2015長春9月一模數(shù)學(xué)理科試題及答案.doc

長春市20142015學(xué)年新高三起點調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題卷(理科)考生須知：1. 本試卷分試題卷和答題卡，滿分150分，考試時間120分鐘.2. 答題前，在答題卡指定位置上填寫學(xué)校、班級、姓名和準(zhǔn)考證號.3. 所有答案必須寫在答題卡上，寫在試卷上無效.4. 考試結(jié)束，只需上交答題卡. 第卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題包括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項填寫在答題卡上）1. 已知集合，若，則A. B. C. 或 D. 或2. 如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)和對應(yīng)的點分別是和，則A. B. C. D. 3. 下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又存在極值的是 A. B. C. D.4. 已知向量、滿足，則A. B. 3C. D. 5. 已知、取值如下表：014561.35.67.4畫散點圖分析可知：與線性相關(guān)，且求得回歸方程為，則的值（精確到0.1）為A. 1.5B. 1.6C. 1.7D. 1.8 6. 右圖為一個半球挖去一個圓錐的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為A. B. C. D. 7. 已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項和為，若，則該等差數(shù)列的公差A(yù). B. C. D. 8. 函數(shù)的部分圖像可能是A B C D9. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果是A. 14B. 15C. 16 D. 1710. 若，則“”是“”的A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件11. 過拋物線的焦點作直線與此拋物線相交于、兩點，是坐標(biāo)原點，當(dāng)時，直線的斜率的取值范圍是A. B. C. D. 12. 已知定義在上的函數(shù)滿足，在上表達式為，則函數(shù)與函數(shù)的圖像在區(qū)間上的交點個數(shù)為A. 5B. 6C. 7 D. 8第卷（非選擇題，共90分）二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上).13. 若函數(shù)，則_. 14. 在的展開式中，項的系數(shù)是_. 15. 若實數(shù)滿足，則的取值范圍是_. 16. 底面為正三角形且側(cè)棱與底面垂直的三棱柱稱為正三棱柱，則半徑為的球的內(nèi)接正三棱柱的體積的最大值為_. 三、解答題（本大題包括6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）.17.（本小題滿分10分）在中，三個內(nèi)角、所對的邊分別為、，且. (1) 求角；(2) 若的面積，求的值. 18.（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足. (1) 求數(shù)列的通項公式；(2) 設(shè)，求數(shù)列的前項和. 19.（本小題滿分12分）每年5月17日為國際電信日，某市電信公司每年在電信日當(dāng)天對辦理應(yīng)用套餐的客戶進行優(yōu)惠，優(yōu)惠方案如下：選擇套餐一的客戶可獲得優(yōu)惠200元，選擇套餐二的客戶可獲得優(yōu)惠500元，選擇套餐三的客戶可獲得優(yōu)惠300元. 根據(jù)以往的統(tǒng)計結(jié)果繪出電信日當(dāng)天參與活動的統(tǒng)計圖，現(xiàn)將頻率視為概率. (1) 求某兩人選擇同一套餐的概率；(2) 若用隨機變量表示某兩人所獲優(yōu)惠金額的總和，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 20.（本小題滿分12分）如圖所示幾何體是正方體截去三棱錐后所得，點為的中點. (1) 求證：平面平面；(2) 求平面與平面所成銳二面角的余弦值. 21.（本小題滿分12分）如圖，橢圓的左焦點為，過點的直線交橢圓于兩點. 的最大值是，的最小值是，滿足.(1) 求該橢圓的離心率；(2) 設(shè)線段的中點為，的垂直平分線與軸和軸分別交于兩點，是坐標(biāo)原點. 記的面積為，的面積為，求的取值范圍.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，其中為實數(shù)，常數(shù).(1) 若是函數(shù)的一個極值點，求的值；(2) 當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3) 當(dāng)取正實數(shù)時，若存在實數(shù)，使得關(guān)于的方程有三個實數(shù)根，求的取值范圍. 長春市20142015學(xué)年新高三起點調(diào)研考試數(shù)學(xué)（理科）試題答案及評分參考一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1. C2. A3. D4. B5. C6. D 7. B 8. B9. C10. B11. D12. B簡答與提示：1. 【命題意圖】本題考查集合中子集的概念與集合中元素的互異性. 【試題解析】C由題可得或，則，又當(dāng)時，集合出現(xiàn)重復(fù)元素，因此或. 故選C. 2. 【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算與復(fù)數(shù)模的概念，另外對復(fù)平面上點與復(fù)數(shù)的對應(yīng)也提出較高要求. 【試題解析】A 由圖可知：，則. 故選A. 3. 【命題意圖】本題考查函數(shù)奇偶性的概念，同時也對函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)極值做出考查. 【試題解析】D由題可知，B、C選項不是奇函數(shù)，A選項單調(diào)遞增（無極值），而D選項既為奇函數(shù)又存在極值. 故選D. 4. 【命題意圖】本題主要對向量的運算進行考查，同時也對向量的幾何意義等考點提出一定的要求. 