成賢教材-高數(shù)B下§8.1多元函數(shù)的概念.doc

8.1多元函數(shù)的概念8.11 預(yù)備知識1.n維歐幾里得空間 有序元數(shù)組的全體為n維空間，而每個有序元數(shù)組稱為維空間中的一個點，數(shù)稱為該點的第個坐標。維空間記為。 。 即， 中兩點，間的距離規(guī)定為 ，記為，即 。 可以證明距離滿足下列性質(zhì)：（1）非負性 ，的充要條件是；（2）對稱性 ；（3）三角形不等式。 定義了距離之后的稱為n維歐幾里得空間。 唯一確定了以為起點，為終點的向量，常稱為一個，記。2.鄰域設(shè)點， ： ； ： 。在中，就是平面上以點為中心、為半徑的圓的內(nèi)部的點的全體，即若不需要強調(diào)鄰域半徑，則用表示點的鄰域；用表示點。外點內(nèi)點邊界點E3.開集、閉集、區(qū)域 設(shè)點集，。（1）內(nèi)點：若，則稱是內(nèi)點。（2）外點：若，則稱是外點。（3）邊界點：若的任何鄰域中既含有點，又含有非點， 則稱是邊界點。的邊界點的全體稱為邊界。（4）有界集與無界集：如果存在原點的某個鄰域，使， 則稱為有界集，否則稱為無界集。（5）開集：如果點集的點都是內(nèi)點，則稱為開集。（6）聚點：如果在的任一鄰域中至少含有的一個異于的點， 則稱是的聚點。（7）閉集：若的所有聚點都在內(nèi)，則稱是閉集。（8）連通的：設(shè)是一個開集，如果對于內(nèi)任何兩點，都可用折線連結(jié)起來， 且該折線上的點都屬于，則稱開集是連通的。（9）區(qū)域（或開區(qū)域）：連通的開集稱為區(qū)域（或開區(qū)域）。（10）閉區(qū)域：開區(qū)域連同它的邊界一起，稱為閉區(qū)域。（11）區(qū)域的直徑：稱為集合的直徑。 例如：點集中每一個點都是的內(nèi)點；的邊界 是和；是有界開區(qū)域。 是有界閉區(qū)域。 是無界開區(qū)域。 8.12 n元函數(shù) 定義：設(shè)點集，如果存在一個對應(yīng)法則，對，有唯一的數(shù)與之對應(yīng)，則稱是定義在上的元函數(shù)，簡記為或其中為自變量，稱為的定義域。例1確定并畫出下列函數(shù)的定義域D。（1） 解：， 函數(shù)的定義域 為，是無界區(qū)域。 （畫圖時介紹“以點示面法”。） （2） 解： 定義域為。例2設(shè)，求。解：設(shè)， ，。8.1.3 二元函數(shù)的幾何意義 設(shè)函數(shù)的定義域，對應(yīng)的函數(shù)值為，于是有序?qū)崝?shù)組確定了空間的一點。當遍取的一切點時，得到一個空間點集，這個點集稱為函數(shù)的圖形。通常二元函數(shù)的圖形是一張空間曲面。 例如：線性函數(shù) 的圖形是一張平面。 函數(shù)的圖形是上半球面。函數(shù)的圖形是旋轉(zhuǎn)拋物面。82 多元函數(shù)的極限與連續(xù)821多元函數(shù)的極限 先討論二元函數(shù)當（或當）時的極限。，即。定義1 設(shè)函數(shù)在點集上有定義，是聚點，一個定數(shù)。若， 時，總有 成立，則稱A為函數(shù)當（或當）時的極限，記作 或 。 二元函數(shù)的極限稱為二重極限。例1設(shè)，求證證明：， ，取，則當時，總有 成立，故注意：二重極限存在，其值，是指動點以任何方式趨向于時，且其值都。如果點沿不同路徑趨向于時，趨向于不同的值，那么就可斷定的極限不存在。例4考察函數(shù)在點是否存在極限？解：（1）當點，即當，時，有 ， （2）當點，即當，時，有 ， （3）當點沿直線趨于點時，即當，時有 ，因此不存在。 關(guān)于二元函數(shù)的極限概念，可相應(yīng)地推廣到元函數(shù)上去。 822多元函數(shù)的連續(xù)性1二元函數(shù)在點連續(xù)的定義定義2 設(shè)函數(shù)的定義域，是聚點。若 或，則稱函數(shù)在點處連續(xù)。 若函數(shù)在點處不連續(xù)，則點稱為函數(shù)的間斷點。 若在開區(qū)域（或閉區(qū)域）某些孤立點，或者沿某些曲線，函數(shù)沒有定義，但在其余部分，都有定義，那么這些孤立點或這些曲線上的點都是函數(shù)的間斷點。 例如函數(shù)的間斷點是圓周上的點。 函數(shù)的間斷點是。2函數(shù)在區(qū)域D上的連續(xù)性 如果函數(shù)在區(qū)域D上任意一點都連續(xù)，則稱在區(qū)域D上連續(xù)。 二元連續(xù)函數(shù)的圖形是一個沒有任何孔隙和裂縫的曲面。3二元函數(shù)和、差、積、商的連續(xù)性和二元復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 二元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（在分母不為零處）均為連續(xù)函數(shù)；二元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)。