自動控制原理第5章 頻率響應法.ppt

第5章頻域分析法 自動控制原理 普通高等教育 十一五 國家級規(guī)劃教材 機械工業(yè)出版社 自動控制原理 2 5 1概述5 2頻率特性的基本概念5 3頻率特性的圖示方法5 4頻域穩(wěn)定性判據5 5控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度5 6控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性5 7頻域性能指標與瞬態(tài)性能指標之間的關系 第5章頻域分析法 本章將討論頻率特性的基本概念 典型環(huán)節(jié)和系統(tǒng)的頻率特性 奈魁斯特穩(wěn)定判據 頻域性能指標與時域性能指標間的聯系等 自動控制原理 3 5 1概述 頻域分析法是應用頻率特性研究線性系統(tǒng)的一種圖解方法 頻率特性和傳遞函數一樣 可以用來表示線性系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的動態(tài)特性 建立在頻率特性基礎上的分析控制系統(tǒng)的頻域法彌補了時域分析法中存在的不足 因而獲得了廣泛的應用 所謂頻率特性 是指在正弦輸入信號的作用下 線性系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)響應 自動控制原理 4 5 2頻率特性 5 2 1頻率特性的基本概念 首先以圖RC網絡為例 說明頻率特性的概念 RC網絡的輸入和輸出的關系可由下面微分方程描述 式中 T RC為時間常數 網絡的傳遞函數為 自動控制原理 5 設輸入是一個正弦信號 即 可得 取拉普拉斯反變換 得輸出信號 式中第一項為輸出的瞬態(tài)分量 第二項為穩(wěn)態(tài)分量 隨著t趨于無窮大 瞬態(tài)分量趨于零 于是 自動控制原理 6 如果取s j代入 則 該式能完全描述RC網絡在正弦函數作用下穩(wěn)態(tài)輸出的幅值和相位隨輸入頻率變化的情況 因此 將1 jwT 1 稱做該RC網絡的頻率特性 表列出了RC網絡幅頻特性和相頻特性的計算數據 自動控制原理 7 根據表中數據繪制的幅頻特性曲線和相頻特性曲線如下 自動控制原理 8 5 2 2頻率特性的求取 假定輸入信號r t 為 一般線性定常系統(tǒng)輸入 輸出關系如圖所示 系統(tǒng)的傳遞函數為 自動控制原理 9 n m 式中 z1 z2 zm是傳遞函數G s 的零點 s1 s2 sn是傳遞函數G s 的極點 這些極點可能是實數 也可能是共軛復數 但對于穩(wěn)定系統(tǒng)來說 它們都具有負實部 系統(tǒng)輸出c t 的拉普拉斯變換為 C s G s R s 自動控制原理 10 展成部分分式為 對式進行拉普拉斯反變換 可得系統(tǒng)對正弦輸入信號r t 的響應為 即 自動控制原理 11 通過上述分析 得到頻率特性的定義 即 系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應特性 就稱為頻率特性 一般記為 它包含了兩部分內容 幅值比是依賴于角頻率w的函數 G jw 稱為系統(tǒng)的幅頻特性 穩(wěn)態(tài)輸出信號對正弦輸入信號的相移 稱為系統(tǒng)的相頻特性 系統(tǒng)的頻率特性G jw 可以通過系統(tǒng)的傳遞函數G s 來求取 即 這里的結論同RC網絡討論的結果是一致的 自動控制原理 12 5 3頻率特性的圖示方法 頻域分析法是一種圖解方法 采用頻域法分析閉環(huán)系統(tǒng)的特性時 通常需畫出系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線 頻率特性的圖示方法主要有三種 即極坐標圖 對數坐標圖和對數幅相圖 現分述如下 5 3 1極坐標圖 頻率特性G jw 是頻率w的復變函數 其模 G jw 與相角 G jw 可以在復平面上用一個矢量來表示 當頻率w從 變化時 矢量端點的軌跡就表示頻率特性的極坐標圖 極坐標圖又稱幅相圖或奈魁斯特 Nyquist 圖 在極坐標圖上 規(guī)定矢量與實軸正方向的夾角為頻率特性的相位角 且按逆時針方向為正進行計算 自動控制原理 13 1 典型環(huán)節(jié)頻率特性的極坐標圖 1 比例環(huán)節(jié) 比例環(huán)節(jié)的幅頻特性和相頻特性都是常量 分別等于K及0 不隨頻率w而變化 2 積分環(huán)節(jié) 當w由零趨向無窮大時 幅頻特性則由 逐漸減少到0 而相位總是 90 因此積分環(huán)節(jié)的極坐標曲線是沿復平面中虛軸下半部變化的直線 如圖5 5所示 積分環(huán)節(jié)是相位滯后環(huán)節(jié) 它的低通性能好 3 