數(shù)學期望性質與應用舉例.doc

5. 數(shù)學期望的基本性質利用數(shù)學期望的定義可以證明，數(shù)學期望具有如下基本性質： 設, 為隨機變量，且E()，E()都存在，a，b，c為常數(shù)，則性質1. E(c)=c； 性質2. E(a)=aE()； 性質3.E(a+)=E()+a； 性質4. E(a+b)=aE()+b； 性質5. E(+)=E()+E() 例3.5.7 設隨機變量X的概率分布為: P(X =k)=0.2 k =1,2,3,4,5. 求E(X),E(3X+2) 解. P(X=k)=0.2k=1,2,3,4,5由離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義可知 E(X)=10.2+20.2+30.2+40.2+50.2=3，E(3X+2)=3E(X)+2=11 例3.5.8.設隨機變量X的密度函數(shù)為: 求E(X),E(2X-1) 解. 由連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望的定義可知 =-1/6+1/6=0 E(2X-1)=2E(X)-1=-1 我們已經學習了離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望,在隨機變量的數(shù)字特征中,除數(shù)學期望外,另一重要的數(shù)字特征就是方差.4.1.2數(shù)學期望的性質（1）設 是常數(shù)，則有 。證把常數(shù) 看作一個隨機變量，它只能取得唯一的值 ，取得這個值的概率顯然等于1。所以， 。（2）設 是隨機變量， 是常數(shù)，則有 。證若 是連續(xù)型隨機變量，且其密度函數(shù)為 。 。當 是離散型隨機變量的情形時，將上述證明中的積分號改為求和號即得。（3）設 都是隨機變量，則有 。此性質的證明可以直接利用定理4.1.2，我們留作課后練習。這一性質可以推廣到有限個隨機變量之和的情況，即 。（4）設 是相互獨立的隨機變量，則 。 證僅就 與 都是連續(xù)型隨機變量的情形來證明。設 的概率密度分別為 和 ， 的聯(lián)合概率密度為 ，則因為 與 相互獨立，所以有 。由此得 此性質可以推廣到有限個相互獨立的隨機變量之積的情況。例4.1.2倒扣多少分？李老師喜歡在考試中出選擇題，但他知道有些學生即使不懂哪個是正確答案也會亂撞一通，隨便選一個答案，以圖僥幸。為了對這種不良風氣加以處罰，唯一辦法就是對每一個錯誤的答案倒扣若干分。假設每條選擇題有五個答案，只有一個是正確的。在某次考試中，李老師共出20題，每題5分，滿分是100分。他決定每一個錯誤答案倒扣若干分，但應倒扣多少分才合理呢？倒扣太多對學生不公平，但倒扣太少又起步了杜絕亂選的作用。倒扣的分 數(shù)，應該恰到好處，使亂選一通的學生一無所獲。換句話說，如果學生完全靠運氣的話，他的總分的數(shù)學期望應該是0。假定對一個錯誤答案倒扣 分，而正確答案得5分。隨意選一個答案，選到錯誤答案的概率是 ，選到正確答案的概率是 ，所以總分的數(shù)學期望是 。要它是0，由此 ，即是對每一個錯誤答案應該倒扣 分。要是這樣，對一個只答對六成的學生（但不是亂選一通之流）來說，他的總分仍然有 ，并不算不公平吧？例4.1.3某制藥廠試制一種新藥治療某種疾病。對600人作臨床試驗，其中300人服用新藥，而另外300人未服，4天后，有320人康復，其中260人服用了新藥。問這種新藥療效如何？分析（1）無論病人服藥與否，可能的結果都有兩個：痊愈與未愈，所以為了能夠使用概率方法解決這個問題，應該想到引入兩點分布的隨機變量；（2）評價藥物療效好壞，僅對兩組中的某兩個個體的治療效果進行比較是不行的，而應該比較兩組病人的平均治療效果。解 引入 “病人服用新藥后的結果”； “病人未服用新藥的結果”。 ， ，由題設知 ， ，故 ， ， ，故 ，比較 與 可知新藥對治療此種病療效顯著。例4.1.4十個獵人等候野鴨飛來，當一群鴨飛來，獵人同時射擊，但每人任選自己的目標，且不互相影響，若每一人獨自打中目標的概率是 ，若10只野鴨飛來，計算沒有被打中的鴨數(shù)的期望值。解設 沒有被打中的鴨數(shù)為 。首先計算 ，每一人打中第 只鴨的概率是 ，所以， 進而， 。注將一個“復雜”的隨機變量分解為若干個“簡單”的隨機變量之和 ，是研究隨機變量的一種基本方法。將 個球隨機地放入 個盒子中去，每個球放入各個盒子是等可能的，求有球的盒子數(shù) 的數(shù)學期望。提示設 。 的分布律為01于是有 。故 。 假設由自動線加工的某種零件的內徑 （以毫米計），服從正態(tài)分布 。已知銷售每個零件的利潤 （元）與銷售零件的內徑 有如下關系： 問平均內徑 為何值時，銷售一個零件的平均利潤最大