概率論與數(shù)理統(tǒng)計(04).ppt

第四章數(shù)字特征 主講 周仲禮 一 數(shù)學期望 在前面的課程中 我們討論了隨機變量及其分布 如果知道了隨機變量X的概率分布 那么X的全部概率特征也就知道了 然而 在實際問題中 概率分布一般是較難確定的 而在一些實際應用中 人們并不需要知道隨機變量的一切概率性質(zhì) 只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了 因此 在對隨機變量的研究中 確定某些數(shù)字特征是重要的 其中最常用的是 期望和方差 一 離散型隨機變量的數(shù)學期望 概念的引入 某車間對工人的生產(chǎn)情況進行考察 車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個隨機變量 如何定義X的平均值呢 我們來看這個問題 若統(tǒng)計100天 例1某車間對工人的生產(chǎn)情況進行考察 車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個隨機變量 如何定義X的平均值呢 32天沒有出廢品 30天每天出一件廢品 17天每天出兩件廢品 21天每天出三件廢品 可以得到這100天中每天的平均廢品數(shù)為 這個數(shù)能否作為X的平均值呢 可以想象 若另外統(tǒng)計100天 車工小張不出廢品 出一件 二件 三件廢品的天數(shù)與前面的100天一般不會完全相同 這另外100天每天的平均廢品數(shù)也不一定是1 27 n0天沒有出廢品 n1天每天出一件廢品 n2天每天出兩件廢品 n3天每天出三件廢品 可以得到n天中每天的平均廢品數(shù)為 假定小張每天至多出三件廢品 一般來說 若統(tǒng)計n天 這是以頻率為權的加權平均 由頻率和概率的關系 不難想到 在求廢品數(shù)X的平均值時 用概率代替頻率 得平均值為 這是以概率為權的加權平均 這樣得到一個確定的數(shù) 我們就用這個數(shù)作為隨機變量X的平均值 定義1設X是離散型隨機變量 它的概率分布是 P X Xk pk k 1 2 也就是說 離散型隨機變量的數(shù)學期望是一個絕對收斂的級數(shù)的和 兩點分布X B 1 p 0 p 1P X 1 p P X 0 1 p E X 1 p 0 1 p p 常見離散型隨機變量的數(shù)學期望 二項分布X B n p 其中0 p 1 推導見 板 書 另一簡單證明見期望的性質(zhì)后面例題 泊松分布X P 其中 0 則E X 二 連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望 設X是連續(xù)型隨機變量 其密度函數(shù)為f x 在數(shù)軸上取很密的分點x0 x1 x2 則X落在小區(qū)間 xi xi 1 的概率是 小區(qū)間 xi xi 1 陰影面積近似為 小區(qū)間 Xi Xi 1 由于xi與xi 1很接近 所以區(qū)間 xi xi 1 中的值可以用xi來近似代替 這正是 的漸近和式 陰影面積近似為 該離散型r v的數(shù)學期望是 由此啟發(fā)我們引進如下定義 定義2設X是連續(xù)型隨機變量 其密度函數(shù)為f x 如果 有限 定義X的數(shù)學期望為 也就是說 連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望是一個絕對收斂的積分 若X U a b 即X服從 a b 上的均勻分布 則 若X服從 若X服從參數(shù)為 由隨機變量數(shù)學期望的定義 不難計算得 這意味著 若從該地區(qū)抽查很多個成年男子 分別測量他們的身高 那么 這些身高的平均值近似是1 68 已知某地區(qū)成年男子身高X 三 隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 1 問題的提出 設已知隨機變量X的分布 我們需要計算的不是X的期望 而是X的某個函數(shù)的期望 比如說g X 的期望 那么應該如何計算呢 如何計算隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 一種方法是 因為g X 也是隨機變量 故應有概率分布 它的分布可以由已知的X的分布求出來 一旦我們知道了g X 的分布 就可以按照期望的定義把E g X 計算出來 使用這種方法必須先求出隨機變量函數(shù)g X 的分布 一般是比較復雜的 那么是否可以不先求g X 的分布而只根據(jù)X的分布求得E g X 呢 下面的基本公式指出 答案是肯定的 類似引入上述E X 的推理 可得如下的基本公式 設X是一個隨機變量 Y g X 則 當X為離散型時 P X xk pk 當X為連續(xù)型時 X的密度函數(shù)為f x 該公式的重要性在于 當我們求E g X 時 不必知道g X 的分布 而只需知道X的分布就可以了 這給求隨機變量函數(shù)的期望帶來很大方便 X N 0 1 求 E X2 解 例3 設 國際市場上對我國某種出口商品的每年需求量是隨機變量X 