慣性環(huán)節(jié) 表5 2慣性環(huán)節(jié)在幾個特定頻率下的幅值與相角 自動控制原理 14 可以證明 圖5 6中的頻率特性曲線是一半圓 圓心在實軸上的0 5K處 半徑R 0 5K 設 配方后可得 所以 在復平面上G jw 為一圓心在 K 2 0 點 半徑為K 2的半圓 如圖下半部分所示 當 w 0時 因為G jw 與G jw 互為共軛關系 關于實軸對稱 即如上半圓所示 自動控制原理 15 4 一階微分環(huán)節(jié) 5 振蕩環(huán)節(jié) 6 延滯環(huán)節(jié) 2 不穩(wěn)定環(huán)節(jié)頻率特性的極坐標圖 如果某環(huán)節(jié)在右半s平面有極點 則稱該環(huán)節(jié)為不穩(wěn)定環(huán)節(jié) 不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的幅頻特性表達式與穩(wěn)定環(huán)節(jié)完全相同 但相頻特性卻有較大差別 自動控制原理 16 對于G1 jw 當w 0時 G1 j0 K 180 當w 時 G1 j 0 90 對于G2 jw 當w 0時 G2 j0 K 0 當w 時 G2 j 0 90 分析0 w 中間過程的幅值和相角所在的象限 畫出頻率特性的極坐標曲線如圖所示 自動控制原理 17 3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標圖系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數是由一系列典型環(huán)節(jié)組成的 因此 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性通常是若干典型環(huán)節(jié)頻率特性的乘積 即 若寫成極坐標形式 為 5 23 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性可根據各串聯環(huán)節(jié)頻率特性的模及相角公式 令w從0 變化 按照 幅值相乘 相角相加 的原則進行計算 從而繪制極坐標圖 自動控制原理 18 解開環(huán)頻率特性 確定極坐標曲線的起始點和終止點 當w 0時 G jw 1 0 當w 時 如果 T 則 G jw 0 極坐標曲線在第 象限變化 如果 T 則 G jw 0 極坐標曲線在第 象限變化 如圖5 12所示 自動控制原理 19 5 3 2對數坐標圖 通過半對數坐標分別表示幅頻特性和相頻特性的圖形 稱為對數坐稱圖或波德 Bode 圖 對數坐標圖在頻率法中應用最為廣泛 它的主要優(yōu)點是 利用對數運算可以將串聯環(huán)節(jié)幅值的乘除運算轉化為加減運算 可以擴大所表示的頻率范圍 而又不降低低頻段的準確度 可以用漸近線特性繪制近似的對數頻率特性 從而使頻率特性的繪制過程大大簡化 1 對數坐標對數頻率特性曲線由對數幅頻特性和相頻特性兩部分組成 對數幅頻特性和相頻特性的橫坐標都是頻率w 采用對數分度 單位為弧度 秒 rad s 對數幅頻特性的縱坐標表示幅值比的對數值 定義為L w 20lg G jw 5 26 采用線性分度 單位是分貝 用字母dB表示 對數相頻特性的縱坐標表示相位差j G jw 采用線性分度 單位是度 自動控制原理 20 對數頻率特性的坐標如圖所示 在對數分度的橫坐標中 當變量增大或減小10倍 稱為十倍頻程 dec 坐標間距離變化一個單位長度 此外 零頻率不能表示在對數坐標圖中 自動控制原理 21 2 典型環(huán)節(jié)的對數頻率特性曲線 1 比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的頻率特性函數為G jw K 0 K 0 由于幅值和相角都不隨頻率w變化 所以 對數幅頻特性是一條平行于橫軸且縱坐標值為20lg G jw 20lgK dB 的直線 對數相頻特性恒為0 自動控制原理 22 1 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的傳遞函數為 2 微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的傳遞函數為 2 積分環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié) 自動控制原理 23 3 慣性環(huán)節(jié)和一階微分環(huán)節(jié) 1 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數為 2 一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數為 自動控制原理 