概率論與數(shù)理統(tǒng)計多維隨機變量及其分布.doc

第三章 多維隨機變量及其分布 在實際應(yīng)用中, 有些隨機現(xiàn)象需要同時用兩個或兩個以上的隨機變量來描述. 例如, 研究某地區(qū)學(xué)齡前兒童的發(fā)育情況時, 就要同時抽查兒童的身高、體重, 這里, 和是定義在同一個樣本空間某地區(qū)的全部學(xué)齡前兒童上的兩個隨機變量. 又如, 考察某次射擊中彈著點的位置時，就要同時考察彈著點的橫坐標和縱坐標. 在這種情況下，我們不但要研究多個隨機變量各自的統(tǒng)計規(guī)律，而且還要研究它們之間的統(tǒng)計相依關(guān)系，因而還需考察它們的聯(lián)合取值的統(tǒng)計規(guī)律，即多為隨機變量的分布. 由于從二維推廣到多維一般無實質(zhì)性的困難, 故我們重點討論二維隨機變量.第一節(jié) 多維隨機變量的分布內(nèi)容分布圖示 二維隨機變量 二維隨機變量的分布函數(shù) 例1 二維離散型隨機變量及其概率分布 例2 例3 例4 例5 例6 二維連續(xù)型隨機變量及其概率密度 例7 例8 例9 二維均勻分布 例10 二維正態(tài)分布 例11 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題3-1 返回內(nèi)容要點： 一、 二維隨機變量定義1 設(shè)隨機試驗的樣本空間為, 為樣本點，而是定義在上的兩個隨機變量, 稱為定義在上的二維隨機變量或二維隨機向量. 二、 二維隨機變量的分布函數(shù)定義2 設(shè)是二維隨機變量, 對任意實數(shù), 二元函數(shù)稱為二維隨機變量的分布函數(shù)或稱為隨機變量和的聯(lián)合分布函數(shù).聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì):（1） 且對任意固定的 對任意固定的(2) 關(guān)于和均為單調(diào)非減函數(shù), 即對任意固定的 當(dāng)對任意固定的 當(dāng)(3) 關(guān)于和均為右連續(xù), 即 三、 二維離散型隨機變量及其概率分布定義3 若二維隨機變量只取有限個或可數(shù)個值, 則稱為二維離散型隨機變量. 結(jié)論：為二維離散型隨機變量當(dāng)且僅當(dāng)均為離散型隨機變量.若二維離散型隨機變量所有可能的取值為 則稱為二維離散型隨機變量的概率分布(分布律), 或的聯(lián)合概率分布(分布律).與一維情形類似,有時也將聯(lián)合概率分布用表格形式來表示, 并稱為聯(lián)合概率分布表: 注：對離散型隨機變量而言, 聯(lián)合概率分布不僅比聯(lián)合分布函數(shù)更加直觀, 而且能夠更加方便地確定取值于任何區(qū)域上的概率，即,特別地, 由聯(lián)合概率分布可以確定聯(lián)合分布函數(shù): 四、二維連續(xù)型隨機變量及其概率密度定義 設(shè)為二維隨機變量,為其分布函數(shù), 若存在一個非負可積的二元函數(shù), 使對任意實數(shù), 有則稱為二維連續(xù)型隨機變量, 并稱為的概率密度(密度函數(shù)), 或的聯(lián)合概率密度(聯(lián)合密度函數(shù)).概率密度函數(shù)的性質(zhì): (3) 設(shè)是平面上的區(qū)域,點落入內(nèi)的概率為特別地, 邊緣分布函數(shù)上式表明: 是連續(xù)型隨機變量, 且其密度函數(shù)為:同理, 是連續(xù)型隨機變量, 且其密度函數(shù)為:,分別稱和為關(guān)于和的邊緣密度函數(shù).(4) 若在點連續(xù), 則有 進一步, 根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義, 可推得:當(dāng)很小時, 有即, 落在區(qū)間上的概率近似等于 五、二維均勻分布設(shè)是平面上的有界區(qū)域,其面積為.若二維隨機變量具有概率密度函數(shù)則稱在上服從均勻分布. 六、二維正態(tài)分布若二維隨機變量具有概率密度其中均為常數(shù),且,則稱服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布.