廣東省高考數(shù)學 5.4數(shù)列求和配套課件 理 新人教A版.ppt

第四節(jié)數(shù)列求和 三年25考高考指數(shù) 1 熟練掌握等差 等比數(shù)列的前n項和公式 2 掌握非等差 等比數(shù)列求和的幾種常見方法 1 高考考查的重點是等差 等比數(shù)列的求和公式 錯位相減法求和 及裂項相消法求和 2 數(shù)列求和常與函數(shù) 方程 不等式等諸多知識聯(lián)系在一起 以復雜多變 綜合性強 解法靈活等特征而成為高考的中檔題或壓軸題 1 公式法與分組求和法 1 公式法直接利用等差數(shù)列 等比數(shù)列的前n項和公式求和 等差數(shù)列的前n項和公式 sn 等比數(shù)列的前n項和公式 2 分組求和法一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成 則求和時可用分組求和法 分別求和而后相加減 即時應用 1 2 若數(shù)列 an 的通項公式為an 2n 2n 1 則數(shù)列 an 的前n項和sn 解析 1 2 sn 2 22 23 2n 1 3 5 2n 1 答案 1 2 2n 1 n2 2 2 倒序相加法與并項求和法 1 倒序相加法如果一個數(shù)列 an 的前n項中首末兩端等 距離 的兩項的和相等或等于同一個常數(shù) 那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法 如等差數(shù)列的前n項和即是用此法推導的 2 并項求和法一個數(shù)列的前n項和中 可兩兩結(jié)合求解 則稱之為并項求和 形如an 1 nf n 類型 可采用兩項合并求解 例如 sn 1002 992 982 972 22 12 100 99 98 97 2 1 5050 即時應用 1 函數(shù)y f x 的圖象關(guān)于點對稱 則f 5 f 4 f 0 f 5 f 6 2 若sn 1 2 3 4 1 n 1 n 則s17 s33 s50等于 解析 1 由題意知f 1 x f x 2 設s f 5 f 4 f 0 f 5 f 6 則s f 6 f 5 f 0 f 4 f 5 2s 12 2 s 12 2 當n是奇數(shù)時 sn 1 2 3 4 n 2 n 1 n當n是偶數(shù)時 sn 1 2 3 4 n 1 n sn s17 9 s33 17 s50 25 s17 s33 s50 1 答案 1 12 2 1 3 裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差 在求和時中間的一些項可以相互抵消 從而求得其和 即時應用 1 數(shù)列 的前n項和為 2 已知數(shù)列 an 的通項公式是an 若sn 10 則n 解析 1 sn 2 an sn 由sn 10 即得n 120 答案 1 2 120 4 錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構(gòu)成的 那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求 如等比數(shù)列的前n項和就是用此法推導的 即時應用 1 已知數(shù)列 an 的前n項和為sn 且an n 2n 則sn 2 已知sn 則sn 解析 1 sn 1 2 2 22 3 23 n 2n 2sn 1 22 2 23 n 1 2n n 2n 1 sn 2 22 23 2n n 2n 1 n 2n 1 2n 1 n 2n 1 2 sn n 1 2n 1 2 2 答案 1 n 1 2n 1 2 分組轉(zhuǎn)化求和 方法點睛 1 分組轉(zhuǎn)化求和的通法數(shù)列求和應從通項入手 若無通項 則先求通項 然后通過對通項變形 轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求數(shù)列的前n項和的數(shù)列求和 2 常見類型及方法 1 an kn b 利用等差數(shù)列前n項和公式直接求解 2 an a qn 1 利用等比數(shù)列前n項和公式直接求解 3 an bn cn或an 數(shù)列 bn cn 是等比數(shù)列或等差數(shù)列 采用分組求和法求 an 的前n項和 例1 1 已知數(shù)列 則其前n項和sn 2 已知an 求數(shù)列 