第六章試題解答.doc

線性代數(shù)(經(jīng)管類)第六章歷年試題一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共30分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。 1設(shè)有實二次型f(x1,x2,x3)=，則f（）A正定B負(fù)定C不定D半正定答案：D24元二次型的秩為（）A4B3C2D1答案：C3二次型的正慣性指數(shù)p為（）A0B1C2D3答案：B4二次型的矩陣為（）ABCD答案：C5.設(shè)有二次型則（）A.正定B.負(fù)定C.不定D.半正定答案：C6二次型f(x1,x2,x3,x4)=x+x+x+x+2x3x4的秩為（）A1B2C3D4答案：C7.設(shè)A=，則二次型f(x1，x2)=xTAx是（）A.正定B.負(fù)定C.半正定D.不定答案：B8設(shè)實對稱矩陣A=，則3元二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的規(guī)范形為（ ）ABCD答案：D9若3階實對稱矩陣A=（）是正定矩陣，則A的正慣性指數(shù)為（ ）A0B1C2D3答案：D10.二次型（ ）A.A可逆B.|A|0C.A的特征值之和大于0D.A的特征值全部大于0答案：D11.設(shè)矩陣A=正定，則（ ）A.k0B.k0C.k1D.k1答案：C124元二次型的秩為（）A1B2C3D4答案：B13設(shè)矩陣，則二次型的規(guī)范形為（）ABCD答案：C14二次型f（x1，x2）=的規(guī)范形是（）ABCD答案：D15.三元二次型f （x1，x2，x3）=的矩陣為（ ）A.B.C.D.答案：A16.二次型f（x1,x2,x3）=的正慣性指數(shù)為（ ）A.0B.1C.2D.3答案；C8.若A、B相似，則下列說法錯誤的是( )A.A與B等價B.A與B合同C.| A |=| B |D.A與B有相同特征值10.設(shè)3階實對稱矩陣A的特征值分別為2,1,0，則( )A.A正定B.A半正定C.A負(fù)定D.A半負(fù)定二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。17若實對稱矩陣A=為正定矩陣，則a的取值應(yīng)滿足_.答案：18二次型的秩為_.答案：219二次型f(x1,x2,x3)=-2 x1x2+x2x3的矩陣是_.答案：20設(shè)3元實二次型的秩為3，正慣性指數(shù)為2，則此二次型的規(guī)范形是_.答案：21設(shè)矩陣A=為正定矩陣，則a的取值范圍是_.答案：22二次型的矩陣是_.答案：23.矩陣A=所對應(yīng)的二次型是_.答案：24.二次型f(x1,x2,x3)=x+2x-5x-4x1x2+2x2x3的矩陣為_.答案：25.已知二次型f(x1，x2，x3)=(k+1)x+(k-1)x+(k-2)x正定，則數(shù)k的取值范圍為_.答案：26.矩陣A=所對應(yīng)的二次型是_.答案：27矩陣A=對應(yīng)的二次型f = _.答案：28設(shè)矩陣A=，則二次型xTAx的規(guī)范形是_.答案：29二次型f (x1,x2,x3,x4)=的正慣性指數(shù)為_.答案：330若f (x1,x2,x3)=為正定二次型，則的取值應(yīng)滿足_.答案：31.二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+(x2-x3)2的矩陣A=_.答案：32.二次型對應(yīng)的對稱矩陣是_。答案：33已知3元二次型正定，則數(shù)的最大取值范圍是_.答案：34.二次型的秩為_.答案：335.二次型f（x1, x2, x3）=-4x1x2+2x1x3+6x2x3的矩陣是_。答案：18.實對稱矩陣所對應(yīng)的二次型f (x1, x2, x3)=_.三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）36設(shè)二次型f(x1,x2,x3)=2（其中a0）可通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)型，求參數(shù)a及所用的正交變換.解：A的特征值分別為1，2，5，所以對于，解方程組特征向量為，取對于，解方程組特征向量為，取對于，解方程組特征向量為，取 于是有正交矩陣和正交變換37.設(shè)3元二次型,求正交變換x=Py,將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形. 解 二次型的矩陣為. 由,得的特征值為。 當(dāng)時, 解方程, 由,得特征向量。 取。 當(dāng)時, 解方程, 由得特征向量， 取. 當(dāng)時, 解方程, 由得特征向量， 取. . 于是有正交矩陣和正交變換， 使38.用配方法求二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出相應(yīng)的線性變換。解：對f配方令得f的標(biāo)準(zhǔn)形相應(yīng)的線性變換為39已知二次型，求一正交變換，將此二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形 解 二次型的矩陣為. 由,得的特征值為。 當(dāng)時, 解方程, 由,得特征向量，。 取，。當(dāng)時, 解方程, 由,得特征向量， 取得特征向量， 取.