函數(shù)的單調(diào)性.docx

函數(shù)的單調(diào)性一、 函數(shù)單調(diào)性的的判斷方法除了用差分法（又稱定義法）判斷函數(shù)的單調(diào)性外，常用的方法還是有以下幾種：1.直接法直接法就是利用我們熟知的正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性，直接判斷函數(shù)的單調(diào)性，并寫出它們的單調(diào)區(qū)間，熟記以下幾種函數(shù)的單調(diào)性：(1)正比例函數(shù)：當時，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)；當時，函數(shù)在定義域上是減函數(shù).(2)反比例函數(shù)：當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，不存在單調(diào)遞增區(qū)間；當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，不存在單調(diào)遞增區(qū)間.(3)一次函數(shù)：當時，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)；當時，函數(shù)在定義域上是減函數(shù).（4）二次函數(shù)：當時，函數(shù)的圖像開口向上，單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；當時，函數(shù)的圖像開口向下，單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.注意：在定義域上是增函數(shù)，其圖像如右圖：2.圖像法畫出函數(shù)圖象，根據(jù)其圖像的上升或下降趨勢判斷函數(shù)的單調(diào)性.3.運算性質(zhì)法（1）函數(shù)，當時有相同的單調(diào)性，當時有相反的單調(diào)性；如函數(shù)與的單調(diào)性相反，函數(shù)與的單調(diào)性相同；（2）當函數(shù)恒為正（或恒為負）時與有相反的單調(diào)性，如：函數(shù)是遞增函數(shù)，則在區(qū)間是遞減函數(shù)；（3）若，則與具有相同的單調(diào)性，如：函數(shù)，在定義域上，且是上的遞減函數(shù)，是上的遞增函數(shù)，所以函數(shù)是上的遞減函數(shù)，是上的遞增函數(shù)；（4）若，的單調(diào)性相同，則的單調(diào)性與，的單調(diào)性相同.如，令，即，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，的單調(diào)遞減區(qū)間是，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；(5) 若，的單調(diào)性相反，則的單調(diào)性與的相同.因為與的單調(diào)性相同，所以的單調(diào)性與的相同.二、抽象函數(shù)單調(diào)性的判定沒有具體函數(shù)解析式的函數(shù)，我們稱為抽象函數(shù)，判斷抽象函數(shù)單調(diào)性是一類重要的題型，其解法采用差分法.實例1 已知定義在上的函數(shù)對任意，恒有，且當時，判斷在上的單調(diào)性.解 設(shè)，則.，所以函數(shù)在上的單調(diào)遞減.二、 復合函數(shù)單調(diào)性的判定方法求復合函數(shù)的單調(diào)性的步驟：（1） 求出函數(shù)的定義域；（2） 明確構(gòu)成復合函數(shù)的簡單函數(shù)（所謂簡單函數(shù)即我們熟知其單調(diào)性的函數(shù)）:;（3） 確定簡單函數(shù)的單調(diào)性；（4） 若這兩個函數(shù)同增或同減（單調(diào)性相同），則為增函數(shù)；若這兩個函數(shù)一增一減（單調(diào)性相異）則為減函數(shù)簡記為“同增異減”.如下表所示：函數(shù)復合函數(shù) 單調(diào)性增增增減增減增減減減減增實例2 求函數(shù)在定義域上的單調(diào)區(qū)間解：由解析式得，即函數(shù)的定義域為.令，則.是增函數(shù)，而在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.