11月份數(shù)學(xué)重難點(diǎn)講解.pdf

09 屆鉆石卡專用 第 1 頁 共 11 頁 第一部分 概率第一部分 概率 二維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量及其分布 一 離散型一 離散型 這部分題考查的實(shí)質(zhì)是聯(lián)合分布 ij p與邊緣分布 ij pp的關(guān)系 iij j pp j ij i pp 如果兩個(gè)隨機(jī)變量是獨(dú)立的 那么 ijij pp p 如果不獨(dú)立 由條件概率 ijiji pp x p yx iij j pp 1 ij ij p 1 i i p 1 j j p 此種題的做題思路 1 把兩個(gè)隨機(jī)變量所有的可能取值用列表的形式寫出來 2 根據(jù)已知條件往表里填數(shù) Y X 1 y 2 y 3 y i p 1 x 11 p 12 p 13 p 1j j p 2 x 21 p 22 p 23 p 2 j j p 3 x 31 p 32 p 33 p 3 j j p j p 1 i i p 2i i p 3i i p 1 如上表所示 例例 1 設(shè)A B為兩個(gè)隨機(jī)事件 且 4 1 AP 3 1 ABP 2 1 BAP 令 不發(fā)生 發(fā)生 A A X 0 1 0 1 不發(fā)生 發(fā)生 B B Y 求 二維隨機(jī)變量 YX的概率分布 22 YXZ 的概率分布 例例 2 設(shè) 是相互獨(dú)立且服從同一分布的兩個(gè)隨機(jī)變量 已知 的分布律為 1 1 2 3 3 pii 又設(shè)max min XY 1 寫出二維隨機(jī)變量 X Y的分布律 Y X 1 2 3 1 2 3 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 09 屆鉆石卡專用 第 2 頁 共 11 頁 二 連續(xù)型二 連續(xù)型 1 已知聯(lián)合密度函數(shù)求聯(lián)合分布函數(shù) 已知聯(lián)合密度函數(shù)求聯(lián)合分布函數(shù) 例例 3 95 3 假設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度為 4 01 01 0 xyxy x y 其他 求X和Y聯(lián)合分布函數(shù) 2 求兩個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 求兩個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 已知 X Y的聯(lián)合密度函數(shù) f x y 而隨機(jī)變量 Zg X Y g X Y為已知 求隨機(jī)變量Z的分布具體步驟如下 由定義法求 g x y范圍內(nèi)的分布函數(shù) Z g x yz FzP ZzP g X Yzf x y dxdy 根據(jù) g x y及聯(lián)合密度函數(shù)的定義域確定z的討論范圍 根據(jù)z的范圍求解上面的二重積分 這步是考生最容易犯錯(cuò)的地方 很多學(xué)生不會求這 個(gè)二重積分 主要是積分區(qū)間劃分會出問題 首先是用 g x yz 這個(gè)區(qū)域與 f x y的定 義域取交集 然后在這個(gè)交集上把二重積分化成累次積分 把分布函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式 如果要求密度函數(shù) 寫出密度函數(shù)的形式 Z Z dFz fz dz 密度函數(shù)同樣要寫成分段 函數(shù)的形式 例例 4 設(shè)二維隨機(jī)變量 X Y的概率密度為 20 10 0 1 其他 xyx yxf 求 I X Y的邊緣概率密度 yfxf YX II YXZ 2的概率密度 zfZ 例例 5 07 1 設(shè)二維隨機(jī)變量 X Y的概率密度為 2 01 01 0 xyxy f x y 求ZXY 的概率密度 Z fz 例例6 01 3 設(shè)隨機(jī)變量X和Y對聯(lián)和分布是正方形 13 13Gx yxy 上的 均勻分布 試求隨機(jī)變量UXY 的概率密度 p u PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 09 屆鉆石卡專用 第 3 頁 共 11 頁 三 離散型與連續(xù)型相結(jié)合三 離散型與連續(xù)型相結(jié)合 如果已知的隨機(jī)變量Z是離散型Y是連續(xù)型 求關(guān)于Z Y函數(shù)的分布 用定義求解 但是這兩個(gè)隨機(jī)變量既沒有聯(lián)合分布密度函數(shù) 也沒有聯(lián)合分布率 而用定義求解的時(shí)候 我們同樣是在求概率 所以往往用到的方法就是把離散型隨機(jī)變量的分布率看成是完全事件 組 利用全概率公式來求解 例例 7 08 3 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立 X的概率分布為 1 1 0 1 3 P Xii Y的概率密度為 101 0 Y y fy 其它 記ZXY 1 求 1 0 2 P ZX 2 求Z的概率密度 第二部分 高等數(shù)學(xué)第二部分 高等數(shù)學(xué) 一一 多元函數(shù)微分學(xué) 多元函數(shù)微分學(xué) 1 偏導(dǎo)數(shù)與全微分 