2010年希望杯全國數(shù)學(xué)邀請賽八年級第1試試題及詳細(xì)解答.doc

第21屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽試題詳細(xì)解答 Page 10 of 10 學(xué)習(xí)改變命運，思考成就未來2010年（第21屆）“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽初二第1試詳細(xì)解答一、選擇題（每小題4分，共40分）以下每題的四個選項中，僅有一個是正確的，請將正確答案前的英文字母寫在下面的表格內(nèi)1下列圖案都是由字母組合而成的，其中不是中心對稱圖形的是（ ）【解析】B因B中5個”m”分布在正五邊形上，不是中心對稱圖形故選B2若，則（）AB C D【解析1】B（特殊值法）令，則滿足題設(shè)，有；令，則，從而,有，于是，故選B.【解析2】B，事實上，當(dāng)或時，；當(dāng)時，因如圖所示，（）在實數(shù)集上是減函數(shù)，即綜上可知，故選B.3若代數(shù)式有意義，則的取值范圍是（）A B且C且 D且【解析】B由已知得，解得且故選B.4正整數(shù)是等腰三角形三邊的長，并且，則這樣的三角形有（）A1個B2個C3個D4個【解析】C ，均為正整數(shù)，只能取，若，即，則，要使是等腰三角形只需；若，即，則，同理；若，即，則，同理綜上，這樣的等腰三角形有個故選C. 5順次連接一個凸四邊形各邊的中點，得到一個菱形，則這個四邊形一定是（）A任意的四邊形B兩條對角線等長的四邊形 C矩形 D平行四邊形【解析】B因為順次連接一個凸四邊形各邊的中點得到的四邊形，每組對邊都等于對應(yīng)對角線長的一半因此若得到的四邊形為菱形，則這個四邊形一定是兩條對角線等長的四邊形故選B6設(shè)，其中是正實數(shù)，并且，則（）ABCD【解析1】（特殊值法）如令，則，排除C【解析2】A因，故，于是，同理，,于是，根據(jù)同向不等式可以相加原理得 即,故選A.7Given satisfy and then which one is not sure to be correct in the following inequalities？（）ABCD (英漢詞典：be sure to 確定；correct 正確的；inequality 不等式)【解析】C且，于是，；，；，；因此只有C不一定成立8某公司的員工分別住在三個小區(qū)，區(qū)住員工30人，區(qū)住員工15人，區(qū)住員工10人，三個小區(qū)在一條直線上，位置如圖1所示，若公司的班車只設(shè)一個停靠點，為使所有員工步行到?？奎c的路程總和最短，那么停靠點的位置應(yīng)在（）A區(qū)B區(qū)C區(qū)D區(qū)以外的一個位置【解析】A以區(qū)為原點，從區(qū)往區(qū)方向為正方向建立數(shù)軸，設(shè)?？奎c的坐標(biāo)為，那么所有員工步行到停靠點的路程總和為，由絕對值函數(shù)的性質(zhì)易知在處，該函數(shù)值最小事實上，顯然，當(dāng)時，9的內(nèi)角和都是銳角，是高，若，則是（）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形【解析1】當(dāng)時，,滿足題意，此時，是等腰三角形；當(dāng)時，若是直角三角形，則有于是,滿足題意，故是等腰三角形或直角三角形.【解析2】D，又由正弦定理D得，于是，或,故或10某人沿正在向下運動的自動扶梯從樓上走到樓下，用了24秒；若他站在自動扶梯上不動，從樓上到樓下要用56秒若扶梯停止運動，他從樓上走到樓下要用（）A32秒B38秒C42秒D48秒【解析1】C設(shè)自動扶梯的速度為，人行走的速度為，則，解得，（秒）.【解析2】C設(shè)若扶梯停止運動，他從樓上走到樓下要用秒，則，解得（秒）【解析3】C（可理解為合工作問題（秒）.二、A組填空題（每小題4分，共40分）11四個多項式：；，其中不能用平方差公式分解的是_（填寫序號）【解析】由于；故填12若，則與的大小關(guān)系是_（填“”、“=”或“”）【解析1】=（特殊值法）如令，則，于是【解析2】=【解析3】=：13分式方程的解是_【解析】，（舍去）或14甲、乙兩人從點同時同向出發(fā)沿400米的環(huán)形跑道跑步，過一段時間后，甲在跑道上離點200米處，而乙在離點不到100米處正向點跑去，若甲、乙兩人的速度比是4：3，則此時乙至少跑了_米【解析1】假設(shè)甲的速度是，乙的速度是，題中所述情況是在開始跑步后時刻且此時刻甲、乙已經(jīng)跑了、個整圈，則，（其中）于是，因此，即，由于均為非負(fù)整數(shù)，隨的增大而增大,故當(dāng)時，的最小值為，此時，乙跑了（米）【解析2】假設(shè)甲的速度是，乙的速度是，設(shè)甲已跑了個整圈，則 