(課件教學設計拓展練習)7哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想兩百多年前，彼得堡科學院院士哥德巴赫曾研究過“將一個數(shù)表示成幾個素數(shù)的和”的問題，他取了很多數(shù)做試驗，想把它們分解成幾個素數(shù)的和，結(jié)果得到一個斷語：“總可將任何一個數(shù)分解成不超過三個素數(shù)之和”但是哥德巴赫不能證明這個問題，甚至連如何證明的方法也沒有，于是他寫信給另一名彼得堡科學院院士、著名數(shù)學家歐拉，他在1742年6月7日的信中寫道：“我想冒險發(fā)表下列假定大于5的任何數(shù)都是三個素數(shù)的和”這就是后來舉世聞名的哥德巴赫猜想同年6月30日，歐拉在給哥德巴赫的回信中說：“我認為每一個偶數(shù)都是兩個素數(shù)之和，雖然我還不能證明它，但我確信這個論斷是完全正確的”這兩個數(shù)學家的通信內(nèi)容傳播出來之后，人們就稱這個猜想為哥德巴赫猜想或者哥德巴赫-歐拉猜想完整地說，哥德巴赫猜想是：大于1的任何數(shù)都是三個素數(shù)的和后來，人們把它歸納為：命題A：每一個大于或者等于6的偶數(shù)，都可以表示為兩個奇素數(shù)的和；命題B：每一個大于或者等于9的奇數(shù)，都可以表示為三個奇素數(shù)的和例如：50=19+31； 51=7+13+31；52=23+29； 53=3+19+31或50=3+47=7+43=13+37=19+31等1900年，著名數(shù)學家希爾伯特在巴黎國際數(shù)學家會議上提出了國際數(shù)學要研究的23個題目(后被稱為希爾伯特問題)，其中哥德巴赫猜想命題A與另外兩個有關問題一起，被概括成希爾伯特第8問題這是著名的世界難題1912年，第五屆國際數(shù)學家會議上，著名數(shù)論大師蘭道發(fā)言說，有四個數(shù)論上的問題是當時的科學水平不能解決的，其中一個是哥德巴赫猜想，即使把它改為較弱的命題：不論是不超過3個，還是不超過30個，只要證明存在著這樣的正數(shù)C，而能使每一個大于或等于2的整數(shù)，都可以表示為不超過C個素數(shù)之和”(稱為命題C)，也是當代數(shù)學家力所不能及的1921年，著名數(shù)論大師哈代，在哥本哈根召開的國際數(shù)學會議上說，哥德巴赫猜想的困難程度，可以與任何沒有解決的數(shù)學問題相比，是極其困難的，但是他沒有說是不可能的事情出乎意料，哥德巴赫猜想問題的解決出現(xiàn)了一些轉(zhuǎn)機，堅不可摧的哥德巴赫堡壘正在逐個被攻破1930年，25歲的蘇聯(lián)數(shù)學家列夫格里高維奇西涅日爾曼(19051938)，用他創(chuàng)造的“正密率法”證明了蘭道認為當代數(shù)學家力所不能及的命題C，還估算出這個數(shù)C不會超過S，并算出S800000人們稱S為西涅日爾曼常數(shù)這是哥德巴赫猜想的第一個重大突破，可惜這位天才數(shù)學家只活了33歲1930年以后，數(shù)學家蘭道、羅曼諾夫、赫力邦、李奇等對西涅日爾曼方法作了最準確的分析，競相縮小S的估值，到1937年，得到S67，又是一大進步重要的是，不論一個數(shù)是多么大，都可將它分解成素數(shù)的和的問題已被證明了，如對于數(shù)835042000000000000000000000或者對于我們已知的999(這個數(shù)之大可以寫出來編成30大卷的書)，我們同樣可以斷定，它們可以表示成不超過67個素數(shù)的和甚至休克斯提出的“空前的數(shù)”這種比999大得多的數(shù)，也能根據(jù)西涅日爾曼的證明，表示成不超過67個素數(shù)的和的形狀1937年，蘇聯(lián)科學院院士伊凡馬特維奇維諾格拉多夫，應用英國數(shù)學家哈代與李脫伍特創(chuàng)造的“圓法”和他創(chuàng)造的“三角和法”證明了：對于充分大的奇數(shù)，西涅日爾曼常數(shù)不超過3或者說成：對于充分大的奇數(shù)，都可表示為三個奇數(shù)之和維諾格拉多夫基本上解決了命題B、通常稱為“三素數(shù)定理”他的工作，相當于證明了西涅日爾曼常數(shù)S4命題B基本上被解決了，然而到命題A的證明竟是如此困難，有人從63300000中的任何偶數(shù)，發(fā)現(xiàn)都能表示成兩個奇素數(shù)之和，但這僅是驗證，人們追求的仍然是從數(shù)學上證明，每個大于或等于6的偶數(shù)都可表示為兩個奇素數(shù)之和，再多的有限數(shù)，即使大到無法想象的數(shù)也無用，除非找到反例否定哥德巴赫猜想人們在研究命題A的過程中，開始引進了“殆素數(shù)”的概念所謂“殆素數(shù)”就是素數(shù)因子(包括相同的和不同的)的個數(shù)不超過某一固定常數(shù)的自然數(shù)我們知道，除1以外，任何一個正整數(shù)，一定能表示成若干素數(shù)的乘積，其中每一個素數(shù)，都叫做這個正整數(shù)的素因子相同的素因子要重復計算，它有多少素因子是一個確定的數(shù)例如，從2530這六個數(shù)中，25=55 有2個素因子，26=213 有2個素因子，27=333 有3個素因子，23=227 有3個素因子，29是素數(shù) 有1個素因子，30=235 有3個素因子于是可說25、26、29是素因子不超過2的殆素數(shù)，27、28、30是素因子不超過3的殆素數(shù)用殆素數(shù)的新概念，可以提出命題D來接近命題A命題D：每一個充分大的偶數(shù)，都是素因子的個數(shù)不超過m與n的兩個殆素數(shù)之和這個命題簡化為“m+n”這樣，哥德巴赫猜想的最后證明的方向就更明朗化了：如果能證明，凡是比某一個正整數(shù)大的任何偶教，都能表示成一個素數(shù)加上兩個素數(shù)相乘，或者表示成一個素數(shù)加上一個素數(shù)，就算證明了“1+2”當然如果能證明“1+1”就基本上證明了命題A，也就基本解決了哥德巴赫猜想了 1920年， 挪威數(shù)學家布朗證明了“9+9”1924年， 德國數(shù)學家拉代馬哈證明了“7+7”1932年， 英國數(shù)學家埃斯特曼證明了“6+6”1938年， 蘇聯(lián)數(shù)學家布赫雪托布證明了“5+5”1940年， 蘇聯(lián)數(shù)學家布赫雪托布證明了“4+4”1938年， 中國數(shù)學家華羅庚證明了幾乎全體偶數(shù)都能表示成兩個素 數(shù)之和，即幾乎所有偶數(shù)“1+1”成立1956年， 中國數(shù)學家王元證明了“3+4”1956年， 蘇聯(lián)數(shù)學家維諾格拉多夫證明了“3+3”1957年， 中國數(shù)學家王元又證明了“2+3”1962年， 中國年輕數(shù)學家潘承桐證明了“1+5”，這是證明了相加的兩個數(shù)中，有一個肯定是素數(shù)的成果，而另一個殆素數(shù)的因子小到不超過51962年， 蘇聯(lián)數(shù)學家巴爾巴恩也證明了”1+5”1963年， 中國數(shù)學家王元、潘承桐及蘇聯(lián)數(shù)學家巴爾巴恩分別證明了“1+4”1965年， 維諾格拉多夫、布赫雪托布證明了“1+3”1965年， 意大利數(shù)學家朋比尼也證明了“1+3”1966年， 中國數(shù)學家陳景潤宣布證明了“1+2”這是在經(jīng)歷了240年的漫長的歷程中所取得的全世界公認的最好的研究成果，可是由于沒有發(fā)表詳細的證明，因此在國際上反響不大1973年， 陳景潤在極其困難的條件下，繼續(xù)奮戰(zhàn)，發(fā)表了他的著名論文：大偶數(shù)表為一個素數(shù)及一個不超過二個素數(shù)的乘積之和，公布了全部詳細的論證這一成就立即轟動了全世界，在數(shù)學界引起了強烈的反響人們都稱道中國年輕數(shù)學家陳景潤的巨大貢獻英國數(shù)學家哈勃斯丹和西德數(shù)學家李希特合著的數(shù)論著作篩法已在印刷廠排印，當見到陳景潤的論文后，立即增補了專章，并冠以“陳氏定理”，基本上全文轉(zhuǎn)載了陳景潤的論文這使我