三、 單調(diào)性的應(yīng)用1. 用函數(shù)的單調(diào)性比較大小利用函數(shù)的單調(diào)性及自變量的大小可以比較兩個函數(shù)值的大小，即已知函數(shù)在定義域的某個區(qū)間上為增函數(shù)，若對區(qū)間內(nèi)的任意兩個值且，則.減函數(shù)也有類似的性質(zhì).示例3 已知函數(shù)在上是減函數(shù)，試比較與的大小.解：，與都在區(qū)間內(nèi).又在區(qū)間上是減函數(shù)，注意：解答這類型的題目首先要判斷函數(shù)的自變量是否在所給區(qū)間內(nèi).示例4 已知是定義在上的增函數(shù)，且，求的取值范圍.解 是定義在上的增函數(shù)，且，可得不等式組即解得，所以所求.2. 用函數(shù)的單調(diào)性求最值在利用單調(diào)性求最值或值域時要注意以下結(jié)論：（1） 若在定義域是增函數(shù)，則當時，取得最小值當，取得最大值如圖2.（2） 若在定義域是減函數(shù)，則當時，取得最大值，當，取得最小值如圖3.（3）已知函數(shù)，如果在上是單調(diào)遞增（減）函數(shù)，在上是單調(diào)遞減（增）函數(shù)，則在時取得最大（?。┲担诨驎r取得最?。ù螅┲?，如下圖4,5.示例5 求函數(shù)的最大值.解：令，則.由題意得函數(shù)的定義域為.在上遞增，在上遞減，但在上遞增，在上為遞增函數(shù)，當時，有最大值4.注意：研究函數(shù)最值時，先求定義域，再判斷其單調(diào)性.3.利用單調(diào)性求參數(shù)的取值舉例應(yīng)用：課本40頁例34.解含“”的不等式根據(jù)函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性及函數(shù)值的大小，可以求自變量的取值范圍即已知函數(shù)在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上為增函數(shù)，若則；若已知函數(shù)在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上為減函數(shù)，若則，就是增（減）函數(shù)定義的逆應(yīng)用.示例6 已知函數(shù)是上的減函數(shù)，且，求實數(shù)的取值范圍.解：函數(shù)是上的減函數(shù)，且，.函數(shù)的定義域和值域一、復合函數(shù)的定義域復合函數(shù)的定義域，是函數(shù)的定義域中，使中間變量屬于函數(shù)的定義域全體.示例1 若函數(shù)的定義域為，求函數(shù)的定義域.解：函數(shù)的定義域為，使得有意義的條件是,即，則的定義域為.注意：這類型的題目簡記為“對應(yīng)法則相同，括號內(nèi)的取值范圍相同”.示例2 已知的定義域為，求函數(shù)的定義域.解題分析：函數(shù)和中的并不是同一個量，若設(shè)，則變成，那么的取值范圍才是函數(shù)的定義域，即“對應(yīng)法則相同，括號內(nèi)的取值范圍相同”.解：的定義域為，則，所以函數(shù)的定義域為.二、求函數(shù)值域的常用方法1.公式法：適用于初中所學的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)及以后學習的基本初等函數(shù)，形如（且分式不可約）的值域為.示例3 求函數(shù)的值域解：函數(shù)，的值域為.2.圖像法：適用于能畫出圖像的函數(shù).如的圖像如右圖所示，所以值域為.3.不等式性質(zhì)法（包括配方法、分離常數(shù)法、有界性法）適用于解析式只含“一個”或通過變形能化成只出現(xiàn)“一個”的函數(shù)，如由，則，可得；又如，因為，所以，所以.示例4求函數(shù)的值域解：，由，得.令，則.結(jié)合反比例函數(shù)的圖像可知，當，即時，.的值域為.4.換元法：適用于無理式中含自變量的函.示例5 求函數(shù)的值域.解：函數(shù)的定義域是.令，則，結(jié)合二次函數(shù)的圖像，原函數(shù)的值域為.注意：解這類型的題目要注意函數(shù)的定義域,在利用換元法求函數(shù)值域時，一定要注意新變量的取值范圍，若忽視了這點，就容易造成錯誤.5.判別式法：適用于形如的函數(shù).示例6 求函數(shù)的值域.解：由得，當時，方程無解；當時，要使關(guān)于的方程有解，必須