插值與擬合.doc

實驗2 插 值 與 擬 合實驗內(nèi)容：1. 三種插值方法 2用Matlab 計算插值 3擬合的基本原理 4用Matlab 擬合曲線實驗?zāi)康模?掌握插值與擬合方法一、 概念的引入1. 插值與擬合在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用l 機械制造：汽車外觀設(shè)計l 采樣數(shù)據(jù)的重新建構(gòu)：電腦游戲中場景的顯示，地質(zhì)勘探，醫(yī)學(xué)領(lǐng)域（CT）2. 概念的定義l 插值： 基于a,b區(qū)間上的n個互異點，給定函數(shù)f(x)，尋找某個函數(shù)去逼近f(x)。若要求(x)在xi處與f(xi)相等，這類的函數(shù)逼近問題稱為插值問題，xi即是插值點l 逼近： 當(dāng)取值點過多時，構(gòu)造通過所有點的難度非常大。此時選擇一個次數(shù)較低的函數(shù)最佳逼近這些點，一般采用最小二乘法l 光顧： 曲線的拐點不能太多，條件：二階幾何連續(xù)不存在多余拐點曲率變化較小l 擬合：曲線設(shè)計過程中用插值或通過逼近方法是生成的曲線光滑(切變量連續(xù))光顧二、 插值理論設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，在a,b上有互異點x0,x1,xn處取值y0,y1,yn 。如果函數(shù)(x)在點xi上滿足(xi)=yi (i=0,1,2,n)，則稱(x)是函數(shù)y=f(x)的插值函數(shù)，x0,x1,xn是插值節(jié)點。若此時(x)是代數(shù)多項式P(x)，則稱P(x)為插值多項式。顯然 f(x)(x)，xa,b1. 拉格朗日插值構(gòu)造n次多項式Pn (x)= yk lk (x)=y0l0 (x)+y1l1 (x)+ynln (x)，這是不超過n次的多項式，其中基函數(shù)lk(x)=顯然lk (x)滿足lk (xi)=此時 Pn(x)f(x),誤差Rn(x)=f(x)-Pn(x)= 其中(a,b)且依賴于x，=（x-x0）(x-x1)(x-xn)很顯然，當(dāng)n=1、插值節(jié)點只有兩個xk,xk+1時 P1(x)=yklk(x)+yk+1lk+1(x)其中基函數(shù)lk(x)= lk+1(x)= 2. 牛頓插值構(gòu)造n次多項式Nn(x)=f(x0)+f(x0,x1)(x-x0)+f(x0,x1,x2)(x-x0)(x-x1)+f(x0,x1,x2,xn)(x-x0)(x-x1)(x-xn)稱為牛頓插值多項式，其中 (二個節(jié)點，一階差商) (三個節(jié)點，二階差商) (n+1個節(jié)點，n階差商)注意：由于插值多項式的唯一性，有時為了避免拉格朗日余項Rn(x)中n+1階導(dǎo)數(shù)的運算，用牛頓插值公式Rn (x)=f(x)-Nn(x)=f(x,x0,xn)n+1(x),其中n+1(x)=(x-x0)(x-x1)(x-xn)3. 分段插值-子區(qū)間內(nèi)，避免函數(shù)在某些區(qū)間失真1） 線性插值已知n+1個不同節(jié)點x0,x1,xn ,構(gòu)造分段一次線性多項式P(x)，使之滿足l P(x)在a,b上連續(xù)l P(xk)=ykl P(x)在xi,xi+1上是線性函數(shù)，P(x)=2） 兩點帶導(dǎo)數(shù)插值-避免尖點、一階連續(xù)區(qū)間a,b上兩個互異節(jié)點xi,xi+1，已知實數(shù)y i,y i+1,m i,m i+1，為了構(gòu)造次數(shù)不大于3的多項式滿足條件 引入,使之滿足 可以求出此時=+，其中4. 三次樣條插值-二階可導(dǎo)對于給定n+1個不同節(jié)點x0,x1,xn及函數(shù)值y0,y1,yn，其中a=x0x1n。由于該超定方程個數(shù)多于未知數(shù)個數(shù)，當(dāng)增廣矩陣的秩大于系數(shù)矩陣的秩時無解?，F(xiàn)在求其最小二乘解，它就是使余向量rx=b-Ax的譜范數(shù)rx2=(rxTrx)1/2 最小的n維向量。具體解法可以通過求解該方程組的法方程組ATAx=ATb獲得。2. Matlab的實現(xiàn)1)線性擬合及多項式擬合ployfit(x,y,i)以最高次為i的多項式擬合數(shù)據(jù)點(x,y)例1 x=0 1 2 3 4 5;y=0 21 62 70 77 110;coef=polyfit(x,y,1);a1=coef(1),a0=coef(2);ybest=a1*x+a0;s=sum(y-ybest).2);axis(-1,6,-20,120);plot(x,y, *)hold onplot(x,ybest)例2如下給出從二階到十階多項式擬合曲線的比較程序，并給出擬合曲線x=0 1 2 3 4 5;y=0 21 62 70 77 110;xi=0:0.2:5;for n=2:10bb=polyfit(x,y,n);yi=polyval(bb,xi);plot(xi,yi,x,y, * )title(int2str(n), 次多項式擬合曲線)grid onpauseend例3在某個實驗中得到如下一組數(shù)據(jù)：x1234567y0.31010.49000.64000.80000.92001.05001.2000已知x,y滿足y=kxn，求參數(shù)k與n。 提示: y=kxnlny=lnk+nlnx LOG(x) EXP(x)* 可線性化的非線性模型模型形式變換后形式變量和參數(shù)的變化YXa1a22) 超定方程的解法例：用最小二乘法求一個形如y=a+bx2的經(jīng)驗公式，是其擬合下表數(shù)據(jù)：xi1925313844yi19.032.349.073.397.8x=19 25 31 38 44;y=19.0 32.3 49.0 73.3 97.8;x1=