偏導(dǎo)數(shù)與全微分 一 基本定義一 基本定義 定義定義 1 偏導(dǎo)數(shù) 偏導(dǎo)數(shù) 函數(shù) yxfz 在點(diǎn) 00 yx處對x的偏導(dǎo)數(shù) x yxfyxxf yxf x x lim 0000 0 00 定義定義 2 全微分 全微分 如果函數(shù) yxfz 在點(diǎn) yx處的全增量 可表示為 oyBxAz 其 中A B不 依 賴 于x y 而 僅 與x y有 關(guān) 22 yx 則稱函數(shù) yxfz 在點(diǎn) yx可微分 二 基本定理二 基本定理 定理定理 1 關(guān)于函數(shù)連續(xù) 偏導(dǎo)存在和可微之間的關(guān)系 關(guān)于函數(shù)連續(xù) 偏導(dǎo)存在和可微之間的關(guān)系 偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù) 能 否 函數(shù)可微 能 否 函數(shù)連續(xù) 函數(shù)可微 能 否 偏導(dǎo)數(shù)存在 否 否 函數(shù)連續(xù) 定理定理 2 復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)公式 鏈?zhǔn)椒▌t 復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)公式 鏈?zhǔn)椒▌t 復(fù)合函數(shù) yxyxfz 在點(diǎn) yx的 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 09 屆鉆石卡專用 第 4 頁 共 11 頁 兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在 而且有 x v v z x u u z x z y v v z y u u z y z 定理定理 3 微分形式不變性 微分形式不變性 無論u v是自變量或是中間變量 函數(shù) vufz 的全微分的 形式 zz dzdudv uv 總是正確的 這個(gè)性質(zhì)稱為全微分形式不變性 定理定理 4 隱函數(shù)存在定理及求導(dǎo)公式 隱函數(shù)存在定理及求導(dǎo)公式 設(shè)函數(shù) xfy 由方程0 yxF確定 得 0 xfxF兩邊對x求導(dǎo)數(shù) 得0 dx dy FF yx 因此得 y x F F dx dy 對于函數(shù) xfy 求二階導(dǎo)數(shù) 得 2 2 xx yy FFd y xFyFdx dy dx 22 yxxxyxyxyxyy x y yy F FF FF FF F F F FF 22 3 2 xxyxyxyyyx y F FF F FF F F 三 題型講解三 題型講解 解題思路 從定義出發(fā) 通過求解函數(shù)的極限值是否等于函數(shù)值判斷連續(xù) 利用左右導(dǎo)數(shù) 的定義判斷是否可導(dǎo) 利用可微的定義判斷是否可微 題型一 連續(xù) 偏導(dǎo) 可微概念相關(guān)題型一 連續(xù) 偏導(dǎo) 可微概念相關(guān) 例例 1 設(shè) 22 22 22 1 sin 0 0 0 xyxy xyz x y xy 判斷在 0 0 點(diǎn)函數(shù)是否連續(xù) 偏導(dǎo)是否 存在 連續(xù) 是否可微 練習(xí)練習(xí) 2 97 1 考察函數(shù) 22 22 22 0 0 0 xy xy xyf x y xy 在點(diǎn) 0 0 處的連續(xù)性與偏導(dǎo) 數(shù)存在性 練習(xí)練習(xí) 3 設(shè) 22 22 22 22 0 0 0 x y xy xyf x y xy 討論 f x y在 0 0 處的可微性 若可微求 0 0 df 題型二 連續(xù) 偏導(dǎo) 可微之間的關(guān)系題型二 連續(xù) 偏導(dǎo) 可微之間的關(guān)系 例例 4 設(shè) f x yxyx y 其中 x y 在點(diǎn) 0 0 處連續(xù) 則 0 0 0 是 f x y PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 09 屆鉆石卡專用 第 5 頁 共 11 頁 在點(diǎn) 0 0 處可微的 A 必要而非充分條件 B 充分而非比較條件 C 充要條件 D 既非充分又非比較條件 練習(xí)練習(xí) 5 94 1 二元函數(shù) f x y在點(diǎn) 00 f xy處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) 0000 xy fxyfxy 存在是 f x y在該點(diǎn)連續(xù)的 A 充分條件而非必要條件 B 必要條件而非充分條件 C 充分必要條件 D 既非充分條件又非必要條件 練習(xí)練習(xí) 6 02 1 考慮二元函數(shù) f x y的下面 4 條性質(zhì) f x y在點(diǎn) 00 xy處連續(xù) f x y在點(diǎn) 00 xy處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) f x y在點(diǎn) 00 xy處可微 f x y在點(diǎn) 00 xy處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在 若用 PQ 