2019_2020學年高中數(shù)學第三章統(tǒng)計案例3.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應用講義新人教A版選修2_3.docx

3.2 獨立性檢驗的基本思想及其初步應用知識點分類變量及22列聯(lián)表1分類變量變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量2列聯(lián)表(1)定義：列出的兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表(2)22列聯(lián)表一般地，假設有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為x1，x2和y1，y2，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(也稱為22列聯(lián)表)為下表y1y2總計x1ababx2cdcd總計acbdabcd知識點等高條形圖(1)等高條形圖與表格相比，更能直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據的頻率特征(2)觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)和相差很大，就判斷兩個分類變量之間有關系知識點獨立性檢驗1列聯(lián)表與等高條形圖列聯(lián)表由兩個分類變量之間頻率大小差異說明這兩個變量之間是否有關聯(lián)關系，而利用等高條形圖能形象直觀地反映它們之間的差異，進而推斷它們之間是否具有關聯(lián)關系2對獨立性檢驗思想的理解獨立性檢驗的基本思想類似于數(shù)學中的反證法先假設“兩個分類變量沒有關系”成立，計算隨機變量K2的值，如果K2的值很大，說明假設不合理K2越大，兩個分類變量有關系的可能性越大1判一判(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)分類變量中的變量與函數(shù)中的變量是同一概念()(2)列聯(lián)表頻率分析法、等高條形圖可初步分析兩分類變量是否有關系，而獨立性檢驗中K2取值則可通過統(tǒng)計表從數(shù)據上說明兩分類變量的相關性的大小()(3)獨立性檢驗的方法就是反證法()答案(1)(2)(3)2做一做(1)為了調查高中生的性別與是否喜歡踢足球之間有無關系，一般需要收集以下數(shù)據_(2)若觀測值k7.8，得到的正確結論是在犯錯誤的概率不超過_的前提下認為“愛好該項運動與性別有關”(3)獨立性檢驗中，假設H0：變量x與變量y沒有關系則在H0成立的情況下，估計概率P(K26.635)0.01表示的意義是變量x與變量y_(填“有關系”或“無關系”)的概率是99%.答案(1)男女生中喜歡和不喜歡踢足球的人數(shù)(2)1%(3)有關系解析(1)為了調查高中生的性別與是否喜歡踢足球之間有無關系，一般需要收集男女生中喜歡和不喜歡踢足球的人數(shù)，再得出22列聯(lián)表，最后代入隨機變量的觀測值公式，得出結果(2)因為7.86.635，所以這個結論有0.011%的機會說錯，在犯錯誤的概率不超過1%的前提下認為“愛好該項運動與性別有關”(3)因為概率P(K26.635)0.01，所以兩個變量有關系的可信度是10.0199%，即兩個變量有關系的概率是99%.探究獨立性檢驗的基本思想例1在吸煙與患肺病這兩個分類變量中，下列說法正確的是()A若K2的觀測值k6.635，我們有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系，那么在100個吸煙的人中必有99個人患有肺病B從獨立性檢驗可知有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系時，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺病C若從統(tǒng)計量中求出有95%的把握認為吸煙與患肺病有關系，是指有5%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯誤D以上三種說法都不正確解析獨立性檢驗的結果是一種相關關系，不是確定性關系，反映的是有關或無關的概率的大小，故A錯誤，B錯誤，C正確答案選C.