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冪函數(shù)復習一、知識要點1、冪函數(shù)定義：一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù)2、冪函數(shù)性質歸納（1）所有的冪函數(shù)在（0，+）都有定義并且圖象都過點（1，1）；（2）時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間上是增函數(shù)特別地，當時，冪函數(shù)的圖象下凸；當時，冪函數(shù)的圖象上凸；（3）時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)在第一象限內，當從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸二、典型例題及對應習題1、冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域1若冪函數(shù)y=f（x）的圖象過點（5，），則為（）ABCD12設2，1，1，2，3，則使冪函數(shù)y=xa為奇函數(shù)且在（0，+）上單調遞減的a個數(shù)為（）A1B2C3D43已知函數(shù)f（x）=xk（k為常數(shù)，kQ），在下列函數(shù)圖象中，不是函數(shù)y=f（x）的圖象是（）ABCD4已知函數(shù)f（x）=（m2m1）x5m3是冪函數(shù)且是（0，+）上的增函數(shù)，則m的值為（）A2B1C1或2D05已知點（a，）在冪函數(shù)f（x）=（a26a+10）xb的圖象上，則函數(shù)f（x）是（）A奇函數(shù)B偶函數(shù)C定義域內的減函數(shù)D定義域內的增函數(shù)2、冪函數(shù)的圖像6冪函數(shù)y=f（x）的圖象過點（4，2），則冪函數(shù)y=f（x）的圖象是（）ABCD9冪函數(shù)y=xm，y=xn，y=xp的圖象如圖所示，以下結論正確的是（）AmnpBmpnCnpmDpnm10函數(shù)f（x）=1的圖象大致是（）ABCD3、冪函數(shù)的圖像及其與指數(shù)的關系11函數(shù)y=x3和圖象滿足（）A關于原點對稱B關于x軸對稱C關于y軸對稱D關于直線y=x對稱12已知點在冪函數(shù)f（x）的圖象上，則f（x）是（）A奇函數(shù)B偶函數(shù)C定義域內的減函數(shù)D定義域內的增函數(shù)13若0xy1，則（）A3y3xBx0.5y0.5Clogx3logy3Dlog0.5xlog0.5y14已知冪函數(shù)y=（a22a2）xa在實數(shù)集R上單調，那么實數(shù)a=（）A一切實數(shù)B3或1C1D315函數(shù)y=的單調遞增區(qū)間是（）A（，1）B（0，1）C（1，2）D（1，+）4、冪函數(shù)的性質16冪函數(shù)f（x）=（m24m+4）x在（0，+）為減函數(shù)，則m的值為（）A1或3B1C3D217若四個冪函數(shù)y=xa，y=xb，y=xc，y=xd在同一坐標系中的圖象如圖，則a、b、c、d的大小關系是（）AdcbaBabcdCdcabDabdc18冪函數(shù)y=（m2m1），當x（0，+）時為減函數(shù)，則實數(shù)m的值為（）Am=2Bm=1Cm=1或2Dm19若冪函數(shù)f（x）=（m2m1）x1m是偶函數(shù)，則實數(shù)m=（）A1B2C3D1或25、冪函數(shù)的單調性、奇偶性及其應用20已知10，則（）ABCD21若a=0.5，b=0.5，c=0.5，則a，b，c的大小關系為（）AabcBabcCacbDabc22若，則a、b、c的大小關系是（）AabcBcabCbcaDbac23函數(shù)y=在第二象限內單調遞增，則m的最大負整數(shù)是（）A4B3C2D124設a1，若對于任意的xa，2a，都有ya，a2滿足方程logax+logay=3，這時a的取值集合為（）Aa|1a2Ba|a2Ca|2a3D2，325使不等式成立的實數(shù)a的范圍是 