單位 噸 X服從區(qū)間 2000 4000 上的均勻分布 每銷售出一噸商品 可為國家賺取外匯3萬元 若銷售不出 則每噸商品需貯存費1萬元 求 應組織多少貨源 才能使國家收益最大 例4 設組織貨源t噸 顯然應要求2000 t 4000 國家收益Y 單位 萬元 是X的函數(shù)Y g X 表達式為 解 由已知條件 X的概率密度函為 可算得當t 3500時 E Y 2t2 14000t 8000000達到最大 因此 應組織3500噸貨源 說明 前面我們給出了求g X 的期望的方法 實際上定理的結(jié)論可以原封不動地推廣到兩個隨機變量函數(shù)Z g X Y 的情形 設二維離散型隨機向量 X Y 的分布律為piji 1 2 j 1 2 則 設二維連續(xù)型隨機向量 X Y 的密度函數(shù)為f x y 則 設二維離散型隨機向量 X Y 的概率分布如下表所示 求 Z X2 Y的期望 E Z g 1 1 0 125 g 1 2 0 25 g 2 1 0 5 g 2 2 0 125 解 例5 4 25 設隨機變量X和Y相互獨立 概率密度函數(shù)分別為 求 E XY 解 G X Y XY X和Y相互獨立 例6 四 數(shù)學期望的性質(zhì) 1 設C是常數(shù) 則E C C 4 設X Y獨立 則E XY E X E Y 2 若k是常數(shù) 則E kX kE X 3 E X1 X2 E X1 E X2 諸Xi獨立時 注意 由E XY E X E Y 不一定能推出X Y獨立 五 數(shù)學期望性質(zhì)的應用 例7求二項分布的數(shù)學期望 若X B n p 則X表示n重貝努里試驗中的 成功 次數(shù) 現(xiàn)在我們來求X的數(shù)學期望 可見 服從參數(shù)為n和p的二項分布的隨機變量X的數(shù)學期望是np X B n p 若設 則X X1 X2 Xn np i 1 2 n 因為P Xi 1 p P Xi 0 1 p 所以E X 則X表示n重貝努里試驗中的 成功 次數(shù) 例8 將n個球放入M個盒子中 設每個球落入各個盒子是等可能的 求有球的盒子數(shù)X的期望 解 引入隨機變量 則X X1 X2 XM 于是 E X E X1 E X2 E XM 每個隨機變量Xi都服從兩點分布 i 1 2 M 每個球落入每個盒子是等可能的均為1 M 對第i個盒子 一個球不落入這個盒子內(nèi)的概率為 1 1 M 故N個球都不落入這個盒子內(nèi)的概率為 1 1 M n 即 小結(jié) 這一講 我們介紹了隨機變量的數(shù)學期望 它反映了隨機變量取值的平均水平 是隨機變量的一個重要的數(shù)字特征 接下來的一講中 我們將向大家介紹隨機變量另一個重要的數(shù)字特征 方差 二 方差 上一講我們介紹了隨機變量的數(shù)學期望 它體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平 是隨機變量的一個重要的數(shù)字特征 但是在一些場合 僅僅知道平均值是不夠的 例如 某零件的真實長度為a 現(xiàn)用甲 乙兩臺儀器各測量10次 將測量結(jié)果X用坐標上的點表示如圖 若讓你就上述結(jié)果評價一下兩臺儀器的優(yōu)劣 你認為哪臺儀器好一些呢 測量結(jié)果的均值都是a 因為乙儀器的測量結(jié)果集中在均值附近 又如 甲 乙兩門炮同時向一目標射擊10發(fā)炮彈 其落點距目標的位置如圖 你認為哪門炮射擊效果好一些呢 甲炮射擊結(jié)果 乙炮射擊結(jié)果 因為乙炮的彈著點較集中在中心附近 為此需要引進另一個數(shù)字特征 用它來度量隨機變量取值在其中心附近的離散程度 這個數(shù)字特征就是我們這一講要介紹的 方差 一 方差的定義 采用平方是為了保證一切差值X E X 都起正面的作用 由于它與X具有相同的度量單位 在實際問題中經(jīng)常使用 注 有的書上記作D X 若X的取值比較分散 則方差較大 若方差Var X 0 則r v X以概率1取常數(shù)值 方差刻劃了隨機變量的取值對于其數(shù)學期望的離散程度 若X的取值比較集中 則方差較小 Var X E X E X 2 X為離散型 P X xk pk 由定義知 方差是隨機變量X的函數(shù)g X X E X 2的數(shù)學期望 X為連續(xù)型 X f x 二 計算方差的一個簡化公式 Var X E X2 E X 2 展開 證 Var X E X E X 2 E X2 2XE X E X 2 E X2 2 E X 2 E X 2 E X2 E X 2 利用期望性質(zhì) 請自己用此公式計算常見分布的方差 例1設r v X服從幾何分布 概率函數(shù)為 P X k p 1 p k 1 k 1 2 n 其中0 p 1 求Var X 解 記q 1 p 求和與求導交換次序 無窮遞縮等比級數(shù)求和公式 Var X E X2 E X 2 E X 求 Var X 解 例2 設連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)f x 為 例3 