答案C拓展提升本例考查獨立性檢驗的基本思想，相關性檢驗的結果是一種相關關系，而不是確定性關系，是反映有關和無關的概率本題考查學生對基本知識的理解給出下列實際問題，其中不可以用獨立性檢驗解決的是 ()A喜歡參加體育鍛煉與性別是否有關B喝酒者得胃病的概率C喜歡喝酒與性別是否有關D青少年犯罪與上網成癮是否有關答案B解析獨立性檢驗主要是對兩個分類變量是否有關進行檢驗，故不可用獨立性檢驗解決的問題是B.故選B.通過隨機詢問110名性別不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表：男女總計愛好4020 60不愛好2030 50總計6050110由K2算得，K27.8.附表：P(K2k0)0.0500.010 0.001k03.8416.63510.828參照附表，得到的正確結論是()A在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”B在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”C有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”D有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”答案C解析根據獨立性檢驗的定義，由k27.86.635可知在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”，即有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”故選C.探究用等高條形圖判斷兩個變量是否相關例2為考察某種藥物預防疾病的效果進行動物試驗，得到如下列聯(lián)表：藥物效果試驗列聯(lián)表患病未患病總計服用藥104555未服用藥203050總計3075105試用等高條形圖分析服用藥和患病之間是否有關系解根據列聯(lián)表所給的數(shù)據可得出服用藥患病的頻率為0.18，未服用藥患病的頻率為0.4，兩者的差距是|0.180.4|0.22，兩者相差很大，作出等高條形圖如圖所示，因此服用藥與患病之間有關系的程度很大拓展提升應用等高條形圖判斷兩變量是否相關的方法在等高條形圖中，可以估計滿足條件Xx1的個體中具有Yy1的個體所占的比例，也可以估計滿足條件Xx2的個體中具有Yy1的個體所占的比例.“兩個比例的值相差越大，H1成立的可能性就越大”某學校對高三學生作了一項調查發(fā)現(xiàn)：在平時的模擬考試中，性格內向的學生426人中有332人在考前心情緊張，性格外向的學生594人中有213人在考前心情緊張，作出等高條形圖，利用圖形判斷考前心情緊張與性格類型是否有關系解作列聯(lián)表如下：性格內向性格外向總計考前心情緊張332213545考前心情不緊張94381475總計4265941020相應的等高條形圖如圖所示：圖中陰影部分表示考前心情緊張與考前心情不緊張中性格內向的人數(shù)的比例，從圖中可以看出考前心情緊張的樣本中性格內向的人數(shù)占的比例比考前心情不緊張樣本中性格內向的人數(shù)占的比例高，可以認為考前緊張與性格類型有關探究由K2進行獨立性檢驗例3某校對學生課外活動進行調查，結果整理成下表：體育文娛合計男生212344女生62935合計275279試用你所學過的知識進行分析，能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認為“喜歡體育還是文娛與性別有關系”？解其等高條形圖如圖所示由圖可以直觀地看出喜歡體育還是喜歡文娛與性別在某種程度上有關系，但只能作粗略判斷，具體判斷方法如下：假設“喜歡體育還是喜歡文娛與性別沒有關系”，a21，b23，c6，d29，n79.K28.106.且P(K27.879)0.005，即我們得到的K2的觀測值k8.106，超過7.879，這就意味著：“喜歡體育還是文娛與性別沒有關系”這一結論成立的可能性小于0.005，即在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為“喜歡體育還是喜歡文娛與性別有關”拓展提升獨立性檢驗的具體做法(1)根據實際問題的需要確定允許推斷“兩個分類變量有關系”犯錯誤的概率的上界，然后查表確定臨界值k0.(2)利用公式K2計算隨機變量K2的觀測值k.