6、冪函數(shù)的實際應用26已知函數(shù)f（x）=（mZ）為偶函數(shù)，且f（3）f（5）（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若g（x）=logaf（x）ax（a0且a1）在區(qū)間2，3上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍27已知函數(shù)是冪函數(shù)且在（0，+）上為減函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間0，1上的最大值為2，試求實數(shù)m，a的值28已知冪函數(shù)的圖象關于y軸對稱，且在（0，+）上是減函數(shù)（1）求m的值；（2）求滿足的a的取值范圍29已知冪函數(shù)在區(qū)間（0，+）上是單調增函數(shù)，且為偶函數(shù)（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）設函數(shù)，若g（x）0對任意x1，1恒成立，求實數(shù)q的取值范圍30已知冪函數(shù)（mZ）的圖象關于y軸對稱，且在區(qū)間（0，+）為減函數(shù)（1）求m的值和函數(shù)f（x）的解析式（2）解關于x的不等式f（x+2）f（12x）2017年09月15日dragon的高中數(shù)學冪函數(shù)復習參考答案與試題解析一選擇題（共24小題）1若冪函數(shù)y=f（x）的圖象過點（5，），則為（）ABCD1【解答】解：冪函數(shù)y=f（x）的圖象過點（5，），設 f（x）=x，5=，解得 =1f（x）=x1=f（）=f（）=（）1=，故選C2設2，1，1，2，3，則使冪函數(shù)y=xa為奇函數(shù)且在（0，+）上單調遞減的a個數(shù)為（）A1B2C3D4【解答】解：冪函數(shù)y=x2為偶函數(shù)且在（0，+）上單調遞減；冪函數(shù)y=x1為奇函數(shù)且在（0，+）上單調遞減；冪函數(shù)y=x為奇函數(shù)且在（0，+）上單調遞增；冪函數(shù)y=x為奇函數(shù)且在（0，+）上單調遞增；冪函數(shù)y=x2為偶函數(shù)且在（0，+）上單調遞增；冪函數(shù)y=x3為奇函數(shù)且在（0，+）上單調遞增綜上可得，符合條件的函數(shù)只有一個故選：A3已知函數(shù)f（x）=xk（k為常數(shù)，kQ），在下列函數(shù)圖象中，不是函數(shù)y=f（x）的圖象是（）ABCD【解答】解：函數(shù)f（x）=xk（k為常數(shù)，kQ）為冪函數(shù)，圖象不過第四象限，所以C中函數(shù)圖象，不是函數(shù)y=f（x）的圖象故選：C4已知函數(shù)f（x）=（m2m1）x5m3是冪函數(shù)且是（0，+）上的增函數(shù)，則m的值為（）A2B1C1或2D0【解答】解：因為函數(shù)f（x）=（m2m1）x5m3是冪函數(shù)，所以m2m1=1，即m2m2=0，解得m=2或m=1又因為冪函數(shù)在（0，+），所以5m30，即m，所以m=1故選B5已知點（a，）在冪函數(shù)f（x）=（a26a+10）xb的圖象上，則函數(shù)f（x）是（）A奇函數(shù)B偶函數(shù)C定義域內的減函數(shù)D定義域內的增函數(shù)【解答】解：冪函數(shù)f（x）=（a26a+10）xb的圖象經(jīng)過點（a，），a26a+10=1且ab=，解得a=3，b=1；f（x）=x1在定義域（，0）（0，+）的奇函數(shù)故選：A6冪函數(shù)y=f（x）的圖象過點（4，2），則冪函數(shù)y=f（x）的圖象是（）ABCD【解答】解：設冪函數(shù)的解析式為y=xa，冪函數(shù)y=f（x）的