2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章統(tǒng)計(jì)案例3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用講義新人教A版選修2_3.docx

3.2 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)分類變量及22列聯(lián)表1分類變量變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量2列聯(lián)表(1)定義：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表(2)22列聯(lián)表一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為x1，x2和y1，y2，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(也稱為22列聯(lián)表)為下表y1y2總計(jì)x1ababx2cdcd總計(jì)acbdabcd知識(shí)點(diǎn)等高條形圖(1)等高條形圖與表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征(2)觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)和相差很大，就判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系知識(shí)點(diǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)1列聯(lián)表與等高條形圖列聯(lián)表由兩個(gè)分類變量之間頻率大小差異說明這兩個(gè)變量之間是否有關(guān)聯(lián)關(guān)系，而利用等高條形圖能形象直觀地反映它們之間的差異，進(jìn)而推斷它們之間是否具有關(guān)聯(lián)關(guān)系2對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類似于數(shù)學(xué)中的反證法先假設(shè)“兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系”成立，計(jì)算隨機(jī)變量K2的值，如果K2的值很大，說明假設(shè)不合理K2越大，兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性越大1判一判(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)分類變量中的變量與函數(shù)中的變量是同一概念()(2)列聯(lián)表頻率分析法、等高條形圖可初步分析兩分類變量是否有關(guān)系，而獨(dú)立性檢驗(yàn)中K2取值則可通過統(tǒng)計(jì)表從數(shù)據(jù)上說明兩分類變量的相關(guān)性的大小()(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法就是反證法()答案(1)(2)(3)2做一做(1)為了調(diào)查高中生的性別與是否喜歡踢足球之間有無關(guān)系，一般需要收集以下數(shù)據(jù)_(2)若觀測(cè)值k7.8，得到的正確結(jié)論是在犯錯(cuò)誤的概率不超過_的前提下認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)中，假設(shè)H0：變量x與變量y沒有關(guān)系則在H0成立的情況下，估計(jì)概率P(K26.635)0.01表示的意義是變量x與變量y_(填“有關(guān)系”或“無關(guān)系”)的概率是99%.答案(1)男女生中喜歡和不喜歡踢足球的人數(shù)(2)1%(3)有關(guān)系解析(1)為了調(diào)查高中生的性別與是否喜歡踢足球之間有無關(guān)系，一般需要收集男女生中喜歡和不喜歡踢足球的人數(shù)，再得出22列聯(lián)表，最后代入隨機(jī)變量的觀測(cè)值公式，得出結(jié)果(2)因?yàn)?.86.635，所以這個(gè)結(jié)論有0.011%的機(jī)會(huì)說錯(cuò)，在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”(3)因?yàn)楦怕蔖(K26.635)0.01，所以兩個(gè)變量有關(guān)系的可信度是10.0199%，即兩個(gè)變量有關(guān)系的概率是99%.探究獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想例1在吸煙與患肺病這兩個(gè)分類變量中，下列說法正確的是()A若K2的觀測(cè)值k6.635，我們有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在100個(gè)吸煙的人中必有99個(gè)人患有肺病B從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺病C若從統(tǒng)計(jì)量中求出有95%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有5%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤D以上三種說法都不正確解析獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)果是一種相關(guān)關(guān)系，不是確定性關(guān)系，反映的是有關(guān)或無關(guān)的概率的大小，故A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤，C正確答案選C.