4二元初等函數(shù) 由自變量，常數(shù)和基本初等函數(shù)，經(jīng)過有限次四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的，并能用一個解析式子所表示的函數(shù)稱為二元初等函數(shù)。例如： ；等都是二元初等函數(shù)。 結(jié)論：一切二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)都是連續(xù)的。 故求二元初等函數(shù)在定義域內(nèi)某點的極限值，就是求該點處的函數(shù)值。一元函數(shù)極限的有關(guān)性質(zhì)和運算法則，例如極限的四則運算法則、復(fù)合函數(shù)極限的運算法則、夾逼定理等都可以推廣到二重極限中來。例5求下列極限：（1）； 解：。（2） 解：愿式。（3）； 解：；（4）； 解：以上關(guān)于二元函數(shù)連續(xù)性的概念可相應(yīng)推廣到多元函數(shù)上去。5有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（1）有界性定理在有界閉區(qū)域的多元連續(xù)函數(shù)，在必有界。（2）最大值、最小值定理在有界閉區(qū)域多元連續(xù)函數(shù)，必有最大值和最小值。（3）介值定理在有界閉區(qū)域多元連續(xù)函數(shù)，如果在取得兩個不同的函數(shù)值， 則它在取得介于這兩個值之間的任何值至少一次。8.3偏導(dǎo)數(shù)8.3.1 偏導(dǎo)數(shù)概念定義1 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，若存在，則稱此極限為在點處對，記為，或.即 。類似地，在點處對定義為，記為 ，或 。即 若函數(shù)在區(qū)域數(shù)都存在，則這個偏導(dǎo)數(shù)是，稱為對自變量，記為，。 即 ，。 類似地，可以定義對自變量，記為，。即 ， 在點處對的偏導(dǎo)數(shù)就是偏導(dǎo)函數(shù)在點處的函數(shù)值；在點處對的偏導(dǎo)數(shù)就是偏導(dǎo)函數(shù)在點處的函數(shù)值。偏導(dǎo)函數(shù)簡稱偏導(dǎo)數(shù)。 偏導(dǎo)數(shù)的概念還可以推廣到二元以上的多元函數(shù)。函數(shù) 在點處對的偏導(dǎo)數(shù)定義為 。 例1設(shè)，求，。 解：， ，。例2求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（1）； 解：； 。（2）；解： ， 。例3設(shè)（是常數(shù)），求證：。證：，；，；， ； 。注意：要當作一個整體來對待，不能像看作與的微商。與是沒有意義的。例4設(shè)，求，。 解：不存在，在點處不連續(xù)。 ，由的輪換對稱性可知，。注意：在一元函數(shù)中，若函數(shù)在某點可導(dǎo)，則函數(shù)在該點必連續(xù)，而這個結(jié)論在多元函數(shù)中未必成立。也就是說，多元函數(shù)在某點可導(dǎo)，并不能保證函數(shù)在該點連續(xù)。8.3.2二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 設(shè)為曲面上的一點，作平面，截此曲面得一曲線，此曲線在平面上的方程為，則導(dǎo)數(shù)，即偏導(dǎo)數(shù)，。同樣偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲面被平面所截得的曲線在點處的切線的斜率。833高階偏導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)在區(qū)域具有偏導(dǎo)數(shù)，一般地，它們?nèi)允堑暮瘮?shù)，若這兩個偏導(dǎo)數(shù)對的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們?yōu)楹瘮?shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，并分別記為：； 。其中和稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù)。 同樣地，如果二階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在，就稱它們?yōu)楹瘮?shù)的三階偏導(dǎo)數(shù)。例如。 依次類推，函數(shù)階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)階偏導(dǎo)數(shù)。二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階