多元函數(shù)微分學及其應用.doc

第九章 多元函數(shù)微分學及其應用第九章 多元函數(shù)微分學及其應用 第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念1、求下列各函數(shù)的定義域，并作出其草圖.(1) ； 解: 定義域,圖略(2) ；解: 由得:定義域,圖略(3) 解: 由得:定義域,圖略設，求解:令,得： 代入得故3、求下列極限：(1) ； 解: (直接代入)原式= (2) ；解:原式=(3)； 解:原式= 4、判斷下列極限是否存在，若存在，求出極限值(1)；解:當時，令，則，其值與有關，故極限不存在(2)；解:當時，有，故5、設，求和試問：極限是否存在？為什么？解: ，極限不存在，因為當時，令，其值與有關6、研究函數(shù)的連續(xù)性（在哪些點連續(xù)，哪些點不連續(xù)）解:，故函數(shù)在處不連續(xù)，其它處均連續(xù)第二節(jié) 偏導數(shù)填空題：(1) 在處均存在是在該點連續(xù)的 既非充分也非必要 條件；(2)曲線在點處的切線與軸正向所成的角是；(3)設，則，；(4)設，則，2求下列函數(shù)的一階偏導數(shù)：(1) ；解: ， (2) 解: ，(3) ；解: ，3求下列函數(shù)的二階偏導數(shù)：(1)解: ，(2) ；解: ，4設函數(shù)判斷其在點處的連續(xù)性和偏導數(shù)是否存在解: 1）故函數(shù)在點處連續(xù)；2），極限不存在，故此點處關于的偏導數(shù)不存在第三節(jié) 全微分填空選擇題：(1)二元函數(shù)在點處可微的充分必要條件是，其中,為表達式,(2) 在點處存在的充分條件為的全部二階偏導數(shù)均存在； 連續(xù)；的全部一階偏導數(shù)均連續(xù)； 連續(xù)且均存在2求函數(shù)當，時的全增量和全微分解:3求下列函數(shù)的全微分：(1) 解: ，(2) 解: ，(3) 解: ，4討論函數(shù)在點處的可導性與可微性解:, ,故函數(shù)在點處的偏導數(shù)存在；但，其中易知當沿直線趨于時此極限不存在。故函數(shù)在點處不可微第四節(jié) 多元復合函數(shù)的求導法則求下列函數(shù)的偏導數(shù)或全導數(shù)：(1) ，解:= (2) ，其中可導解: (3) ，其中可導解: =(4)設，求解: (5) ，解:= 2求下列函數(shù)的偏導數(shù)：(1) ，其中可導，求，解: (2) ，其中可導，求，解: ，= ，=(3) 設，其中二階可導，求，解: ，=(4) 設具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求，解: ，=3已知函數(shù)，可導，驗證滿足證明：，故第五節(jié) 隱函數(shù)的求導公式1設方程確定了隱函數(shù)，求解:（公式法）令， 則， 提示：另還可用兩邊直接對自變量求偏導或兩邊求全微分的方法，過程略。下同。2設方程確定了隱函數(shù)，求，解:（公式法）令，則，=3設方程確定了隱函數(shù)，求，解:令，則， =4設隱函數(shù)由方程所確定，證明證明：，,=,故5求下列方程組所確定的隱函數(shù)的導數(shù)或偏導數(shù)：(1)設，求，解: 方程組兩邊直接對自變量求偏導，得：故，(2)設，求，解: 方程組兩邊直接對自變量求偏導，得：故=，=同理可得到：=，=6設而是由所確定的的函數(shù)，其中均有一階連續(xù)的偏導數(shù)，求解:聯(lián)立方程組兩邊直接對自變量求偏導，得：故第六節(jié) 