表示可由性質(zhì)P推出Q 則有 A B C D 題型三 復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo) 全微分題型三 復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo) 全微分 解題思路 對于復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是利用求導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t 分步求解 特別提示 求出 的各階偏導(dǎo)亦是復(fù)合函數(shù) 再求高階導(dǎo)數(shù)時(shí)依然要對其使用鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo) 例例 7 設(shè) x y uf y z 求 2u y z 及du 例例 8 05 1 設(shè)函數(shù) x y x y u x yxyxyt dt 其中函數(shù) 具有二階導(dǎo) 數(shù) 具有一階導(dǎo)數(shù) 試證 22 22 uu xy 練習(xí)練習(xí) 9 92 1 設(shè) 22 sin x zf ey xy 其中 f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 求 2z x y 練習(xí)練習(xí) 10 94 1 設(shè)sin x x ue y 則 2u x y 在點(diǎn) 1 2 處的值為 題型四 隱函數(shù)求偏導(dǎo) 全微分題型四 隱函數(shù)求偏導(dǎo) 全微分 解題思路 利用一階微分形式不變性求解最為方便 例例 11 95 1 設(shè) 2 0 sin y uf x y zx ezyx 其中f 都具有一階連續(xù)偏 導(dǎo)數(shù) 且0 u z 求 du dx PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 09 屆鉆石卡專用 第 6 頁 共 11 頁 例例12 99 1 設(shè) yy x zz x 是由方程 zxf xy 和 F x y z 0所確定的函數(shù) 其中f和F分別具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 求 dz dx 練習(xí)練習(xí) 13 96 1 設(shè)變換 2uxy uxay 可把方程 222 22 60 zzz xx yy 化簡為 2 0 z u v 求常數(shù)a 其中 zz x y 有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) 練習(xí)練習(xí) 14 05 4 設(shè) f u具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 且 y x yf x y fyxg 求 2 2 2 2 2 2 y g y x g x 2 極值與條件極值 極值與條件極值 一 基本定義一 基本定義 定義 極值 定義 極值 二 基本定理二 基本定理 定理定理 1 極值存在的必要條件 極值存在的必要條件 具有偏導(dǎo)數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn) 具有偏導(dǎo)數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn) 駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn) 駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn) 例如 xyz 有駐點(diǎn)為0 0 但是該點(diǎn)不是極值點(diǎn) 極值點(diǎn)不一定是駐點(diǎn) 極值點(diǎn)不一定是駐點(diǎn) 例如 22 yxz 0 0 是其極值點(diǎn) 但是該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)不 存在 所以不是駐點(diǎn) 定理定理 2 二元函數(shù)極值的充分條件 二元函數(shù)極值的充分條件 求極值的一般方法求極值的一般方法 第一步 解方程組 0 00 yxfx 0 00 yxfy 以求得所有的駐點(diǎn) 第二步 對于每一個(gè)駐點(diǎn) 00 yx 求出二階偏導(dǎo)數(shù)值A(chǔ) B和C 第三步 對于每一個(gè)駐點(diǎn) 00 yx 確定 2 BAC 的符號 以判定該點(diǎn)是否為極值點(diǎn) 對極值點(diǎn)確得極大值與極小值 并求出極值 定理定理 3 拉格朗日乘拉格朗日乘數(shù)法 數(shù)法 三 題型講解三 題型講解 解題思路 注意駐點(diǎn)和極值點(diǎn)的關(guān)系 按照求解極值的一般方法 認(rèn)真計(jì)算求解 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 09 屆鉆石卡專用 第 7 頁 共 11 頁 題型一 極值的概念相關(guān)題型一 極值的概念相關(guān) 例例 1 03 4 設(shè)可微函數(shù) f x y在點(diǎn) 00 yx取得極小值 則下列結(jié)論正確的是 A 0 yxf在 0 yy 處的導(dǎo)數(shù)等于零 