24 4 振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數為 其頻率特性為 自動控制原理 25 用兩條漸近線近似表示振蕩環(huán)節(jié)的對數幅頻特性曲線也將產生誤差 誤差最大值發(fā)生在振蕩環(huán)節(jié)的轉角頻率w wn處 誤差的表達式為 自動控制原理 26 5 延滯環(huán)節(jié)延滯環(huán)節(jié)的傳遞函數和頻率特性分別為 對數幅頻特性是一條0dB的直線 而相頻特性隨w增加迅速下降 如圖 自動控制原理 27 3 系統(tǒng)的開環(huán)對數頻率特性曲線 因為系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性通常是若干個典型環(huán)節(jié)頻率特性的乘積 所以對數幅頻特性和相頻特性可分別表示為 在繪制對數坐標圖時 幅值的乘法運算變成了加法運算 自動控制原理 28 繪制系統(tǒng)開環(huán)對數坐標圖的一般步驟和方法歸納如下 1 寫出以時間常數表示 以典型環(huán)節(jié)頻率特性連乘積形式的開環(huán)頻率特性 2 求出各環(huán)節(jié)的轉角頻率 并從小到大依次標注在對數坐標圖的橫坐標上 3 計算20lgK的分貝值 其中K是系統(tǒng)開環(huán)放大系數 過w 1 20lgK這一點做斜率為 20vdB dec的直線 此即為低頻段的漸近線 其中v是開環(huán)傳遞函數中積分環(huán)節(jié)的個數 4 繪制對數幅頻特性的其它漸近線 5 給出不同w值 計算對應的 i 再進行代數相加 畫出系統(tǒng)的開環(huán)相頻特性曲線 自動控制原理 29 例5 6某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數如下 試繪制其對數坐標圖 解首先將傳遞函數改寫為用時間常數表示的形式 其頻率特性為 求出各環(huán)節(jié)的轉角頻率如下 對于慣性環(huán)節(jié) 由wT 1 得轉角頻率w 1 T 本題的轉角頻率分別為0 5 2和8 并將它們依次標注在對數坐標圖上 自動控制原理 30 具有相同幅頻特性的系統(tǒng) 最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍最小 最小相位名稱由此得 例如 如果兩個系統(tǒng)的傳遞函數分別為 和 則圖中分別表示了這兩個系統(tǒng)的相頻特性 而它們的幅頻特性是相同的 4 最小相位系統(tǒng) 如果系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數在復平面s的右半面既沒有極點 也沒有零點 則稱該傳遞函數為最小相位傳遞函數 具有最小相位傳遞函數的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng) 反之 則稱為非最小相位系統(tǒng) 自動控制原理 31 最小相位系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性之間有著確定的單值關系 也就是說 如果系統(tǒng)的幅頻特性已定 那么這個系統(tǒng)的相頻特性也就唯一地被確定了 反之亦然 然而 對于非最小相位系統(tǒng)而言 上述關系是不成立的 判斷已經畫出的對數頻率特性是否為最小相位系統(tǒng) 既要檢查對數幅頻特性曲線高頻漸近線的斜率 也要檢查當w時的相角 若w時幅頻特性的斜率為 20 n m dB dec 其中n m分別為傳遞函數中分母 分子多項式的階數 而相角等于 90 n m 則是最小相位系統(tǒng) 否則就不是 對于開環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng) 因為它的傳遞函數在s平面的右半面有極點而屬于非最小相位系統(tǒng) 為了統(tǒng)一起見 以后凡是沒有特殊說明 一般都是指最小相位系統(tǒng)而言 對于這類系統(tǒng)有時可以不必繪制它的對數相頻特性曲線 自動控制原理 32 例5 7某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數幅頻特性如圖所示 試確定其傳遞函數 解設開環(huán)傳遞函數的形式為 因為 所以K 10 因此 所求開環(huán)傳遞函數 自動控制原理 33 5 3 3對數幅相圖 對數幅相圖是將對數坐標圖的幅頻特性與相頻特性繪制到一張圖上來表示系統(tǒng)頻率特性的圖形 也稱為尼柯爾斯 Nichols 圖 對數幅相圖是直角坐標圖 橫坐標為相位差j 單位是度 縱坐標是幅值比的對數值L w 20lg G jw 單位是分貝 dB 