（江蘇專用）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.2 橢圓 2.2.2 橢圓的幾何性質(zhì)學(xué)案 蘇教版選修1-1.doc

2.2.2橢圓的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握橢圓的幾何圖形和簡單幾何性質(zhì)(重點)2.感受如何運用方程研究曲線的幾何性質(zhì)(難點)3.能運用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)處理一些簡單的實際問題(重點、難點)自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(ab0)范圍axa且bybbxb且aya頂點(a,0)，(0，b)(b,0)，(0，a)軸長長軸長2a，短軸長2b焦點(c,0)(0，c)焦距f1f22c對稱性對稱軸x軸、y軸，對稱中心(0,0)離心率e(0e1)2.橢圓的離心率基礎(chǔ)自測1判斷正誤：(1)橢圓1(ab0)的長軸長等于a.()(2)橢圓上的點到焦點的距離的最小值為ac.()(3)橢圓的離心率e越小，橢圓越圓()【解析】(1).橢圓1(ab0)的長軸長等于2a.(2).橢圓上的點到焦點的距離的最大值為ac，最小值為ac.(3).離心率e越小c就越小，這時b就越接近于a，橢圓就越圓【答案】(1)(2)(3)2橢圓1的離心率是_. 【導(dǎo)學(xué)號：95902089】【解析】由方程可知a225，a5，c2a2b225169，c3，e.【答案】合 作 探 究攻 重 難已知橢圓方程求其幾何性質(zhì)已知橢圓x2(m3)y2m(m0)的離心率e，求m的值及橢圓的長軸和短軸的長、焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)思路探究【自主解答】橢圓方程可化為1.m0，m，即a2m，b2，c.由e得，m1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.a1，b，c.橢圓的長軸長為2，短軸長為1；兩焦點分別為f1，f2；四個頂點分別為a1(1,0)，a2(1,0)，b1，b2.規(guī)律方法用標(biāo)準(zhǔn)方程研究幾何性質(zhì)的步驟跟蹤訓(xùn)練1求橢圓9x216y2144的長軸長、短軸長、離心率、焦點和頂點坐標(biāo). 【導(dǎo)學(xué)號：95902090】【解】把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程1，于是a4，b3，c，橢圓的長軸長和短軸長分別是2a8和2b6，離心率e，兩個焦點坐標(biāo)分別是(，0)，(，0)，四個頂點坐標(biāo)分別是(4,0)，(4,0)，(0，3)，(0,3).由橢圓的幾何性質(zhì)求方程(1)已知橢圓1(ab0)的離心率為，點c在橢圓上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(2)若橢圓短軸的一個端點與兩焦點組成一個正三角形；且焦點到同側(cè)頂點的距離為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_思路探究解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求出a2 和b2.【自主解答】(1)由e得，又c2a2b2，所以得. 又點c在橢圓上得1， 由，解得a29，b25.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由已知從而b29，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.【答案】(1)1(2)1或1.規(guī)律方法1利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程通常采用待定系數(shù)法2根據(jù)已知條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的思路是“選標(biāo)準(zhǔn)、定參數(shù)”，一般步驟是：(1)求出a2，b2的值；(2)確定焦點所在的坐標(biāo)軸；(3)寫出標(biāo)準(zhǔn)方程跟蹤訓(xùn)練2直線x2y20過橢圓1的左焦點f1和一個頂點b，則橢圓的方程為_. 【導(dǎo)學(xué)號：95902091】【解析】直線x2y20與x軸的交點為(2,0)，即為橢圓的左焦點，故c2.直線x2y20與y軸的交點為(0,1)，即為橢圓的頂點，故b1.故a2b2c25，橢圓方程為y21.【答案】y21求橢圓的離心率(1)橢圓1(ab0)的半焦距為c，若直線y2x與橢圓的一個交點p的橫坐標(biāo)恰為c，則橢圓的離心率為_(2)已知橢圓上橫坐標(biāo)等于焦點橫坐標(biāo)的點，它到x軸的距離等于短半軸長的，則橢圓的離心率為_思路探究(1)求出點p的坐標(biāo)，利用點p在橢圓上其坐標(biāo)滿足橢圓的方程構(gòu)建關(guān)于離心率e的方程，解方程可得離心率(2)在焦點三角形pf1f2中利用橢圓的定義與勾股定理得到a，b的關(guān)系式，可求離心率；或仿照(1)題的做法也可以求解【自主解答】(1)依題意有p(c,2c)，點p在橢圓上，所以有1，整理得b2c24a2c2a2b2，又因為b2a2c2，代入得c46a2c2a40，即e46e210，解得e232(32舍去)，從而e1.(2)方法一：設(shè)焦點坐標(biāo)為f1(c,0)，f2(c,0)，m是橢圓上一點，依題意設(shè)m點坐標(biāo)為(c，b)在rtmf1f2中，f1fmfmf，即4c2b2mf，而mf1mf2b2a，整理，得3c23a22ab.又c2a2b2 3b2a.e21，e.法二：設(shè)m，代入橢圓方程，得1，即e.【答案】(1)1 (2)規(guī)律方法求橢圓離心率及范圍的兩種方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解.