(3)如果kk0，推斷“X與Y有關系”這種推斷犯錯誤的概率不超過；否則，就認為在犯錯誤的概率不超過的前提下不能推斷“X與Y有關系”，或者在樣本數(shù)據中沒有發(fā)現(xiàn)足夠的證據支持結論“X與Y有關系”某地區(qū)甲校高二年級有1100人，乙校高二年級有900人，為了統(tǒng)計兩個學校高二年級在學業(yè)水平考試中的數(shù)學學科成績，采用分層抽樣的方法在兩校共抽取了200名學生的數(shù)學成績，如下表：(已知本次測試合格線是50分，兩校合格率均為100%)甲校高二年級數(shù)學成績：分組50,60)60,70)70,80)80,90)90,100頻數(shù)10253530x乙校高二年級數(shù)學成績：分組50,60)60,70)70,80)80,90)90,100頻數(shù)153025y5(1)計算x，y的值，并分別估計以上兩所學校數(shù)學成績的平均分(精確到1分)；(2)若數(shù)學成績不低于80分為優(yōu)秀，低于80分為非優(yōu)秀，根據以上統(tǒng)計數(shù)據填寫下面22列聯(lián)表，并回答能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“兩個學校的數(shù)學成績有差異？”甲校乙?？傆媰?yōu)秀非優(yōu)秀總計解(1)依題意知甲校應抽取110人，乙校應抽取90人，x10，y15，估計兩個學校的平均分，甲校的平均分為75.乙校的平均分為71.(2)數(shù)學成績不低于80分為優(yōu)秀，低于80分為非優(yōu)秀，得到列聯(lián)表甲校乙?？傆媰?yōu)秀402060非優(yōu)秀7070140總計11090200k4.174，又因為4.1743.841，故能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“兩個學校的數(shù)學成績有差異”1.獨立性檢驗是數(shù)理統(tǒng)計的一種方法，是數(shù)學中的一種基本理論，是數(shù)學體系中對數(shù)據關系進行探索的一種基本思想判斷兩個分類變量是否相關可以通過等高條形圖進行粗略判斷，也可以通過獨立性檢驗來考察兩個分類變量是否有關系，利用公式K2計算出隨機變量K2的觀測值k，通過查表確定臨界值k0.若kk0說明X與Y有關系，否則是沒有關系.2.解決一般的獨立性檢驗問題的步驟(1)通過列聯(lián)表確定a，b，c，d，n的值，根據實際問題需要的可信程度確定臨界值k0；(2)利用K2求出K2的觀測值k；(3)如果kk0，就推斷“兩個分類變量有關系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過，否則就認為在犯錯誤的概率不超過的前提下不能推斷“兩個分類變量有關系”.其中第(2)步易算錯K2的值，是本節(jié)課的易錯點.1在獨立性檢驗中，假設H0：變量x與變量y沒有關系，則在H0成立的情況下，P(K26.635)0.01表示 ()A變量x與變量y有關系的概率是1%B變量x與變量y有關系的概率是99%C變量x與變量y沒有關系的概率是0.1%D變量x與變量y沒有關系的概率是99.9%答案B解析因為P(K26.635)0.01，所以兩個變量有關系的可信度是99%，即兩個變量有關系的概率是99%.故選B.2某工廠為了調查工人文化程度與月收入的關系，隨機抽取了部分工人，得到如下列聯(lián)表：文化程度與月收入列聯(lián)表(單位：人)由上表中數(shù)據計算得K2的觀測值k6.109，請估計有多大把握認為“文化程度與月收入有關系”()A1%B99%C2.5%D97.5%答案D解析由于6.1095.024，故在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下，即有97.5%的把握認為“文化程度與月收入有關系”3如圖是某地區(qū)男女中學生是否喜歡理科的等高條形圖，從圖中可以看出 ()A是否喜歡理科與性別無關B女生中喜歡理科的百分比約為80%C男生比女生喜歡理科的可能性大D男生中不喜歡理科的百分比約為60%答案C解析由等高條形圖，可知女生中喜歡理科的百分比約為10.80.220%，男生中喜歡理科的百分比約為10.40.660%，因此男生比女生喜歡理科的可能性大故選C.4為了解某班學生喜愛打籃球是否與性別有關，對該班50名學生進行了問卷調查，得到了如下的22列聯(lián)表：喜愛打籃球不喜愛打籃球總計男生20525女生101525總計302050則在犯錯誤的概率不超過_的前提下認為喜愛打籃球與性別有關(請用百分數(shù)表示)答案0.5%解析K28.3337.879，所以在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為喜愛打籃球與性別有關5吃零食是在中學生中普遍存在的現(xiàn)象，吃零