曲線上的每個點都對應一個固定的頻率 因此 對數幅相圖可以通過對數坐標圖容易地畫出來 例如 慣性環(huán)節(jié)對數幅頻特性和相頻特性分別為 當w 0時 L w 0dB j 0 曲線起始于坐標原點 當w 1 T時 L w 3dB j 45 自動控制原理 34 5 4頻域穩(wěn)定性判據 奈魁斯特穩(wěn)定判據無需求取閉環(huán)特征根 可根據系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性來判斷閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定 并能指出系統(tǒng)不穩(wěn)定特征根的個數 在實際中得到了廣泛地應用 奈魁斯特穩(wěn)定判據的數學基礎是復變函數理論中的映射定理 又稱幅角定理 5 4 1映射定理 假設復變函數F s 是s的單值解析函數 那么對于s平面上的任一點 在F s 平面上必定有一個對應的映射點 設s為一復數變量 F s 是s的有理分式函數 設其形式為 自動控制原理 35 復變函數F s 的幅角可表示為 假定在s平面上的封閉曲線 s包圍了F s 的一個零點 z1 而其它零 極點都位于封閉曲線之外 則當變點s沿著s平面上的封閉曲線 s順時針方向移動一周時 向量 s z1 的幅角的增量 s z1 2p弧度 而其它各向量的幅角增量為零 這時 函數F s 幅角的增量為 如果在s平面畫一條封閉曲線 并使其不通過F s 的任一奇點 則在F s 平面上必有一條對應的映射曲線 自動控制原理 36 這意味著在F s 平面上的映射曲線 F沿順時針方向圍繞坐標原點變化一周 即F s 的幅角變化了 2p弧度 如圖所示 同理 若s平面上的封閉曲線 s包圍F s 的Z個零點 則在F s 平面上的映射曲線 F將按順時針方向圍繞坐標原點變化Z周 用類似分析方法可以推論 若s平面上的封閉曲線 s包圍F s 的P個極點 則當s沿著s平面上的封閉曲線 s順時針移動一周時 在F s 平面上的映射曲線 F將按逆時針方向圍繞坐標原點變化P周 綜上所述 可歸納如下 如果s平面上的封閉曲線以順時針方向包圍函數F s 的Z個零點和P個極點 則F s 平面上的映射曲線 F相應地包圍坐標原點N次 且 Z P若 P N為正值 包圍方向為順時針 若 P N為負值 包圍方向為逆時針 自動控制原理 37 5 4 2奈魁斯特穩(wěn)定判據 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的特征根都具有負實部 或均不在右半s平面 奈魁斯特通過映射定理把s平面上的這一穩(wěn)定條件轉換到頻率特性平面 從而形成了在頻率域內判定系統(tǒng)穩(wěn)定性的準則 1 復變函數F s 的選擇設系統(tǒng)結構如圖 開環(huán)傳遞函數G s H s 一般為兩個多項式之比 為 閉環(huán)傳遞函數 則閉環(huán)特征式 自動控制原理 38 考慮到開環(huán)傳遞函數分子的最高次冪m均小于分母的最高次冪n 故復變函數F s 的分子和分母兩個多項式的階次是相同的 因此 F s 可改寫為 特征函數F s 具有如下特點 F s 的零點和極點分別是閉環(huán)極點和開環(huán)極點 F s 的零點和極點個數相同 F s 和G s H s 只差常數1 因此閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定條件為使特征函數F s 的零點都具有負實部 或者說F s 的所有零點都不在s平面的右半平面內即可 自動控制原理 39 2 封閉曲線 s的選擇及奈氏判據 為了將幅角定理應用于頻率域判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 選取s平面上的封閉曲線 s使之包圍整個s右半平面 該封閉曲線由整個虛軸 從s j 到s j 和右半平面上半徑為無窮大的半圓軌跡構成 這一封閉曲線通常稱作奈魁斯特軌跡 其方向為順時針 如圖所示 因此 在右半s平面內是否包圍F s 的零點和極點的問題 也就歸結為在奈魁斯特軌跡內是否包圍F s 的零點和極點的問題 閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是開環(huán)頻率特性曲線G jw H jw 不通過 1 j0 點 且逆時針包圍 1 j0 點的周數N等于開環(huán)傳遞函數正實部根的個數P 即N P 自動控制原理 40 關于奈魁斯特穩(wěn)定判據有如下說明 對于開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng) 即P G s H s 在右半s平面無極點 當且僅當開環(huán)頻率特性曲線G jw H jw 不通過也不包圍 1 j0 點 即N 0時 