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初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料(四)(含答案)代數(shù)恒等式的證明甲內(nèi)容提要證明代數(shù)恒等式,在整式部分常用因式分解和乘法兩種相反的恒等變形,要特別注意運(yùn)用乘法公式和等式的運(yùn)算法則、性質(zhì)。具體證法一般有如下幾種1從左邊證到右邊或從右邊證到左邊,其原則是化繁為簡。變形的過程中要不斷注意結(jié)論的形式。2把左、右兩邊分別化簡,使它們都等于第三個代數(shù)式。3證明:左邊的代數(shù)式減去右邊代數(shù)式的值等于零。即由左邊右邊0可得左邊右邊。4,由己知等式出發(fā),經(jīng)過恒等變形達(dá)到求證的結(jié)論。還可以把己知的條件代入求證的一邊證它能達(dá)到另一邊,乙例題例1求證:3 n+22n225 n+23 n2 n10(5 n+1+3 n2 n-1) 證明:左邊255 n+1(3 n+2+3 n)(2 n+22 n) 105 n+13 n(32+1)2 n-1(232)10(5 n+1+3 n2 n-1)=右邊又證:左邊25 n+23 n(321)2 n(22+1) 25 n+2103 n52 n右邊105 n+1+103 n102 n-1 25 n+2103 n52 n左邊右邊例2 己知:a+b+c=0 求證:a3+b3+c3=3abc證明:a3+b3+c33abc(a+b+c)(a2+b2+c2abacbc)(見19例1):a+b+c=0a3+b3+c33abc0即a3+b3+c3=3abc又證::a+b+c=0a=(b+c)兩邊立方 a3=(b3+3b2c+3bc2+c3) 移項(xiàng) a3b3+c33bc(b+c)3abc再證:由己知a=bc 代入左邊,得(bc)3+ b3+c3(b3+3b2c+3bc2+c 3)+b3+c3 3bc(b+c)=3bc(a)3abc例3 己知a+,abc求證:a2b2c2=1證明:由己知a-b= bc= b-c= ca= 同理ab= abbcca1即a2b2c2=1例4 己知:ax2+bx+c是一個完全平方式(a,b,c是常數(shù))求證:b24ac=0 證明:設(shè):ax2+bx+c(mx+n)2 , m,n是常數(shù)那么:ax2+bx+cm2x2+2mnx+n2根據(jù)恒等式的性質(zhì)得: b24ac(2mn)24m2n2=0丙練習(xí)201 求證: (a+b+c)2+(a+b-c)2(a-b-c)2(a-b-c)28ab (x+y)4+x4+y4=2(x2+xy+y2)2 (x-2y)x3(y-2x)y3=(x+y)(x-y)3 3 n+2+5 n+23 n5 n=24(5 n+3 n-1) a5n+a n+1=(a3 na2 n+1)(a2 n+a n+1)2.己知:a2+b2=2ab 求證:a=b3.己知:a+b+c=0 求證:a3+a2c+b2c+b3=abc a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a24.己知:a2=a+1 求證:a5=5a+35.己知:xyz=0 求證: x3+8y3=z36xyz6.己知:a2+b2+c2=ab+ac+bc 求證:a=b=c7.己知:ab=bc 求證:(a+b+c)2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c)8.己知:abc0,ab+bc=2ac 求證:9己知: 求證:x+y+z=010.求證:(2x3)(2x+1)(x21)1是一個完全平方式11己知:ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除 求證:ad=bc答案:1. 左邊5 n(5 2-1)+3 n1(33-3)= 24(5 n+3 n-1)注意右邊有3n-12. 左邊右邊(a-b)23. 左邊右邊(a2+b2-c2)2-4a2b2=4. a5=a2a2a,用a2=a+1代入5. 用z=x+2y代入右邊6. 用已知的(左右)27
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