答案C拓展提升本例考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，相關(guān)性檢驗(yàn)的結(jié)果是一種相關(guān)關(guān)系，而不是確定性關(guān)系，是反映有關(guān)和無關(guān)的概率本題考查學(xué)生對(duì)基本知識(shí)的理解給出下列實(shí)際問題，其中不可以用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決的是 ()A喜歡參加體育鍛煉與性別是否有關(guān)B喝酒者得胃病的概率C喜歡喝酒與性別是否有關(guān)D青少年犯罪與上網(wǎng)成癮是否有關(guān)答案B解析獨(dú)立性檢驗(yàn)主要是對(duì)兩個(gè)分類變量是否有關(guān)進(jìn)行檢驗(yàn)，故不可用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決的問題是B.故選B.通過隨機(jī)詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛好4020 60不愛好2030 50總計(jì)6050110由K2算得，K27.8.附表：P(K2k0)0.0500.010 0.001k03.8416.63510.828參照附表，得到的正確結(jié)論是()A在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”C有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”答案C解析根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義，由k27.86.635可知在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”，即有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”故選C.探究用等高條形圖判斷兩個(gè)變量是否相關(guān)例2為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表：藥物效果試驗(yàn)列聯(lián)表患病未患病總計(jì)服用藥104555未服用藥203050總計(jì)3075105試用等高條形圖分析服用藥和患病之間是否有關(guān)系解根據(jù)列聯(lián)表所給的數(shù)據(jù)可得出服用藥患病的頻率為0.18，未服用藥患病的頻率為0.4，兩者的差距是|0.180.4|0.22，兩者相差很大，作出等高條形圖如圖所示，因此服用藥與患病之間有關(guān)系的程度很大拓展提升應(yīng)用等高條形圖判斷兩變量是否相關(guān)的方法在等高條形圖中，可以估計(jì)滿足條件Xx1的個(gè)體中具有Yy1的個(gè)體所占的比例，也可以估計(jì)滿足條件Xx2的個(gè)體中具有Yy1的個(gè)體所占的比例.“兩個(gè)比例的值相差越大，H1成立的可能性就越大”某學(xué)校對(duì)高三學(xué)生作了一項(xiàng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：在平時(shí)的模擬考試中，性格內(nèi)向的學(xué)生426人中有332人在考前心情緊張，性格外向的學(xué)生594人中有213人在考前心情緊張，作出等高條形圖，利用圖形判斷考前心情緊張與性格類型是否有關(guān)系解作列聯(lián)表如下：性格內(nèi)向性格外向總計(jì)考前心情緊張332213545考前心情不緊張94381475總計(jì)4265941020相應(yīng)的等高條形圖如圖所示：圖中陰影部分表示考前心情緊張與考前心情不緊張中性格內(nèi)向的人數(shù)的比例，從圖中可以看出考前心情緊張的樣本中性格內(nèi)向的人數(shù)占的比例比考前心情不緊張樣本中性格內(nèi)向的人數(shù)占的比例高，可以認(rèn)為考前緊張與性格類型有關(guān)探究由K2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)例3某校對(duì)學(xué)生課外活動(dòng)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果整理成下表：體育文娛合計(jì)男生212344女生62935合計(jì)275279試用你所學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行分析，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為“喜歡體育還是文娛與性別有關(guān)系”？解其等高條形圖如圖所示由圖可以直觀地看出喜歡體育還是喜歡文娛與性別在某種程度上有關(guān)系，但只能作粗略判斷，具體判斷方法如下：假設(shè)“喜歡體育還是喜歡文娛與性別沒有關(guān)系”，a21，b23，c6，d29，n79.K28.106.且P(K27.879)0.005，即我們得到的K2的觀測(cè)值k8.106，超過7.879，這就意味著：“喜歡體育還是文娛與性別沒有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可能性小于0.005，即在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為“喜歡體育還是喜歡文娛與性別有關(guān)”拓展提升獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體做法(1)根據(jù)實(shí)際問題的需要確定允許推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率的上界，然后查表確定臨界值k0.(2)利用公式K2計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k.