高中數(shù)學(xué)必修5常考題型：等差數(shù)列

精品文檔等差數(shù)列【知識(shí)梳理】1等差數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示2等差中項(xiàng)如果三個(gè)數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)這三個(gè)數(shù)滿足的關(guān)系式是A.3等差數(shù)列的通項(xiàng)公式已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d遞推公式通項(xiàng)公式anan1d(n2)ana1(n1)d(nN*)【常考題型】題型一、等差數(shù)列的判定與證明【例1】判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列(1)在數(shù)列an中an3n2；(2)在數(shù)列an中ann2n.解(1)an1an3(n1)2(3n2)3(nN*)由n的任意性知，這個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列(2)an1an(n1)2(n1)(n2n)2n2，不是常數(shù)，所以這個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列【類題通法】定義法是判定(或證明)數(shù)列an是等差數(shù)列的基本方法，其步驟為：(1)作差an1an；(2)對(duì)差式進(jìn)行變形；(3)當(dāng)an1an是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)時(shí)，數(shù)列an是等差數(shù)列；當(dāng)an1an不是常數(shù)，是與n有關(guān)的代數(shù)式時(shí)，數(shù)列an不是等差數(shù)列【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，數(shù)列bn中，bn3an4，問：數(shù)列bn是否為等差數(shù)列？并說明理由解：數(shù)列bn是等差數(shù)列理由：數(shù)列an是首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列，an1and(nN*)bn1bn(3an14)(3an4)3(an1an)3d.根據(jù)等差數(shù)列的定義，數(shù)列bn是等差數(shù)列.題型二、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式【例2】(1)在等差數(shù)列an中，已知a510，a1231，求通項(xiàng)公式an.(2)已知數(shù)列an為等差數(shù)列a3，a7，求a15的值解(1)a510，a1231，則an2(n1)33n5通項(xiàng)公式an3n5.(nN*)(2)法一：由得解得a1，d.a15a1(151)d14().法二：由a7a3(73)d，即4d，解得d.a15a3(153)d12().【類題通法】1應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求a1和d，運(yùn)用了方程的思想一般地，可由ama，anb，得求出a1和d，從而確定通項(xiàng)公式2若已知等差數(shù)列中的任意兩項(xiàng)am，an，求通項(xiàng)公式或其他項(xiàng)時(shí)，則運(yùn)用aman(mn)d則較為簡捷【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】2(1)求等差數(shù)列8,5,2，的第20項(xiàng)；(2)401是不是等差數(shù)列5，9，13，的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？解：(1)由a18，d583，n20，得a208(201)(3)49.(2)由a15，d9(5)4，得這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an54(n1)4n1，由題意知，4014n1.得n100，即401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)題型三、等差中項(xiàng)【例3】已知等差數(shù)列an，滿足a2a3a418，a2a3a466.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解在等差數(shù)列an中， a2a3a418，3a318，a36.解得或當(dāng)時(shí)，a116，d5.ana1(n1)d16(n1)(5)5n21.當(dāng)時(shí)，a14，d5.ana1(n1)d4(n1)55n9.【類題通法】三數(shù)a，b，c成等差數(shù)列的條件是b(或2bac)，可用來進(jìn)行等差數(shù)列的判定或有關(guān)等差中項(xiàng)的計(jì)算問題如若證an為等差數(shù)列，可證2an1anan2(nN*)【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】3(1)已知數(shù)列8，a,2，b，c是等差數(shù)列，則a，b，c的值分別為_，_，_.(2)已知數(shù)列an滿足an1an12an(n2)，且a25，a513，則a8_. 解析：(1)因?yàn)?，a,2，b，c是等差數(shù)列，所以(2)由an1an1 2an (n2)知，數(shù)列an是等差數(shù)列，a2，a5，a8成等差數(shù)列a2a82a5，a82a5a2213521.答案：(1)514(2)21【練習(xí)反饋】1已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a12，公差d3，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為()Aan3n1Ban2n1Can2n3 Dan3n2解析：選Aana1(n1)d2(n1)33n1.2等差數(shù)列的前3項(xiàng)依次是x1，x1,2x3，則其通項(xiàng)公式為()Aan2n5 B.an2n3Can2n1 Dan2n1解析：選Bx1，x1,2x3是等差數(shù)列的前3項(xiàng)，2(x1)x12x3，解得x0.a1x11，a21，a33，d2，an12(n1)2n3.3等差數(shù)列的第3項(xiàng)是7，第11項(xiàng)是1，則它的第7項(xiàng)是_解析：設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，由a37，a111得，a12d7，a110d1，所以a19，d1，則a73.答案：34已知：1，x，y,10構(gòu)成等差數(shù)列，則x，y的值分別為_解析：由已知，x是1和y的等差中項(xiàng)，即2x1y，y是x和10的等差中項(xiàng)，即2yx10 ，由，可解得x4，y