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 對于開環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng) 即P 0 G s H s 在右半s平面含有P個極點 當且僅當開環(huán)頻率特性曲線G jw H jw 逆時針包圍 1 j0 點P周 即N P時 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 如果N P 則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 閉環(huán)正實部特征根的個數為Z N P 當開環(huán)頻率特性曲線G jw H jw 通過 1 j0 點時 閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài) 自動控制原理 41 例5 8某系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的正頻段如圖中的實線所示 并已知其開環(huán)極點均在s平面的左半部 試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定 所以P 0 補畫頻率特性的負頻段 如圖中的虛線所示 從圖中看到 當w從 向 變化時 G jw H jw 曲線不包圍 1 j0 點 即N 0 因此Z N P 0 閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的 自動控制原理 42 2 F s 在虛軸上有極點 如果在開環(huán)傳遞函數中包含積分環(huán)節(jié) 則映射定理便不能直接應用 一種改進的辦法是對奈魁斯特軌跡進行修正 使其繞過虛軸上的開環(huán)極點 并將這些極點排除在奈魁斯特軌跡所包圍的區(qū)域之外 但仍包圍F s 在右半s平面內的所有零點和極點 以在原點處有極點為例 修正的奈魁斯特軌跡由以下幾部分組成 變點s從 j 沿負虛軸運動到j0 后 從j0 到j0 變點s沿半徑為e e 的無限小的半圓運動 然后再從j0 沿正虛軸運動到j 從j 開始的軌跡仍是半徑為無窮大的半圓 變點再沿此軌跡返回到原起始點 自動控制原理 43 解開環(huán)頻率特性函數 畫出G jw H jw 曲線 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數在右半s平面的沒有極點 故P 0 從圖中可以看到奈魁斯特曲線順時針包圍 1 j0 點2周 N 2 因此Z N P 2 有2個特征根在右半s平面 系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定 自動控制原理 44 例5 11設控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 試分析不同K值時閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為 畫出G jw H jw 曲線 如圖 G jw H jw 曲線與負實軸交點處的頻率 代入幅值表達式中 得 當K T1 T2 T1T2時 G jw H jw 曲線正好通過 1 j0 點 此時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài) 當K T1 T2 T1T2時 G jw H jw 曲線包圍 1 j0 點2周 系統(tǒng)有2個不穩(wěn)定特征根 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 自動控制原理 45 3 奈魁斯特判據在對數坐標圖上的應用 應用奈氏判據判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 需要畫出全頻段的G jw H jw 曲線 以便得到封閉的圍線 因為系統(tǒng)開環(huán)頻率特性在w 0與w 0 段的曲線是鏡像對稱的 所以只需畫出w 0 變化時的G jw H jw 曲線即可 為了說明這種方法的應用 首先介紹極坐標圖上頻率特性曲線穿越的概念 隨著w增加 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線逆時針穿過 1 j0 點左側負實軸 稱為一次正穿 記為N 1 隨著w增加 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線順時針穿過 1 j0 點左側負實軸 稱為一次負穿 記為N 1 如圖所示 如果開環(huán)頻率特性曲線起始或終止于 1 j0 點左側負實軸 稱為半次穿越 