多元函數(shù)微分學的幾何應用1求曲線在對應的點處的切線方程和法平面方程解:切向量曲線在對應的點處的切線方程為：，法平面方程為：，即2求曲線在點處的切線方程及法平面方程解:用隱函數(shù)組求導的方法得到，點處的切向量曲線在對應點處的切線方程為：，法平面方程為：3求曲面在點處的切平面方程和法線方程解: 法向量故所求切平面方程為即法線方程為：4求橢球面上某點處的切平面的方程，使平面過已知直線解:設點的坐標為 ，則切平面的法向量，直線過點，且方向向量為，故有，解得或所求切平面方程為或注：上題中在直線上任取兩點的坐標代入平面的方程，同樣可求得點，過程略5設是可微函數(shù)，證明：曲面的切平面平行于某定直線證明：曲面在任意點處切平面的法向量，設向量，有，即，就是過點的某直線的方向向量（常向量），該直線就是所求平行于切平面的定直線第七節(jié)方向導數(shù)與梯度1填空題：(1) 在點處均存在是在該點的方向導數(shù)存在的既不充分也不必要條件(2) 函數(shù)在點沿方向的方向導數(shù)最大，其最大值是2求函數(shù)在點處沿著拋物線在該點處偏向軸正向的切線方向的方向導數(shù)解: ，=3求函數(shù)在點處沿著錐面的外法線方向的方向導數(shù)解: ，錐面的外法線方向為，其方向余弦為，+=4設，求，并求函數(shù)沿該梯度方向的方向導數(shù)解:，=，第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法1填空題：(1)二元函數(shù)的極值只可能在駐點和_不可導點_處取得(2)若函數(shù)在點處具有偏導數(shù)，且在點處有極值，則有_0_,_0_2求函數(shù)的極值解:由得駐點，對四個駐點分別計算，易知，處都有，故都不是極值點，而處，所以當時，函數(shù)在此點取得極小值，當時，函數(shù)在此點取得極大值3求由確定的函數(shù)的極值解:令由隱函數(shù)求導得得駐點， 代入原方程得：，解得，由方程知此曲面為橢球面，故函數(shù)的極大值為，極小值為4求函數(shù)在閉區(qū)域上的最大值和最小值解: (1)求內的駐點：由得，無零點，故內無駐點，函數(shù)的最值只能在邊界上達到；(2) 求函數(shù)在邊界上的最值當時，同理可討論另外三條邊界，得函數(shù)的最大值在處達到，最小值在，三點處達到5經過第一卦限中的點作平面與三坐標軸相交，如何作法使該平面與坐標面圍成的四面體體積最小解:設該平面方程為，則有，目標函數(shù)：四面體體積，作拉格朗日函數(shù)由得駐點由于駐點唯一且此問題定有最小值存在，故知作該平面與三坐標軸的截距分別為時，滿足題意。6求函數(shù)在條件，下的極值解: 作拉格朗日函數(shù)由得駐點，兩曲面，的交線為一個圓心在原點，半徑為的大圓，易得函數(shù)在三點處有極小值，在三點處有極大值第八章綜合練習1用不等式和圖形表示下列二元函數(shù)的定義域：(1)解: 定義域：，圖略(2)解: 定義域：，圖略 2求下列函數(shù)的極限：(1)解: 原式=（直接代入）(2) 解: 原式=（無窮小量乘有界量）3求下列函數(shù)的偏導數(shù)：(1)，求解: ；(2)，求解:， ，4求下列函數(shù)的全微分：(1)；解: ，；(2)解: 5已知，而是方程確定的的函數(shù)，求解: 方程組確定隱函數(shù)組，將它兩邊直接對自變量求偏導，得：故6設由方程確定，求和解: =，=7設具有二階連續(xù)的偏導數(shù)，且滿足，證明：也滿足證明：，8在螺旋線上求一點，使曲線在該點的切線平行于平面解: 切向量平面的法向量為法向量由得， 故所求點為或9求函數(shù)在點處沿向量方向的方向導數(shù)解:方向余弦為，+=10設，試問：參數(shù)滿足什么條件時有唯一極大值？有唯一極小值？