注：二維正態(tài)隨機變量的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布，且都不依賴于參數(shù)，亦即對給定的，不同的對應(yīng)不同的二維正態(tài)分布，但它們的邊緣分布都是相同的，因此僅由關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布，一般來說是不能確定二維隨機變量的聯(lián)合分布的.例題選講： 二維隨機變量的分布函數(shù)例1 (講義例1) 設(shè)二維隨機變量的分布函數(shù)為(1) 試確定常數(shù)(2) 求事件的概率. 二維離散型隨機變量及其概率分布例2 (講義例2) 設(shè)隨機變量在1, 2, 3, 4四個整數(shù)中等可能地取一個值，另一個隨機變量在1中等可能地取一整數(shù)值，試求的分布律.例3 (講義例3) 把一枚均勻硬幣拋擲三次, 設(shè)為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù), 而為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值, 求的概率分布及關(guān)于的邊緣分布.例4 設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合概率分布為 YX010.30.10.110.050.2020.200.05求及二維連續(xù)型隨機變量及其概率密度例5 (講義例4) 的概率分布由表31B給出，求 表31B 0200.10.2010.20.050.120.1500.1例6 一整數(shù)等可能地在十值中取一個值. 設(shè)是能整除的正整數(shù)的個數(shù)，是能整除的素數(shù)的個數(shù)（注意1不是素數(shù)）. 試寫出和的聯(lián)合分布律.并求分布律.例7 (講義例5) (1) 求分布函數(shù) (2) 求概率例8 (講義例6) 設(shè)的概率密度是求 (1) 的值; (2) 兩個邊緣密度.二維均勻分布例9 設(shè)隨機變量和具有聯(lián)合概率密度 求邊緣概率密度.例10 (講義例7) 設(shè)服從單位圓域上的均勻分布, 求X和Y的邊緣概率密度. 二維正態(tài)分布例11 (講義例8) 設(shè)二維隨機變量的概率密度試求關(guān)于的邊緣概率密度函數(shù).課堂練習(xí)1.將兩封信隨意地投入3個郵筒, 設(shè),分別表示投入第1, 2號郵筒中信的數(shù)目, 求和的聯(lián)合概率分布及邊緣概率分布.2.設(shè)向量的密度函數(shù)的密度函數(shù)為求 (1) 參數(shù)的值；（2）的邊緣密度.第二節(jié) 條件分布與隨機變量的獨立性內(nèi)容分布圖示 條件分布的概念 例1 隨機變量的獨立性 離散型隨機變量的條件分布與獨立性 例2 例3 例4 連續(xù)型隨機變量的條件分布與獨立性 例5 例6 例7 例8 例9 例10 例11 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題3-2 返回內(nèi)容要點: 一、 條件分布的概念設(shè)是一個隨機變量, 其分布函數(shù)為若另外有一事件已經(jīng)發(fā)生, 并且的發(fā)生可能會對事件發(fā)生的概率產(chǎn)生影響, 則對任一給定的實數(shù), 記并稱為在發(fā)生的條件下, 的條件分布函數(shù). 二、 隨機變量的獨立性設(shè)是隨機變量所生成的事件: , 且, 則有.一般地, 由于隨機變量之間存在相互聯(lián)系,因而一個隨機變量的取值可能會影響另一個隨機變量的取值統(tǒng)計規(guī)律性. 在何種情況下, 隨機變量之間沒有上述影響, 而具有所謂的“獨立性”, 我們引入如下定義.定義 設(shè)隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為, 邊緣分布函數(shù)為, 若對任意實數(shù),有即 則稱隨機變量和相互獨立.關(guān)于隨機變量的獨立性, 有下列兩個定理.定理1 隨機變量與相互獨立的充要條件是所生成的任何事件與生成的任何事件獨立, 即, 對任意實數(shù)集, 有定理2 如果隨機變量與相互獨立, 則對任意函數(shù)均有相互獨立. 