an 的前10項和s10 求數(shù)列 an 的前2k項和s2k 解題指南 1 先求數(shù)列的通項公式 再根據(jù)通項公式分組求和 2 把奇數(shù)項和偶數(shù)項分開求和 規(guī)范解答 1 sn 答案 2 s10 6 16 26 36 46 2 22 23 24 25 192 由題意知 數(shù)列 an 的前2k項中 k個奇數(shù)項組成首項為6 公差為10的等差數(shù)列 k個偶數(shù)項組成首項為2 公比為2的等比數(shù)列 s2k 6 16 10k 4 2 22 2k 互動探究 若本例 1 中數(shù)列改為 3 33 333 試求其前n項和sn 解析 數(shù)列3 33 333 的通項公式an sn 反思 感悟 解答本例 2 時應注意 其奇數(shù)項組成的等差數(shù)列和偶數(shù)項組成的等比數(shù)列的通項公式并不是題目中所給的解析式 可寫出前幾項尋找規(guī)律或?qū) 2k 1 n 2k代入求解 變式備選 求和 sn 解析 1 當x 1時 sn 4n 2 當x 1時 sn sn 裂項相消法求和 方法點睛 1 應用裂項相消法應注意的問題使用裂項相消法求和時 要注意正負項相消時 消去了哪些項 保留了哪些項 切不可漏寫未被消去的項 未被消去的項有前后對稱的特點 實質(zhì)上造成正負相消是此法的根源與目的 2 常見的拆項公式 例2 2012 大連模擬 已知數(shù)列 an 各項均為正數(shù) 其前n項和為sn 且滿足4sn an 1 2 1 求 an 的通項公式 2 設bn 數(shù)列 bn 的前n項和為tn 求tn的最小值 解題指南 1 利用sn 1 sn an 1尋找an 1與an的關(guān)系 2 先用裂項法求tn 再根據(jù)數(shù)列 tn 的單調(diào)性求最小值 規(guī)范解答 1 因為 an 1 2 4sn 所以sn sn 1 所以sn 1 sn an 1 即4an 1 an 12 an2 2an 1 2an 2 an 1 an an 1 an an 1 an 因為an 1 an 0 所以an 1 an 2 即 an 為公差等于2的等差數(shù)列 由 a1 1 2 4a1 解得a1 1 所以an 2n 1 2 由 1 知bn tn b1 b2 bn tn 1 tn 數(shù)列 tn 為遞增數(shù)列 tn的最小值為t1 反思 感悟 1 在對bn進行裂項時 易犯的錯誤 可通過通分驗證 2 在用裂項相消法求和時 消項后并不一定只剩下第一項和最后一項 也可能剩下前幾項和后幾項 變式訓練 等差數(shù)列 an 的各項均為正數(shù) a1 3 前n項和為sn bn 為等比數(shù)列 b1 1 且b2s2 64 b3s3 960 1 求an與bn 2 求的值 解析 1 設 an 的公差為d bn 的公比為q 則d為正數(shù) an 3 n 1 d bn qn 1 依題意有解得故an 3 2 n 1 2n 1 bn 8n 1 2 由 1 知sn 3 5 2n 1 n n 2 所以 錯位相減法求和 方法點睛 應用錯位相減法應注意的問題 1 一般地 如果數(shù)列 an 是等差數(shù)列 bn 是等比數(shù)列 求數(shù)列 an bn 的前n項和時 可采用錯位相減法求和 一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列 bn 的公比 然后作差求解 2 在寫出 sn 與 qsn 的表達式時應特別注意將兩式 錯項對齊 以便下一步準確寫出 sn qsn 的表達式 提醒 在應用錯位相減法求和時 若等比數(shù)列的公比為參數(shù) 應分公比等于1和不等于1兩種情況求解 例3 數(shù)列 an 的前n項和為sn a1 1 an 1 2sn n n 1 求數(shù)列 an 的通項公式an 2 求數(shù)列 nan 的前n項和tn 解題指南 1 根據(jù)an與sn的關(guān)系求an 2 用錯位相減法求tn 規(guī)范解答 1 由an 1 2sn得an 2sn 1 n 2 an 1 an 2an 即an 1 3an n 2 數(shù)列 an 從第2項起是公比為3的等比數(shù)列 又a2 2s1 2 an 2 tn a1 2a2 3a3 nan 當n 1時 t1 1 當n 2時 tn 1 4 30 6 31 2n 3n 2 3tn 3 4 31 6 