B 0 yxf在 0 yy 處的導(dǎo)數(shù)大于零 C 0 yxf在 0 yy 處的導(dǎo)數(shù)小于零 D 0 yxf在 0 yy 處的導(dǎo)數(shù)不存在 例例 2 06 1 設(shè) f x y與 x y 均為可微函數(shù) 且 0 y x y 已知 00 xy是 f x y 在約束條件 0 x y 下的一個(gè)極值點(diǎn) 下列選項(xiàng)正確的是 A 若 00 0 x fxy 則 00 0 y fxy B 若 00 0 x fxy 則 00 0 y fxy C 若 00 0 x fxy 則 00 0 y fxy D 若 00 0 x fxy 則 00 0 y fxy 練習(xí)練習(xí) 3 03 1 已知函數(shù) f x y在點(diǎn) 0 0 的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù) 且1 lim 222 0 0 yx xyyxf yx 則 A 點(diǎn) 0 0 不是 f x y的極值點(diǎn) B 點(diǎn) 0 0 是 f x y的極大值點(diǎn) C 點(diǎn) 0 0 是 f x y的極小值點(diǎn) D 根據(jù)所給條件無法判斷點(diǎn) 0 0 是否為 f x y的極值點(diǎn) 題型二 二元函數(shù)極值題型二 二元函數(shù)極值 例例 4 07 1 求函數(shù) 2222 2 f x yxyx y 在區(qū)域 22 4 0Dx y xyy 上的 最大值和最小值 練習(xí)練習(xí) 5 05 4 求 22 2f x yxy 在橢圓域 1 4 2 2 y xyxD上的最大值和 最小值 題型三 條件極值題型三 條件極值 解題思路 首先寫出拉格朗日函數(shù) 然后分別對自變量求偏導(dǎo) 最后解方程求出極值點(diǎn) 代入函數(shù)求出極值 例例 6 08 2 求函數(shù) 222 uxyz 在在約束條件 22 zxy 和4xyz 下的最大和 最小值 練習(xí)練習(xí) 7 08 1 已知曲線 222 20 35 xyz C xyz 求曲線C距離XOY面最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近 的點(diǎn) PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 09 屆鉆石卡專用 第 8 頁 共 11 頁 二 多元函數(shù)積分學(xué)二 多元函數(shù)積分學(xué) 1 二重積分 二重積分 題型講解題型講解 解題思路 一 畫出圖形 二 確定積分區(qū)間 三 化累次積分求解 題型一 變換積分次序題型一 變換積分次序 例例 1 cos 2 00 cos sin Idf rrrdr 2 1 00 y y Adyf x y dx 2 11 00 y Bdyf x y dx 11 00 Cdxf x y dy 2 1 00 x x Ddxf x y dy 例例 2 04 2 設(shè)函數(shù) f u連續(xù) 區(qū)域 22 2Dx y xyy 則 D f xy dxdy 等于 A 2 2 11 11 x x dxf xy dy B 2 22 00 2 y y dyf xy dx C 2sin 2 00 sincos df rdr D 2sin 2 00 sincos df rrdr 例例 3 02 3 交換積分次序 111 422 1 0 4 y yy dyf x y dxdyf x y dx 練習(xí)練習(xí) 4 06 2 設(shè) f x y為連續(xù)函數(shù) 則 1 4 00 cos sin df rrrdr 等于 A 2 2 1 2 0 x x dxf x y dy B 2 2 1 2 00 x dxf x y dy C 2 2 1 2 0 y y dyf x y dx D 2 2 1 2 00 y dyf x y dx 練習(xí)練習(xí) 5 07 2 設(shè)函數(shù) f x y連續(xù) 則二次積分 1 sin 2 x dxf x y dy 等于 A 1 0arcsin y dyf x y dx B 1 0arcsin y dyf x y dx C 1arcsin 0 2 y dyf x y dx D 1arcsin 0 2 y dyf x y dx 題型二 不題型二 不同同形式的二形式的二重積重積分分 例例 6 02 1 計(jì)算二重積分 22 max xy D edxdy 其中 01 01 Dx yxy PDF 文件使用 pdfFactory Pro 試用版本創(chuàng)建 09 屆鉆石卡專用 第 9 頁 共 11 頁 例例 7 05 2 計(jì)算二重積分 dyx D 1 22 其中 10 10 yxyxD 練習(xí)練習(xí) 8 07 2 設(shè)二元函數(shù) 2 22 1 1 12 xxy f x y xy xy 計(jì)算二重積分 D f x y d 其中 2Dx yxy 練 習(xí)練 習(xí) 9 03 3 計(jì) 算 二 重 積 分 sin 22 22 dxdyyxeI D yx 其 中 積 分 區(qū) 域 22 Dx y xy 第二部分第二部分 曲線曲線 曲面積曲面積分分 一 基本定理一 基本定理 定理定理 1 對弧長曲線積對弧長曲線積分的分的計(jì)算計(jì)算 dsyxf L 22 ftttt dt 定理定理 2 對坐標(biāo)對坐標(biāo)的的曲線積曲線積分的分的計(jì)算計(jì)算 L