解 設(shè)管的半徑為 R 管壁厚 d 管長(zhǎng)為 l 外力矩為 M 由于 d R 可認(rèn)為管壁截面 上各處的切應(yīng)力大小相等 設(shè)為 在平衡狀態(tài)下 內(nèi) 外力矩相等 2 2 2d RMRRdM 據(jù)剪切形變的胡克定律 dNR M N N 2 2 rad dNR Ml R l 376 0 001 0 02 0 1065 2 14 3 2 1050 2 3103 對(duì)于鋼管 rad124 0 001 0 02 0 100 814 32 1050 310 8 3 2 矩形橫截面長(zhǎng)寬比為 2 3 的梁 在力偶矩作用下發(fā)生純彎曲 各以橫截面的長(zhǎng)和寬作為高度 求 同樣力偶矩作用下曲率半徑之比 解 設(shè)梁衡截面長(zhǎng)為 2d 寬為 3d 據(jù)梁純彎曲的曲率公式 12 1 12 33 YbhRRYbhk 第8章 彈 性 體 的 應(yīng) 力 和 應(yīng) 變 習(xí) 題 解 答 60 第 8 章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變習(xí)題解答 以 2d 為梁的高 12 2 3 3 1 ddYR 以 3d 為梁的高 12 3 2 3 2 ddYR 9 4 272 183 2 1 R R 8 3 3 某梁發(fā)生純彎曲 梁長(zhǎng)度為 L 寬度為 b 厚度為 h 彎曲后曲率半徑為 R 材料楊氏模量為 Y 求 總形變勢(shì)能 解 建立圖示坐標(biāo) o x