【試題解析】B 由，且可知，. 故選B. 5. 【命題意圖】本題考查了回歸直線的特征，對解釋變量的運算也有提及. 【試題解析】C將代入回歸方程為可得，則，解得，即精確到0.1后的值為. 故選C. 6. 【命題意圖】本題通過三視圖考查幾何體表面積的運算.【試題解析】D如圖所示，該幾何體的表面積為半球面積與圓錐側(cè)面積之和，即. 故選D. 7. 【命題意圖】本題考查數(shù)列基本量的求法.【試題解析】B由題意，作差可得，即. 故選B. 8. 【命題意圖】本題通過圖像考查函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性. 【試題解析】B由題可知，為奇函數(shù)，且存在多個零點導(dǎo)致存在多個零點，故的圖像應(yīng)為含有多個零點的奇函數(shù)圖像. 故選B. 9. 【命題意圖】本題利用程序框圖考查對數(shù)的運算性質(zhì)及對數(shù)不等式的求解.【試題解析】C由程序框圖可知，從到得到，因此將輸出. 故選C. 10. 【命題意圖】本題考查指對冪三種基本初等函數(shù)的圖像和充要條件的概念等基礎(chǔ)知識. 【試題解析】B如右圖可知，“”“”，但“” “”，即“”是“”的必要不充分條件. 故選B. 11. 【命題意圖】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)以及直線與拋物線的位置關(guān)系等知識. 【試題解析】D由題可知，點的橫坐標(biāo)時，滿足，此時，故直線（即直線）的斜率的取值范圍是. 故選D. 12. 【命題意圖】本題借助分段函數(shù)考查函數(shù)的周期性、對稱性以及函數(shù)圖像交點個數(shù)等問題. 【試題解析】B根據(jù)可知圖像的對稱中心為，根據(jù)可知圖像的對稱軸為，結(jié)合畫出和的部分圖像，如圖所示，據(jù)此可知與的圖像在上有6個交點. 故選B. 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13. 14. 15. 16. 簡答與提示：13. 【命題意圖】本題考查利用微積分基本定理求解定積分的知識. 【試題解析】計算可得. 14. 【命題意圖】本題考查二項展開式系數(shù)問題. 【試題解析】在的展開式中，項是，故的系數(shù)為. 15. 【命題意圖】本題考查線性規(guī)劃以及目標(biāo)函數(shù)的幾何意義等知識. 【試題解析】由題可知，可行域如右圖，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為區(qū)域內(nèi)點到原點距離的平方，故的取值范圍是. 16. 【命題意圖】本題考查正棱柱與球體等基本幾何體體積的最值問題. 【試題解析】設(shè)三棱柱的高為，由題意可得，正三棱柱的體積為，求導(dǎo)可得當(dāng)時，取得最大值為.三、解答題17. (本小題滿分10分)【命題意圖】本小題主要考查正弦定理與余弦定理在解三角形問題中的應(yīng)用，結(jié)合三角形面積的求法綜合考查學(xué)生的運算求解能力.【試題解析】解：(1) 根據(jù)正弦定理可化為即整理得，即，. （5分）(2) 由的面積，可知，而由余弦定理得. （10分）18. (本小題滿分12分)【命題意圖】本題考查數(shù)列通項公式及其前項和公式的求法，其中涉及錯位相減法在數(shù)列求和問題中的應(yīng)用. 【試題解析】解：(1) 當(dāng)時，解得當(dāng)時，有，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，有. （6分）(2) 由（1）知，有，-，得整理得. （12分）19. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查學(xué)生對概率知識的理解，通過分布列的計算，考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力. 【試題解析】解：(1) 由題意可得某兩人選擇同一套餐的概率為.（4分）(2) 由題意知某兩人可獲得優(yōu)惠金額的可能取值為400，500，600，700，800，1000. （8分）綜上可得的分布列為：4005006007008001000（10分）的數(shù)學(xué)期望. （12分）20. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題以正方體為載體，考查立體幾何的基礎(chǔ)知識. 本題通過分層設(shè)計，考查了空間平面的垂直關(guān)系，以及二面角等知識，考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.【試題解析】 (1) 證明：因為幾何體是正方體截取三棱錐后所得，.（6分）(2) 以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，依題意知，有設(shè)平面的一個法向量，有代入得，設(shè)，有，平面的一個法向量，設(shè)平面與平面所成銳二面角大小為，有，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為. （12分）21. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題考查橢圓的離心率的有關(guān)運算，直線和橢圓的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯思維能力和運算求解能力.【試題解析】解：(1) 設(shè)，則根據(jù)橢圓性質(zhì)得而，所以有，即，因此橢圓的離心率為.（4分）(2) 由(1)可知，橢圓的方程為. 根據(jù)條件直線的斜率一定存在且不為零，設(shè)直線的方程為，并設(shè)則由消去并整理得從而有，（6分）所以.因為，所以，.由與相似，所以. （10分）令，則，從而，即的取值范圍是. （12分）22. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識，具體涉及到導(dǎo)數(shù)的運算，用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等，以及函數(shù)與不等式知識的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生解決問題的綜合能力.【試題解析】解：(1)（2分）因為是函數(shù)的一個極值點，所以，即.而當(dāng)時，可驗證：是函數(shù)的一個極值點. 因此. （4分）(2) 當(dāng)