圖象過點（4，2），2=4a，解得a=，其定義域為0，+），且是增函數(shù)，當0x1時，其圖象在直線y=x的上方對照選項故選C7函數(shù)y=的圖象是（）ABCD【解答】解：函數(shù)y=的定義域為0，+）所求圖象在第一象限，可排除A、C，再根據(jù)函數(shù)y=的圖象橫過（4，2），可排除B，故選D8函數(shù)的圖象是（）ABCD【解答】解：因為函數(shù)的定義域是0，+），所以圖象位于y軸右側，排除選項C、D；又函數(shù)在0，+）上單調遞增，所以排除選項B故選A9冪函數(shù)y=xm，y=xn，y=xp的圖象如圖所示，以下結論正確的是（）AmnpBmpnCnpmDpnm【解答】解：在第一象限作出冪函數(shù)y=xm，y=xn，y=xp的圖象在（0，1）內取同一值x0，作直線x=x0，與各圖象有交點則“點低指數(shù)大”，如圖，知0p1，1m0，n1，npm故選：C10函數(shù)f（x）=1的圖象大致是（）ABCD【解答】解：因為0，所以f（x）在0，+）上遞增，排除B；當x=0時，f（0）=1，即f（x）的圖象過點（0，1），排除C、D；故選A11函數(shù)y=x3和圖象滿足（）A關于原點對稱B關于x軸對稱C關于y軸對稱D關于直線y=x對稱【解答】解：由得到x=y3，所以這兩個函數(shù)互為反函數(shù)，根據(jù)反函數(shù)圖象的性質可知函數(shù)y=x3和的圖象關于直線 y=x對稱故選D12已知點在冪函數(shù)f（x）的圖象上，則f（x）是（）A奇函數(shù)B偶函數(shù)C定義域內的減函數(shù)D定義域內的增函數(shù)【解答】解：設冪函數(shù)為f（x）=x，點在冪函數(shù)f（x）的圖象上，f（）=（），即，即=1，f（x）=為奇函數(shù)，故選：A13若0xy1，則（）A3y3xBx0.5y0.5Clogx3logy3Dlog0.5xlog0.5y【解答】解：因為：0xy1，y=3x為增函數(shù)，則3y3x，故A錯誤，因為：0xy1，y=x0.5為增函數(shù)，則x0.5x0.5，故B正確，因為：0xy1則logx3logy3，故C錯誤，因為：0xy1，log0.5x為減函數(shù)，則log0.5xlog0.5y，故D錯誤，故選：D14已知冪函數(shù)y=（a22a2）xa在實數(shù)集R上單調，那么實數(shù)a=（）A一切實數(shù)B3或1C1D3【解答】解：由冪函數(shù)的定義及其單調性可得：a22a2=1，a0，解得a=3a=3故選：D15函數(shù)y=的單調遞增區(qū)間是（）A（，1）B（0，1）C（1，2）D（1，+）【解答】解：設u=x22x，在（，1）上為增函數(shù)，在（1，+）為減函數(shù)，因為函數(shù)y=為減函數(shù)，所以f（x）的單調遞增區(qū)間（1，+，），故選：D16冪函數(shù)f（x）=（m24m+4）x在（0，+）為減函數(shù)，則m的值為（）A1或3B1C3D2【解答】解：為冪函數(shù)m24m+4=1，解得m=3或m=1由當x（0，+）時為減函數(shù)，則m26m+80，解得2m4m=3，故選：C17若四個冪函數(shù)y=xa，y=xb，y=xc，y=xd在同一坐標系中的圖象如圖，則a、b、c、d的大小關系是（）AdcbaBabcdCdcabDabdc【解答】解：冪函數(shù)a=2，b=，c=，d=1的圖象，正好和題目所給的形式相符合，在第一象限內，x=1的右側部分的圖象，圖象由下至上，冪指數(shù)增大，所以abcd故選B18冪函數(shù)y=（m2m1），當x（0，+）時為減函數(shù)，則實數(shù)m的值為（）Am=2Bm=1Cm=1或2Dm【解答】解：y=（m2m1）為冪函數(shù)，m2m1=1，即m2m2=0解得：m=2或m=1當m=2時，m22m3=3，y=x3在（0，+）上為減函數(shù)；當m=1時，m22m3=0，y=x0=1（x0）在（0，+）上為常數(shù)函數(shù)（舍去），