三、離散型隨機變量的條件分布與獨立性設(shè)是二維離散型隨機變量, 其概率分布為則由條件概率公式, 當(dāng), 有稱其為在條件下隨機變量的條件概率分布.對離散型隨機變量, 其獨立性的定義等價于:若對的所有可能取值 有即 則稱和相互獨立. 四、 連續(xù)型隨機變量的條件密度與獨立性定義 設(shè)二維連續(xù)型隨機變量的概率密度為,邊緣概率密度為, 則對一切使的, 定義在的條件下的條件概率密度為.類似地, 對一切使的, 定義在的條件下的條件密度函數(shù)為.注: 關(guān)于定義表達式內(nèi)涵的解釋. 以為例. 在上式左邊乘以, 右邊乘以即得 換句話說, 對很小的和,表示已知取值于和之間的條件下, 取值于和之間的條件概率.對二維連續(xù)型隨機變量, 其獨立性的定義等價于:若對任意的, 有幾乎處處成立, 則稱相互獨立.注: 這里“幾乎處處成立”的含義是:在平面上除去面積為0的集合外,處處成立.例題選講： 條件分布的概念例1 (講義例1) 設(shè)服從上的均勻分布, 求在已知的條件下的條件分布函數(shù). 隨機變量的獨立性例2 (講義例2) 設(shè)與的聯(lián)合概率分布為 Y X0200.10.2010.30.050.120.1500.1 (1) 求時, 的條件概率分布以及時, 的條件概率分布;(2)判斷與是否相互獨立?例3 (講義例3) 設(shè)隨機變量X與Y相互獨立, 下表列出了二維隨機變量聯(lián)合分布律及關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律中的部分數(shù)值, 試將其余數(shù)值填入表中的空白處. Y X 1/81/81/61例4 (講義例4) 一射手進行射擊,擊中目標的概率為, 射擊進行到擊中目標兩次為止. 以表示首次擊中目標所進行射擊次數(shù), 以表示總共進行的射擊次數(shù). 試求和的聯(lián)合分布及條件分布. 連續(xù)型隨機變量的條件密度與獨立性例5 (講義例5)設(shè)的概率密度為;問和是否獨立? 例6 設(shè)服從單位圓上的均勻分布，概率密度為求例7 (講義例7)設(shè)(1) 求 和 . (2) 證明與相互獨立的充要條件是.例8 (講義例6)甲乙兩人約定中午12時30分在某地會面. 如果甲來到的時間在12:15到12:45之間是均勻分布. 乙獨立地到達, 而且到達時間在12:00到13:00之間是均勻分布. 試求先到的人等待另一人到達的時間不超過5分鐘的概率. 又甲先到的概率是多少?例9 設(shè)數(shù)在區(qū)間均勻分布，當(dāng)觀察到時，數(shù)在區(qū)間上等可能隨機地取值.求的概率密度.例10 設(shè)店主在每日開門營業(yè)時，放在柜臺上的貨物量為，當(dāng)日銷售量為假定一天中不再上柜臺上補充貨物，于是. 根據(jù)歷史資料，的概率密度函數(shù)為 即服從直角三角形區(qū)域上的均勻分布, 見圖32A. 求(1) 給定條件下,的條件分布.(2)假定某日開門時,件,求這天顧客買走件的概率. 如果件呢? 例11 (講義例8)設(shè)隨機變量的概率密度為(1) 求與的邊際概率密度, 并判斷與是否相互獨立;(2) 求在的條件下, 的條件概率密度;(3) 求概率課堂練習(xí) 1. 設(shè)的分布律如下 Y X12311/61/91/1821/3問為何值時, 與相互獨立.2. 設(shè)的概率密度是求3.設(shè)，試判斷與是否相互獨立.第三節(jié) 多維隨機變量函數(shù)的分布在實際應(yīng)用中，有些隨機變量往往是兩個或兩個以上隨機變量的函數(shù). 例如，考慮全國年齡在40歲以上的人群，用和分別表示一個人的年齡和體重，表示這個人的血壓，并且已知與，的函數(shù)關(guān)系式 ,現(xiàn)希望通過的分布來確定的分布. 此類問題就是我們將要討論的兩個隨機向量函數(shù)的分布問題. 在本節(jié)中，我們重點討論兩種特殊的函數(shù)關(guān)系: (i) ; (ii) 和，其中與相互獨立. 注：應(yīng)指出的是，將兩個隨機變量函數(shù)的分布問題推廣到個隨機變量函數(shù)的分布問題只是表述和計算的繁雜程度的提高，并沒有本質(zhì)性的差異.內(nèi)容分布圖示 引言 離散型隨機向量的函數(shù)的分布 例1 例2 例3 連續(xù)型隨機向量的函數(shù)的分布 例4 連續(xù)型隨機向量函數(shù)的聯(lián)合概率密度 例5 和的分布 例6 例7 正態(tài)隨機變量的線性組合 例8 例9 例10 商的分布 例11 積的分布 例12 最大、最小分布 例13 例14 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題3-3 返回內(nèi)容要點： 一、 離散型隨機變量的函數(shù)的分布設(shè)是二維離散型隨機變量, 是一個二元函數(shù), 則作為的函數(shù)是一個隨機變量, 如果的概率分布為設(shè)的所有可能取值為, 則的概率分布為 二、 連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布設(shè)是二維連續(xù)型隨機向量, 其概率密度函數(shù)為, 令為一個二元函數(shù), 則是的函數(shù). 可用類似于求一元隨機變量函數(shù)分布的方法來求的分布.a) 求分布函數(shù)其中, b) 求其概率密度函數(shù), 對幾乎所有的z, 有定理1 設(shè)是具有密度函數(shù)的連續(xù)型隨機向量.(1) 設(shè)是到自身的一一映射, 即存在定義在該變換的值域上的逆變換:(2) 假設(shè)變換和它的逆都是連續(xù)的;(3) 假設(shè)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù);(4) 假設(shè)逆變換的雅可比行列式,即對于在變換的值域中的是不為0的. 則具有聯(lián)合密度定理2 設(shè)相互獨立，且 則仍然服從正態(tài)分布，且更一般地，可以證明：有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布, 即有 定理3 若且它們相互獨立，則對任意不全為零的常數(shù)，有 . 三、 及的分布設(shè)隨機變量相互獨立,其分布函數(shù)分別為和, 由于不大于z等價于和都不大于z, 故有類似地, 可得的分布函數(shù)例題選講： 離散型隨機變量的函數(shù)的分布例1 (講義例1) 設(shè)隨機變量的概率分布如下表 YX0120.20.150.10.320.100.10.05求二維隨機變量的函數(shù)Z的分布: 例2 (講義例2) 設(shè)和相互獨立, 求的分布.例3 (講義例3) 若和相互獨立, 它們分別服從參數(shù)為的泊松分布, 證明服從參數(shù)為的泊松分布. 連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布例4 (講義例4) 設(shè)隨機變量與相互獨立, 且同服從上的均勻分布, 試求的分布函數(shù)與密度函數(shù).例5 (講義例5) 設(shè)的密度函數(shù)為 令試用表示和的聯(lián)合密度函數(shù).和的分布：設(shè)和的聯(lián)合密度為, 求的密度.卷積公式: 當(dāng)和獨立時, 設(shè)關(guān)于的邊緣密度分別為 則上述兩式化為以上兩個公式稱為卷積公式.例6 (講義例6)設(shè)和是兩個相互獨立的隨機變量. 它們都服從分布, 其概率密度為例7 (講義例7) 設(shè)某種商品一周的需要量是一個隨機變量, 其概率密度函數(shù)為如果各周的需要量相互獨立, 求兩周需要量的概率密度函數(shù).例8 設(shè)與相互獨立, 且均在區(qū)間上服從均勻分布, 求的密度函數(shù).例9 (講義例8) 設(shè)相互獨立且分別服從參數(shù)為的分布(分別記成的概率密度分別為 試證明服從參數(shù)為的分布.商的分布：設(shè)二維隨機向量的密度函數(shù)為, 求的密度函數(shù). 例10 在一簡單電路中, 兩電阻和串聯(lián)連接, 設(shè)相互獨立,它們的概率密度均為 求總電阻的概率密度.例11 (講義例9) 設(shè)X與Y相互獨立, 它們都服從參數(shù)為的指數(shù)分布. 求的密度函數(shù).積的分布： 設(shè)具有密度函數(shù), 則的概率密度為 例12 (講義例10) 設(shè)二維