高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第7章 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法課件 新人教A版.ppt

第七節(jié)立體幾何中的向量方法 理 1 理解直線的方向向量與平面的法向量 2 能用向量語(yǔ)言表述直線與直線 直線與平面 平面與平面的垂直 平行關(guān)系 3 能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理 包括三垂線定理 4 能用向量方法解決直線與直線 直線與平面 平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題 了解向量方法在研究立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用 一 直線的方向向量和平面的法向量1 直線的方向向量直線l上的向量e或與e的向量叫做直線l的方向向量 顯然一條直線的方向向量有個(gè) 共線 無(wú)數(shù) 2 平面的法向量如果表示向量n的有向線段所在直線垂直于平面 則稱這個(gè)向量垂直于平面 記作n 此時(shí)向量n叫做平面 的法向量 顯然一個(gè)平面的法向量也有個(gè) 且它們是向量 無(wú)數(shù)多 共線 求平面法向量的一般步驟是什么 二 利用向量求空間角1 求兩條異面直線所成的角設(shè) 分別是兩異面直線l1 l2的方向向量 則 cos a n 3 求二面角的大小 1 若ab cd分別是二面角 l 的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線 則二面角的大小就是的夾角 如圖 2 設(shè)n1 n2分別是二面角 l 的兩個(gè)面 的法向量 則向量n1與n2的夾角 或其補(bǔ)角 的大小就是 如圖 二面 角的平面角的大小 三 求空間距離1 若a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 則 ab 2 a2 a a a 2 3 點(diǎn)面距離的求法 設(shè)n是平面 的法向量 點(diǎn)a在平面 內(nèi) 點(diǎn)b在平面 外 則點(diǎn)b到平面 的距離為 線面距 面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離再用 3 中方法求解 1 若直線l1 l2的方向向量分別為a 2 4 4 b 6 9 6 則 a l1 l2b l1 l2c l1與l2相交但不垂直d 以上均不正確解析 a b 2 6 4 9 6 4 0 a b 從而l1 l2 答案 b 2 若平面 與平面 的法向量分別是a 4 0 2 b 4 0 2 則平面 與 的位置關(guān)系是 a 平行b 垂直c 相交但不垂直d 無(wú)法判斷解析 由題意 有a b a與b共線 從而 與 平行 答案 a 答案 d 4 已知兩平面的法向量分別為m 0 1 0 n 0 1 1 則兩平面所成的二面角的大小為 答案 45 或135 5 在正方體abcd a1b1c1d1中 m是ab的中點(diǎn) 則對(duì)角線db1與cm所成角的余弦值為 利用直線的方向向量和平面的法向量 可以判定直線與直線 直線與平面 平面與平面的平行和垂直 1 設(shè)直線l1的方向向量為u1 a1 b1 c1 直線l2的方向向量為u2 a2 b2 c2 則l1 l2 u1 u2 a1 b1 c1 k a2 b2 c2 k r l1 l2 u1 u2 a1a2 b1b2 c1c2 0 2 設(shè)直線l的方向向量為u a1 b1 c1 平面 的法向量為n a2 b2 c2 則l u n a1a2 b1b2 c1c2 0 l u n a1 b1 c1 k a2 b2 c2 k r 3 設(shè)平面 的法向量為n1 a1 b1 c1 平面 的法向量為n2 a2 b2 c2 則 n1 n2 a1 b1 c1 k a2 b2 c2 k r n1 n2 a1a2 b1b2 c1c2 0 如圖 已知直三棱柱abc a1b1c1中 abc為等腰直角三角形 bac 90 且ab aa1 d e f分別為b1a c1c bc的中點(diǎn) 求證 1 de 平面abc 2 b1f 平面aef 思路點(diǎn)撥 利用向量法可以a為坐標(biāo)原點(diǎn) 建立空間直角坐標(biāo)系 自主解答 如圖建立空間直角坐標(biāo)系a xyz 令ab aa1 4 則a 0 0 0 e 0 4 2 f 2 2 0 b 4 0 0 b1 4 0 4 1 取ab中點(diǎn)為n 則n 2 0 0 c 0 4 0 d 2 0 2 活學(xué)活用 1 如圖所示 在四棱錐p abcd中 pc 平面abcd pc 2 在四邊形abcd中 b c 90 ab 4 cd 