使冪函數(shù)y=（m2m1）為（0，+）上的減函數(shù)的實數(shù)m的值為2故選A19若冪函數(shù)f（x）=（m2m1）x1m是偶函數(shù)，則實數(shù)m=（）A1B2C3D1或2【解答】解：冪函數(shù)f（x）=（m2m1）x1m是偶函數(shù)，解得m=1故選：A20已知10，則（）ABCD【解答】解：10，故函數(shù)y=xa在（0，+）上是減函數(shù)，0.2，故，故選：A21若a=0.5，b=0.5，c=0.5，則a，b，c的大小關系為（）AabcBabcCacbDabc【解答】解：構造函數(shù)f（x）=0.5x，因為函數(shù)f（x）=0.5x，為單調遞減函數(shù)且，所以，即，所以abc故選B22若，則a、b、c的大小關系是（）AabcBcabCbcaDbac【解答】解：在第一象限內是增函數(shù)，是減函數(shù)，所以bac故選D23函數(shù)y=在第二象限內單調遞增，則m的最大負整數(shù)是（）A4B3C2D1【解答】解：函數(shù)y=xm1在第二象限內單調遞增，當m=1時，y=x2在第二象限內單調遞增，1是最大的負整數(shù)，m的最大負整數(shù)是1，故選：D24設a1，若對于任意的xa，2a，都有ya，a2滿足方程logax+logay=3，這時a的取值集合為（）Aa|1a2Ba|a2Ca|2a3D2，3【解答】解：由logax+logay=3，可得loga（xy）=3，得，在a，2a上單調遞減，所以，故a2故選B二填空題（共1小題）25使不等式成立的實數(shù)a的范圍是（，1）（，）【解答】解：函數(shù)y=為奇函數(shù)，且在（，0）和（0，+）上均為減函數(shù)故不等式可化為0a+132a或a+1032a或a+132a0不等式無解解得a1解得a故實數(shù)a的范圍是（，1）（，）故答案為：（，1）（，）三解答題（共5小題）26已知函數(shù)f（x）=（mZ）為偶函數(shù)，且f（3）f（5）（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若g（x）=logaf（x）ax（a0且a1）在區(qū)間2，3上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍【解答】解：（1）f（x）為偶函數(shù)，2m2+m+3為偶數(shù)，又f（3）f（5），即有：1，2m2+m+30，1m，又mZ，m=0或m=1當m=0時，2m2+m+3=3為奇數(shù)（舍去），當m=1時，2m2+m+3=2為偶數(shù)，符合題意m=1，f（x）=x2（2）由（1）知：g（x）=logaf（x）ax=loga （x2ax） （a0且a1）在區(qū)間2，3上為增函數(shù)令u（x）=x2ax，y=logau； 當a1時，y=logau為增函數(shù)，只需u（x）=x2ax在區(qū)間2，3上為增函數(shù)即：1a2當0a1時，y=logau為減函數(shù)，只需u（x）=x2ax在區(qū)間2，3上為減函數(shù)即：a，綜上可知：a的取值范圍為：（1，2）27已知函數(shù)是冪函數(shù)且在（0，+）上為減函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間0，1上的最大值為2，試求實數(shù)m，a的值【解答】解：因為函數(shù)是冪函數(shù)且在上為減函數(shù)，所以有解得m=15當，0，1是f（x）的單調遞減區(qū)間，a=60，a=67當，解得a=2（舍）或a=3（舍）9，0，1為f（x）的單調遞增區(qū)間，解得11綜合可知1228已知冪函數(shù)的圖象關于y軸對稱，且在（0，+）上是減函數(shù)（1）求m的值；（2）求滿足的a的取值范圍【解答】解：（1）函數(shù)在（0，+）上遞減，m22m30即1m3，又mN*m=1或2，又函數(shù)圖象關于y軸對稱，m22m3為偶數(shù)，故m