32 2n 3n 1 得 2tn 2 4 2 31 32 3n 2 2n 3n 1 1 1 2n 3n 1 tn 又 t1 a1 1也滿足上式 tn 反思 感悟 解答本題 1 時 易把an錯寫成an 解答本題 2 求tn時 易盲目利用錯位相減法直接求和 忽視了討論n 1的情形 變式訓練 2011 遼寧高考 已知等差數(shù)列 an 滿足a2 0 a6 a8 10 1 求數(shù)列 an 的通項公式 2 求數(shù)列的前n項和 解析 1 設等差數(shù)列 an 的公差為d 解得故數(shù)列 an 的通項公式為an 2 n 2 設數(shù)列的前n項和為sn 即sn 故s1 1 所以 當n 1時 所以又 s1 a1 1也滿足上式 sn 變式備選 已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列 an 滿足 a2 a3 a4 28 且a3 2是a2 a4的等差中項 1 求數(shù)列 an 的通項公式 2 若bn 求使sn n 2n 1 50成立的正整數(shù)n的最小值 解析 1 設等比數(shù)列 an 的首項為a1 公比為q 依題意 有2 a3 2 a2 a4 代入a2 a3 a4 28 得a3 8 a2 a4 20 解得或又數(shù)列 an 單調(diào)遞增 q 2 a1 2 an 2n 2 bn sn 1 2 2 22 3 23 n 2n 2sn 1 22 2 23 n 1 2n n 2n 1 得sn 2 22 23 2n n 2n 1又sn n 2n 1 50 即2n 1 2 50 2n 1 52 又當n 4時 2n 1 25 32 52 當n 5時 2n 1 26 64 52 故使sn n 2n 1 50成立的正整數(shù)n的最小值為5 創(chuàng)新探究 耳目一新的數(shù)列求和 典例 2011 安徽高考 在數(shù)1和100之間插入n個實數(shù) 使得這n 2個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列 將這n 2個數(shù)的乘積記作tn 再令an lgtn n 1 1 求數(shù)列 an 的通項公式 2 設bn tanan tanan 1 求數(shù)列 bn 的前n項和sn 解題指南 1 用 倒序相乘法 求tn 再求an 2 根據(jù)兩角差的正切公式表示出tanan tanan 1 然后求sn 規(guī)范解答 1 設t1 t2 tn 2構(gòu)成等比數(shù)列 其中t1 1 tn 2 100 則tn t1 t2 tn 1 tn 2 tn tn 2 tn 1 t2 t1 并利用titn 3 i t1tn 2 102 1 i n 2 得tn2 t1tn 2 t2tn 1 tn 1t2 tn 2t1 102 n 2 an lgtn n 2 n 1 n n 2 由題意和 1 中計算結(jié)果 知bn tan n 2 tan n 3 n 1 另一方面 利用tan1 tan k 1 k 得tan k 1 tank 所以sn 閱卷人點撥 通過對本題的深入研究 我們可以得到以下創(chuàng)新點撥和備考建議 1 2011 安徽高考 若數(shù)列 an 的通項公式是an 1 n 3n 2 則a1 a2 a10 a 15 b 12 c 12 d 15 解析 選a a1 a2 a3 a4 a9 a10 3 故a1 a2 a10 15 2 2012 梅州模擬 若數(shù)列 an 滿足a1 1 且則a1a2 a2a3 a2010a2011 解析 由題意知 數(shù)列是首項為1 公差為1的等差數(shù)列 a1a2 a2a3 a2010a2011答案 3 2012 茂名模擬 把公差d 2的等差數(shù)列 an 的各項依次插入等比數(shù)列 bn 中 將 bn 按原順序分成1項 2項 4項 2n 1項的各組 得到數(shù)列 cn b1 a1 b2 b3 a2 b4 b5 b6 b7 a3 數(shù)列 cn 的前n項和為sn 若c1 1 c2 2 s3 則數(shù)列 cn 的前100項之和s100 解析 由已知得b1 1 a1 2 b2 令tn 1 2 22 2n 1 2n 1 則t6 63 t7 127 數(shù)列 cn 的前100項中含有數(shù)列 an 的前6項 含有數(shù)列 bn 的前94項 故s100 b1 b2 b94 a1 a2