1 點(diǎn)m在pb上 pb 4pm pb與平面abcd成30 的角 求證 1 cm 平面pad 2 平面pab 平面pad 1 求異面直線所成角時(shí)注意的問(wèn)題利用向量的夾角來(lái)求異面直線的夾角時(shí) 注意區(qū)別 當(dāng)異面直線的向量的夾角為銳角或直角時(shí) 就是該異面直線的夾角 當(dāng)異面直線的向量的夾角為鈍角時(shí) 其補(bǔ)角才是異面直線的夾角 2 利用向量法求線面角的方法一是分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量 轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角 或其補(bǔ)角 二是通過(guò)平面的法向量來(lái)求 即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角 取其余角就是斜線和平面所成的角 思路點(diǎn)撥 1 利用所建坐標(biāo)系 準(zhǔn)確寫(xiě)出所需點(diǎn)的坐標(biāo)代入夾角公式 2 先求面sab的一個(gè)法向量 代入夾角公式 注意所求角與此夾角的關(guān)系 活學(xué)活用 2 如圖 四棱柱abcd a1b1c1d1中 a1d 平面abcd 底面abcd是邊長(zhǎng)為1的正方形 側(cè)棱aa1 2 1 求證 c1d 平面abb1a1 2 求直線bd1與平面a1c1d所成角的正弦值 解 1 證明 四棱柱abcd a1b1c1d1中 bb1 cc1 又cc1 平面abb1a1 所以cc1 平面abb1a1 又四邊形abcd是正方形 所以cd ab 又cd 平面abb1a1 所以cd 平面abb1a1 所以平面cdd1c1 平面abb1a1 所以c1d 平面abb1a1 利用空間向量方法求二面角 可以有兩種辦法 一是分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)找到一個(gè)與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個(gè)向量 則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大小 二是通過(guò)平面的法向量來(lái)求 設(shè)二面角的兩個(gè)面的法向量分別為n1和n2 則二面角的大小等于 n1 n2 或 n1 n2 12分 如圖 已知長(zhǎng)方體abcd a1b1c1d1 ab 2 aa1 1 直線bd與平面aa1b1b所成的角為30 ae垂直于bd于點(diǎn)e f為a1b1的中點(diǎn) 1 求異面直線ae與bf所成角的余弦值 2 求平面bdf與平面aa1b所成二面角 銳角 的余弦值 思路點(diǎn)撥 規(guī)范解答 以a為坐標(biāo)原點(diǎn) 以ab ad aa1所在直線分別為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示 根據(jù)幾何體的特征 建立空間直角坐標(biāo)系 特別提醒 在空間直角坐標(biāo)系中 常采用待定系數(shù)法求平面的法向量 高考中以兩點(diǎn)距與點(diǎn)面距為重點(diǎn) 而線面距 面面距通常可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距求解 兩點(diǎn)距一般用向量的模求解 即利用兩點(diǎn)間的距離公式 而點(diǎn)面距主要利用平面的法向量求解 有時(shí)也利用直接法或等體積轉(zhuǎn)化法求解 思路點(diǎn)撥 由面sac 面abc sa sc ba bc 可知本題可取ac中點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn) 分別以oa ob os所在直線為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標(biāo)系 用向量法求解 自主解答 取ac中點(diǎn)o 連結(jié)os ob sa sc ab bc ac so ac bo 平面sac 平面abc 平面sac 平面abc ac so 平面abc so bo 活學(xué)活用 3 在四棱錐p abcd中 底面abcd是矩形 pa 平面abcd pa ad 1 ab 2 e f分別是ab pd的中點(diǎn) 1 求證 af 平面pec 2 求二面角p ec d的余弦值 3 求點(diǎn)b到平面pec的距離 答題樣板 第一步 建立空間直角坐標(biāo)系 第二步 確定點(diǎn)的坐標(biāo) 第三步 求向量 直線的方向向量 平面的法向量 坐標(biāo) 第四點(diǎn) 計(jì)算向量的夾角 或函數(shù)值 第五步