設隨機變量X的期望和方差為E X 和Var X 且Var X 0 求 解 設 X為某加油站在一天開始時貯存的油量 Y為一天中賣出的油量 當然Y X 設 X Y 具有概率密度函數(shù) 這里1表明1個容積單位 求 每日賣出的油量Y的期望與方差 例4 解 當y1時 當0 y 1時 三 方差的性質(zhì) 1 設C是常數(shù) 則Var C 0 2 若C是常數(shù) 則Var CX C2D X 3 若X1與X2獨立 則Var X1 X2 Var X1 Var X2 可推廣為 若X1 X2 Xn相互獨立 則 X1與X2不一定獨立時 Var X1 X2 請思考 4 Var X 0P X C 1 這里C E X 下面我們用一例說明方差性質(zhì)的應用 兩點分布X B 1 p Var X p 1 p 四 常見隨機變量的方差 二項分布X B n p 其中0 p 1 Var X np 1 p 泊松分布X P 其中 0 Var X 泊松分布X P 其中 0 Var X E X2 E X 2 2 2 均勻分布X U a b 指數(shù)分布 正態(tài)分布X N 2 由第一節(jié)E X 小結(jié) 這一講 我們介紹了隨機變量的方差 它是刻劃隨機變量取值在其中心附近離散程度的一個數(shù)字特征 通過方差 可以判斷均值相同的隨機變量的取值情況 下面 我們將介紹刻劃兩r v 間線性相關程度的兩個重要的數(shù)字特征 協(xié)方差與相關系數(shù) 三 協(xié)方差與相關系數(shù) 任意兩個隨機變量X和Y的協(xié)方差 記為Cov X Y 定義為 Cov X1 X2 Y Cov X1 Y Cov X2 Y Cov X Y Cov Y X 一 協(xié)方差 2 簡單性質(zhì) Cov aX bY abCov X Y a b是常數(shù) Cov X Y E X E X Y E Y 1 定義 Cov X Y E XY E X E Y 可見 若X與Y獨立 Cov X Y 0 3 計算協(xié)方差的一個簡單公式 由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì) 可得 Cov X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y E Y E X E X E Y E XY E X E Y 即 若X1 X2 Xn兩兩獨立 上式化為 Var X Y Var X Var Y 2Cov X Y 4 隨機變量和的方差與協(xié)方差的關系 協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關系 但它還受X與Y本身度量單位的影響 例如 Cov kX kY k2Cov X Y 為了克服這一缺點 對協(xié)方差進行標準化 這就引入了相關系數(shù) 二 相關系數(shù) 為隨機變量X和Y的相關系數(shù) 定義 設Var X 0 Var Y 0 稱 在不致引起混淆時 記為 關于 XY的符號 當 XY 0時 稱X與Y為正相關 當 XY 0時 稱X與Y為負相關 相關系數(shù)和協(xié)方差具有相同的符號 因此 前面關于協(xié)方差的符號意義的討論可以移到這里 即正相關表示兩個隨機變量有同時增加或同時減少的變化趨勢 負相關表示兩個隨機變量有相反的變化趨勢 相關系數(shù)的性質(zhì) 證 由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知 對任意實數(shù)b 有 0 Var Y bX b2Var X Var Y 2bCov X Y Var Y bX 2 X和Y獨立時 0 但其逆不真 由于當X和Y獨立時 Cov X Y 0 請看下例 證明 例1 設 X Y 服從單位圓域x2 y2 1上的均勻分布 證明 XY 0 Cov X Y E XY E X E Y 0 同樣得E Y 0 可易得Var X 0 Var Y 0 XY 0 故X與Y不相關 但在前面計算過 X和Y不相互獨立 存在常數(shù)a b b 0 使P Y a bX 1 即X和Y以概率1線性相關 但對下述情形 獨立與不相關等價 前面 我們已經(jīng)看到 若X與Y獨立 則X與Y不相關 但由X與Y不相關 不一定能推出X與Y獨立 參見書P121 122 小結(jié) 本節(jié)主要介紹了協(xié)方差與相關系數(shù) 它們都是用來刻畫兩個隨機變量之間的相關程度的量 它們?nèi)≈档恼?反映了兩個隨機變量變化方向的趨勢 四 矩 協(xié)方差矩陣 在數(shù)學期望一講中 我們已經(jīng)介紹了矩和中心矩的概念 這里再給出混合矩 混合中心矩的概念 協(xié)方差Cov X Y 是X和Y的二階混合中心矩 稱它為X和Y的k L階混合 原點 矩 稱它為X和Y的k L階混合中心矩 可見 協(xié)方差矩陣的定義 將二維隨機變量 X1 X2 的四個二階中心矩 排成矩陣的形式 稱此矩陣為 X1 X2 的協(xié)方差矩陣 類似定義n維隨機變量 X1 X2 Xn 的協(xié)方差矩陣 下面給出n元正態(tài)分布的概率密度的定義 為