若已知a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式e求解.(2)方程法：若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系式，借助于a2b2c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或范圍.跟蹤訓(xùn)練3橢圓1(ab0)的左、右焦點分別是f1、f2，過f1作傾斜角為45的直線與橢圓的一個交點為m，若mf2垂直于x軸，則橢圓的離心率為_. 【導(dǎo)學(xué)號：95902092】【解析】因為mf2垂直于x軸，mf1f245，所以mf1f2是等腰直角三角形，以mf1為斜邊設(shè)mf1m(m0)，則mf2f1f2m，又因為f1，f2是橢圓的左、右焦點，所以mf1mf22a，即2a(1)m，而2cf1f2m，所以e1.【答案】1直線與橢圓的綜合應(yīng)用探究問題1已知直線ykxm和橢圓1(ab0)，如何判斷直線與橢圓的位置關(guān)系？【提示】由得(a2k2b2)x22kma2xa2(m2b2)0，設(shè)該二次方程的判別式為，若0，則直線與橢圓有兩個交點；若0，則直線與橢圓有一個交點；若0，則直線與橢圓沒有交點2如果直線與橢圓有兩個交點，那么直線與橢圓交點的橫坐標(biāo)與探究1中得到的關(guān)于x的二次方程有什么關(guān)系？【提示】探究1中得到的關(guān)于x的二次方程(a2k2b2)x22kma2xa2(m2b2)0的兩個根分別是直線與橢圓交點的橫坐標(biāo)3設(shè)直線與橢圓有兩個交點為a(x1，y1)，b(x2，y2)，線段ab的中點為m，那么如何求線段ab的長和m的坐標(biāo)？【提示】方法一：解方程(a2k2b2)x22kma2xa2(m2b2)0，可得x1，x2，由ykxm可得y1，y2，即得a(x1，y1)，b(x2，y2)的坐標(biāo)，然后利用兩點間距離公式和中點坐標(biāo)公式可求線段ab的長和m的坐標(biāo)方法二：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，采取“設(shè)而不求”思路解決問題即 ab，點m的坐標(biāo)可直接利用根與系數(shù)的關(guān)系求解上述兩種方法，第一種方法運算太過繁瑣，一般采用第二種方法求解此類問題如圖222所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓1(ab0)的焦距為2，過右焦點f的直線l交橢圓于a、b兩點，當(dāng)l與x軸垂直時，ab長為.圖222(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若橢圓上存在一點p，使得，求直線l的斜率. 【導(dǎo)學(xué)號：95902093】【自主解答】(1)由題意可知2c2，c1，當(dāng)l與x軸垂直時|ab|，由a2b2c2，得a，b，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：1.(2)設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程：yk(x1)，設(shè)點a(x1，y1)，b(x2，y2)，p(x3，y3)由，可得(3k22)x26k2x3k260，則x1x2，x1x2.因為則，代入橢圓方程1，又1，1，化簡得2x1x23y1y230，即(3k22)x1x23k2(x1x2)3k230將x1x2，x1x2代入得3k263k230，化簡得k22，k，故直線l的斜率為.規(guī)律方法橢圓是圓錐曲線中重要的一種曲線，它可以同其它章節(jié)知識結(jié)合考查，如不等式、三角函數(shù)及平面向量，特別是與直線方程，解決這類問題時要注意方程思想、函數(shù)思想及轉(zhuǎn)化思想，其中利用方程中根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程或函數(shù)是常用的技巧.跟蹤訓(xùn)練4已知橢圓1(ab0)的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為2.(1)求該橢圓的方程；(2)若p是該橢圓上的一個動點，f1、f2分別是橢圓的左、右焦點，求的最大值與最小值【解】(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，由題意，且a2，得c，b1，所求橢圓方程為y21.(2)設(shè)p(x，y)，由(1)知f1(，0)，f2(，0)，則(x，y)(x，y)x2y23x23x22，x2,2，當(dāng)x0，即點p為橢圓短軸端點時，有最小值2；當(dāng)x2，即點p為橢圓長軸端點時，有最大值1.構(gòu)建體系當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1已知中心在原點的橢圓c的右焦點為f(1,0)，離心率等于，則c的方程是_. 【導(dǎo)學(xué)號：95902094】【解析】由題意知c1，e，所以a2，b2a2c23.故所求橢圓方程為1.【答案】12已知橢圓1有兩個頂點在直線x2y2上，則此橢圓的焦點坐標(biāo)是_【解析】直線x2y2過(2,0)和(0,1)點，a2，b1，c，橢圓焦點坐標(biāo)為(，0)【答案】(，0)3若橢圓x2my21的焦點在y軸上，且長軸長是短軸長的兩倍則m的值為_. 【導(dǎo)學(xué)號：95902095】【解析】將原方程變形為x21.由題意知a2，b21，a，b1.2，m.【答案】4已知橢圓1(ab0)的兩焦點為f1、f2，以f1f2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為_【解析】設(shè)過左焦點f1的正三角形的邊交橢圓于a，則af1c，af2c，有2a(1)c，e1.【答案】15當(dāng)m取何值時，直線l：yxm與橢圓9x216y