數(shù)學(xué)期望性質(zhì)與應(yīng)用舉例.doc

5. 數(shù)學(xué)期望的基本性質(zhì)利用數(shù)學(xué)期望的定義可以證明，數(shù)學(xué)期望具有如下基本性質(zhì)： 設(shè), 為隨機(jī)變量，且E()，E()都存在，a，b，c為常數(shù)，則性質(zhì)1. E(c)=c； 性質(zhì)2. E(a)=aE()； 性質(zhì)3.E(a+)=E()+a； 性質(zhì)4. E(a+b)=aE()+b； 性質(zhì)5. E(+)=E()+E() 例3.5.7 設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為: P(X =k)=0.2 k =1,2,3,4,5. 求E(X),E(3X+2) 解. P(X=k)=0.2k=1,2,3,4,5由離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義可知 E(X)=10.2+20.2+30.2+40.2+50.2=3，E(3X+2)=3E(X)+2=11 例3.5.8.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為: 求E(X),E(2X-1) 解. 由連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義可知 =-1/6+1/6=0 E(2X-1)=2E(X)-1=-1 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,在隨機(jī)變量的數(shù)字特征中,除數(shù)學(xué)期望外,另一重要的數(shù)字特征就是方差.4.1.2數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（1）設(shè) 是常數(shù)，則有 。證把常數(shù) 看作一個(gè)隨機(jī)變量，它只能取得唯一的值 ，取得這個(gè)值的概率顯然等于1。所以， 。（2）設(shè) 是隨機(jī)變量， 是常數(shù)，則有 。證若 是連續(xù)型隨機(jī)變量，且其密度函數(shù)為 。 。當(dāng) 是離散型隨機(jī)變量的情形時(shí)，將上述證明中的積分號改為求和號即得。（3）設(shè) 都是隨機(jī)變量，則有 。此性質(zhì)的證明可以直接利用定理4.1.2，我們留作課后練習(xí)。這一性質(zhì)可以推廣到有限個(gè)隨機(jī)變量之和的情況，即 。（4）設(shè) 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則 。 證僅就 與 都是連續(xù)型隨機(jī)變量的情形來證明。設(shè) 的概率密度分別為 和 ， 的聯(lián)合概率密度為 ，則因?yàn)?與 相互獨(dú)立，所以有 。由此得 此性質(zhì)可以推廣到有限個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之積的情況。例4.1.2倒扣多少分？李老師喜歡在考試中出選擇題，但他知道有些學(xué)生即使不懂哪個(gè)是正確答案也會(huì)亂撞一通，隨便選一個(gè)答案，以圖僥幸。為了對這種不良風(fēng)氣加以處罰，唯一辦法就是對每一個(gè)錯(cuò)誤的答案倒扣若干分。假設(shè)每條選擇題有五個(gè)答案，只有一個(gè)是正確的。在某次考試中，李老師共出20題，每題5分，滿分是100分。他決定每一個(gè)錯(cuò)誤答案倒扣若干分，但應(yīng)倒扣多少分才合理呢？倒扣太多對學(xué)生不公平，但倒扣太少又起步了杜絕亂選的作用。倒扣的分 數(shù)，應(yīng)該恰到好處，使亂選一通的學(xué)生一無所獲。換句話說，如果學(xué)生完全靠運(yùn)氣的話，他的總分的數(shù)學(xué)期望應(yīng)該是0。假定對一個(gè)錯(cuò)誤答案倒扣 分，而正確答案得5分。隨意選一個(gè)答案，選到錯(cuò)誤答案的概率是 ，選到正確答案的概率是 ，所以總分的數(shù)學(xué)期望是 。要它是0，由此 ，即是對每一個(gè)錯(cuò)誤答案應(yīng)該倒扣 分。要是這樣，對一個(gè)只答對六成的學(xué)生（但不是亂選一通之流）來說，他的總分仍然有 ，并不算不公平吧？例4.1.3某制藥廠試制一種新藥治療某種疾病。對600人作臨床試驗(yàn)，其中300人服用新藥，而另外300人未服，4天后，有320人康復(fù)，其中260人服用了新藥。問這種新藥療效如何？分析（1）無論病人服藥與否，可能的結(jié)果都有兩個(gè)：痊愈與未愈，所以為了能夠使用概率方法解決這個(gè)問題，應(yīng)該想到引入兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量；（2）評價(jià)藥物療效好壞，僅對兩組中的某兩個(gè)個(gè)體的治療效果進(jìn)行比較是不行的，而應(yīng)該比較兩組病人的平均治療效果。解 引入 “病人服用新藥后的結(jié)果”； “病人未服用新藥的結(jié)果”。 ， ，由題設(shè)知 ， ，故 ， ， ，故 ，比較 與 可知新藥對治療此種病療效顯著。例4.1.4十個(gè)獵人等候野鴨飛來，當(dāng)一群鴨飛來，獵人同時(shí)射擊，但每人任選自己的目標(biāo)，且不互相影響，若每一人獨(dú)自打中目標(biāo)的概率是 ，若10只野鴨飛來，計(jì)算沒有被打中的鴨數(shù)的期望值。解設(shè) 沒有被打中的鴨數(shù)為 。首先計(jì)算 ，每一人打中第 只鴨的概率是 ，所以， 進(jìn)而， 。注將一個(gè)“復(fù)雜”的隨機(jī)變量分解為若干個(gè)“簡單”的隨機(jī)變量之和 ，是研究隨機(jī)變量的一種基本方法。將 個(gè)球隨機(jī)地放入 個(gè)盒子中去，每個(gè)球放入各個(gè)盒子是等可能的，求有球的盒子數(shù) 的數(shù)學(xué)期望。提示設(shè) 。 的分布律為01于是有 。故 。 假設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件的內(nèi)徑 （以毫米計(jì)），服從正態(tài)分布 。已知銷售每個(gè)零件的利潤 （元）與銷售零件的內(nèi)徑 有如下關(guān)系： 問平均內(nèi)徑 為何值時(shí)，銷售一個(gè)零件的平均利潤最大