(3)如果kk0，推斷“X與Y有關(guān)系”這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠的證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”某地區(qū)甲校高二年級(jí)有1100人，乙校高二年級(jí)有900人，為了統(tǒng)計(jì)兩個(gè)學(xué)校高二年級(jí)在學(xué)業(yè)水平考試中的數(shù)學(xué)學(xué)科成績(jī)，采用分層抽樣的方法在兩校共抽取了200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，如下表：(已知本次測(cè)試合格線是50分，兩校合格率均為100%)甲校高二年級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)：分組50,60)60,70)70,80)80,90)90,100頻數(shù)10253530x乙校高二年級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)：分組50,60)60,70)70,80)80,90)90,100頻數(shù)153025y5(1)計(jì)算x，y的值，并分別估計(jì)以上兩所學(xué)校數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分(精確到1分)；(2)若數(shù)學(xué)成績(jī)不低于80分為優(yōu)秀，低于80分為非優(yōu)秀，根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面22列聯(lián)表，并回答能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“兩個(gè)學(xué)校的數(shù)學(xué)成績(jī)有差異？”甲校乙?？傆?jì)優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)解(1)依題意知甲校應(yīng)抽取110人，乙校應(yīng)抽取90人，x10，y15，估計(jì)兩個(gè)學(xué)校的平均分，甲校的平均分為75.乙校的平均分為71.(2)數(shù)學(xué)成績(jī)不低于80分為優(yōu)秀，低于80分為非優(yōu)秀，得到列聯(lián)表甲校乙?？傆?jì)優(yōu)秀402060非優(yōu)秀7070140總計(jì)11090200k4.174，又因?yàn)?.1743.841，故能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“兩個(gè)學(xué)校的數(shù)學(xué)成績(jī)有差異”1.獨(dú)立性檢驗(yàn)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一種方法，是數(shù)學(xué)中的一種基本理論，是數(shù)學(xué)體系中對(duì)數(shù)據(jù)關(guān)系進(jìn)行探索的一種基本思想判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)可以通過等高條形圖進(jìn)行粗略判斷，也可以通過獨(dú)立性檢驗(yàn)來考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，利用公式K2計(jì)算出隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k，通過查表確定臨界值k0.若kk0說明X與Y有關(guān)系，否則是沒有關(guān)系.2.解決一般的獨(dú)立性檢驗(yàn)問題的步驟(1)通過列聯(lián)表確定a，b，c，d，n的值，根據(jù)實(shí)際問題需要的可信程度確定臨界值k0；(2)利用K2求出K2的觀測(cè)值k；(3)如果kk0，就推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過，否則就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下不能推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”.其中第(2)步易算錯(cuò)K2的值，是本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn).1在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，假設(shè)H0：變量x與變量y沒有關(guān)系，則在H0成立的情況下，P(K26.635)0.01表示 ()A變量x與變量y有關(guān)系的概率是1%B變量x與變量y有關(guān)系的概率是99%C變量x與變量y沒有關(guān)系的概率是0.1%D變量x與變量y沒有關(guān)系的概率是99.9%答案B解析因?yàn)镻(K26.635)0.01，所以兩個(gè)變量有關(guān)系的可信度是99%，即兩個(gè)變量有關(guān)系的概率是99%.故選B.2某工廠為了調(diào)查工人文化程度與月收入的關(guān)系，隨機(jī)抽取了部分工人，得到如下列聯(lián)表：文化程度與月收入列聯(lián)表(單位：人)由上表中數(shù)據(jù)計(jì)算得K2的觀測(cè)值k6.109，請(qǐng)估計(jì)有多大把握認(rèn)為“文化程度與月收入有關(guān)系”()A1%B99%C2.5%D97.5%答案D解析由于6.1095.024，故在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下，即有97.5%的把握認(rèn)為“文化程度與月收入有關(guān)系”3如圖是某地區(qū)男女中學(xué)生是否喜歡理科的等高條形圖，從圖中可以看出 ()A是否喜歡理科與性別無關(guān)B女生中喜歡理科的百分比約為80%C男生比女生喜歡理科的可能性大D男生中不喜歡理科的百分比約為60%答案C解析由等高條形圖，可知女生中喜歡理科的百分比約為10.80.220%，男生中喜歡理科的百分比約為10.40.660%，因此男生比女生喜歡理科的可能性大故選C.4為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對(duì)該班50名學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到了如下的22列聯(lián)表：喜愛打籃球不喜愛打籃球總計(jì)男生20525女生101525總計(jì)302050則在犯錯(cuò)誤的概率不超過_的前提下認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)(請(qǐng)用百分?jǐn)?shù)表示)答案0.5%解析K28.3337.879，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)5吃零食是在中學(xué)生中普遍存在的現(xiàn)象，吃零