記為N 1 2或N 1 2 自動控制原理 46 將極坐標圖上的穿越點轉換到對數坐標圖上 極坐標圖中 G jw H jw 1的幅值與對數幅頻特性圖中的0dB線相對應 極坐標圖中的負實軸與對數相頻特性圖中的 2k 1 線相對應 沿頻率w增加方向 相頻特性曲線自下而上穿過 2k 1 線稱為正穿越 反之稱為負穿越 如圖所示 式中P為開環(huán)不穩(wěn)定極點的個數 Z為閉環(huán)不穩(wěn)定特征根的個數 綜上 在對數坐標圖上奈魁斯特穩(wěn)定判據可表述為 閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是在對數幅頻特性L w 0dB的頻段內 相頻特性曲線對 2k 1 線的負穿越與正穿越次數之差滿足 自動控制原理 47 例5 12設控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 當K 10時 試用奈氏判據判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解畫出開環(huán)對數頻率特性及其補作的虛直線 系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定 P 0 由圖知N 0 N 1 所以Z 2 N N P 2 有2個特征根在右半s平面 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 自動控制原理 48 5 5控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量 穩(wěn)定裕量 開環(huán)頻率特性G jw H jw 與 1 j0 點的遠近程度 可用來表示閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度 也稱穩(wěn)定裕度 5 5 1相角裕量在 w 頻段內 若系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G jw H jw 與單位圓相交 則交點處的頻率wc稱為幅值穿越頻率 又稱剪切頻率或截止頻率 它滿足 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量通常用幅值裕量和相角裕量來衡量 相角裕量定義為 相角裕量也稱相角裕度或相位裕度 表示使系統(tǒng)達到臨界穩(wěn)定狀態(tài)時開環(huán)頻率特性的相角尚可減少或增加的數值 在對數坐標圖上 相角裕度為幅值穿越頻率wc處相角與 180 的差值 自動控制原理 49 5 5 2幅值裕量 在 w 的頻段內 若系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G jw H jw 與負實軸相交 則交點處的頻率wg稱為相位穿越頻率 它滿足 幅值裕量定義為相位穿越頻率wg所對應的開環(huán)頻率特性幅值的倒數 用Kg表示 即 幅值裕量也稱幅值裕度或增益裕度 表示使系統(tǒng)達到臨界穩(wěn)定狀態(tài)時開壞頻率特性的幅值尚可增大或縮小的倍數 顯然 對于穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng) 幅值裕度大于1 一階和二階系統(tǒng)的幅值裕度為 自動控制原理 50 對于最小相位系統(tǒng) 當 G jwg H jwg 0時 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 反之 當 G jwg H jwg 1或Kg dB 0時 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 當 G jwg H jwg 1或Kg dB 0時 閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài) 相位裕度和幅值裕度的極坐標圖表示 自動控制原理 51 5 5 3穩(wěn)定裕度的計算 例5 13某單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 試求當K 10和K 100時系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度 解系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為 式中開環(huán)放大系數K 0 2K 兩個轉角頻率分別是w1 1 w2 5 當K 10時 有 解之得wc 1 23 計算相角裕度 自動控制原理 52 解之得wg 2 24 計算幅值裕度 所以 K 10時系統(tǒng)是穩(wěn)定的 