解得由題意知為正整數(shù)，故于是乙跑了（米）.15已知等腰三角形三邊的長分別是則它的周長是_【解析】(或填)當(dāng)時，此時三角形的三邊長分別為，矛盾；時，此時三角形的三邊長分別為，矛盾；當(dāng)時，此時三角形的三邊長分別為，周長為.16若則_【解析1】，于是 【解析2】,則.17直線與軸、軸的交點分別為，則線段上（包括端點）橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點有_個【解析1】即，于是必然整除；另一方面、，于是的可能取值為對應(yīng)的點均在線段上 【解析2】、，線段（） 要求整點，只需是4的倍數(shù)，于是，故線段上共有5個整點： .18已知關(guān)于的不等式的解是，則_【解析1】 原不等式，解得（舍去）或【解析2】.原不等式兩邊同乘以得，即當(dāng)即時， ，故只需，解得（舍去）或19當(dāng)分別取這100個數(shù)時，關(guān)于的分式方程有解的概率是_【解析1】當(dāng)或以及無解時原方程無解，即或時原方程無解因此方程有解的概率為 【解析1】原方程兩邊同乘以得,即 ,當(dāng)即時,方程有解,要使原分式方程有解,還需,且,即當(dāng)且且原分式方程有解,故原方程有解的概率為20十位數(shù)能被11整除，則三位數(shù)最大是_（注：能被11整數(shù)的自然數(shù)的特點是：奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)字和的差是11的整數(shù)倍）【解析】因，即，（為整數(shù)）能整除，而，此時能整除，即，三位數(shù)最大是三、B組填空題（每小題8分，共40分）21一個矩形的長與寬是兩個不相等的整數(shù)，它的周長與面積的數(shù)值相等，那么這個矩形的長與寬分別是_和_【解析】，設(shè)長和寬分別為、，不妨設(shè)則，即依題意都是正整數(shù)，而， 解得，于是長和寬分別為和22用表示不大于的最大整數(shù)，如則方程的解是_或_【解析1】；，原方程可化為 ，設(shè)，（為整數(shù)），于是，由，解得，又為整數(shù)或，即或，解得或經(jīng)檢驗，與均為原方程的解【解析2】；，而，解得因此，或，解得或經(jīng)檢驗，與均為原方程的解23As in figure 2，in a quadrilateral we have its diagonal bisects and then the distance from point to line is_，and the length of is_（英漢詞典：quadrilateral 四邊形：bisect平分）【解析1】；如圖1，過作，交于，交于，連接，過作于,則,從而，,，,因此等腰底邊上的高為,【解析2】；如圖2，在上截取,過作于,則,從而，,因此等腰底邊上的高為, 【解析3】；如圖3，過作于，過作交的延長線于,則，于是,有,設(shè)，則，解得，即,故, .24如圖3，位于第一象限內(nèi)，點的坐標(biāo)為（1，1），兩條直角邊分別平行于軸、軸，若反比例函數(shù)的圖象與有交點，則的最大值是_，最小值是_【解析】；當(dāng)反比例函數(shù)的圖象過點時最小，為；當(dāng)反比例函數(shù)的圖象與相切時最大，此時，直線的方程為,由得方程，依題意得其判別式，解得事實上，反比例函數(shù)圖象與有交點時，的取值范圍是【評注】本題的最大值的確定容易出錯,誤認(rèn)為的最大值是直線（直線的方程為）與反比例函數(shù)圖象的對稱軸的交點處取得，此時由得 從而，其實此時反比例函數(shù)圖象與直線有兩個交點（由得方程，其判別式為可得）并不是的最大值,只有當(dāng)反比例函數(shù)的圖象與相切時才取到最大值.25設(shè)依次是面積為整數(shù)的正邊形的個頂點，考慮由連續(xù)的若干個頂點連成的凸多邊形，如四邊形、七邊形等，如果所有這樣的凸多邊形的面積之和是231，那么的最大值是_，此時正邊形的面積是_【解析】；可由正四邊形，正五邊形，正六邊形等歸納出正邊形的一般規(guī)律：設(shè)正邊形的面積為.（1）對于正四邊形：共有條對角線，考慮由連續(xù)的3個頂點連成的三角形（凸多邊形）有4個：；考慮由連續(xù)的4個頂點連成的四邊形（凸多邊形）有1個：，故所有滿足條件的凸邊形共有個，其中故所有滿足條件的凸邊形的面積的和為.（2）對于正五邊形：共有條對角線，考慮由連續(xù)的3個頂點連成的三角形（凸多邊形）有5個：；考慮由連續(xù)的4個頂點連成的四邊形（凸多邊形）有5個：四邊形,，考慮由連續(xù)的5個頂點連成的五邊形（凸多邊形）有1個，故所有滿足條件的凸邊形共有個，其中,故所有滿足條件的凸邊形的面積的和為.（3）對于正六邊形：共有條對角線，考慮由連續(xù)的3個頂點連成的三角形（凸多邊形）有6個：;考慮由連續(xù)的4個頂點連成的四邊形（凸多邊形）有6個：四邊,，考慮由連續(xù)的5個頂點連成的五邊形（凸多邊形）有6個，;考慮由