當K 100時 計算幅值穿越頻率wc 3 9 相角裕度g 23 6 相位穿越頻率wg 2 24 幅值裕度Kg 10 5dB 所以K 100時系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 由 自動控制原理 53 5 6控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性 本節(jié)介紹利用已有的開環(huán)頻率特性來繪制閉環(huán)頻率特性的方法 并介紹常用的閉環(huán)系統(tǒng)頻域性能指標 5 6 1閉環(huán)頻率特性曲線的繪制1 單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特 對于如圖所示的單位反饋閉環(huán)系統(tǒng) 其閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為 自動控制原理 54 在工程中 實際上比較常用的是等M圓和等N圓以及尼柯爾斯圖線 直接根據開環(huán)頻率特性曲線繪制單位反饋閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性曲線 如果已知開環(huán)系統(tǒng)的極坐標圖 利用W jw 和G jw 的幾何關系 可得閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性 自動控制原理 55 1 等M圓圖和等N圓圖 幅值M為 這是一個圓的方程 圓心位于 半徑為 當M為不同數值時 可以繪制一簇等M圓 自動控制原理 56 等N圓是復平面上表示閉環(huán)頻率特性等相角的一簇圓 也稱為等圓 閉環(huán)頻率特性的相角為 整理后得 令 對于給定的值 N也是常數 配方得 其圓心位于 半徑為 自動控制原理 57 2 尼柯爾斯圖 將等M圓和等N圓轉換到對數幅值和相角坐標圖上就得到尼柯爾斯圖 自動控制原理 58 例5 15設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 試應用尼柯爾斯圖求取閉環(huán)系統(tǒng)波德圖 解在繪有等M線和等線的尼柯爾斯圖上 畫出上述開環(huán)對數幅相特性曲線 該曲線與等M線和等線的交點給出了相應頻率下閉環(huán)系統(tǒng)的對數幅值和相角 因此 可以求出閉環(huán)對數坐標圖 自動控制原理 59 2 非單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性 對于非單位反饋系統(tǒng) 其閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為 閉環(huán)頻率特性可寫成 在尼柯爾斯圖上畫出特性曲線 并在不同頻率點處讀取和 值 可以求得 的幅值和相角 自動控制原理 60 5 6 2閉環(huán)頻域性能指標 用閉環(huán)頻率特性來評價系統(tǒng)的性能 通常用以下指標 1 諧振峰值Mr 諧振峰值是閉環(huán)系統(tǒng)幅頻特性的最大值 2 諧振頻率 諧振頻率是閉環(huán)系統(tǒng)幅頻特性出現諧振峰值時的頻率 3 帶寬頻率 帶寬頻率是閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性幅值由其初始值M 0 減小到0 707M 0 時的頻率 也稱頻帶寬度 閉環(huán)系統(tǒng)的頻域性能指標示于下圖 自動控制原理 61 5 7頻域性能指標與瞬態(tài)性能指標之間的關系 我們知道 在系統(tǒng)穩(wěn)定的基礎上 可以進一步考查其瞬態(tài)響應性能 由于時間響應的性能指標最為直觀 最具有實際意義 因此 系統(tǒng)性能的優(yōu)劣最終是用時間響應性能指標來衡量 所以研究頻率特性的性能指標與瞬態(tài)響應性能指標之間的關系 對于用頻域法分析 設計控制系統(tǒng)是非常重要的 開環(huán)頻域指標主要包括剪切頻率wc 相角裕度g以及幅值裕度Kg 閉環(huán)頻域指標主要包括諧振峰值Mr 諧振頻率wr以及帶寬頻率wb 時域暫態(tài)指標可以用相對超調量和調節(jié)時間來描述 本節(jié)主要討論上述性能指標之間的關系 自動控制原理 62 5 7 1開環(huán)頻域性能指標與瞬態(tài)性能指標之間的關系 1 相角裕度和相對超調量之間的關系典型二階系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 其幅頻特性和相頻特性分別為 相位裕度 自動控制原理 63 相角裕度隨變化的曲線如圖所示 可見 當 的范圍內 它們的關系可以近似地表示為 0 01 上