基于ARMA模型的我國GDP時間序列分析與預測VIP

基于ARMA模型的我國GDP時間序列分析與預測摘要:本文分析了1952-2011年我國GDP時間序列，在將該時間序列平穩(wěn)化的基礎上，建立自回歸移動平均模（ARMA）,從中得出我國GDP序列的變化規(guī)律，并且預測未來兩年我國GDP的數(shù)值。關鍵字：時間序列；GDP ；ARMA模型；預測值1. 前言國內生產總值（GDP）代表一國或一個地區(qū)所有常住單位和個人在一定時期內全部生產活動的最終成果，是社會總產品價值扣除了中間投入價值后的余額，是國民經濟各行業(yè)在核算期內增加值的總和。GDP是聯(lián)合國國民經濟核算體系（SNA）中最重要的總量指標，不僅為政策制定者提供了反映經濟總體規(guī)模和結構、貧富狀況和人民平均生活水平的量化依據，而且成為評價各個國家或地區(qū)經濟表現(xiàn)的標尺，為世界各國廣泛使用。在社會經濟高速發(fā)展的條件下，對我國GDP的發(fā)展模式的研究，以及在此基礎上對未來我國GDP的發(fā)展水平的預測就顯得尤為的重要。本文就此對我國GDP時間序列進行分析，并且采用ARMA模型對序列進行擬合，最后在此基礎上對后期二年數(shù)據進行預測。2. ARMA模型2.1 ARMA模型概述ARMA模全稱為自回歸移動平均模型(Auto-regressive Moving Average Model，簡稱 ARMA)是研究時間序列的重要方法。其在經濟預測過程中既考慮了經濟現(xiàn)象在時間序列上的依存性, 又考慮了隨機波動的干擾性, 對經濟運行短期趨勢的預測準確率較高, 是近年應用比較廣泛的方法之一。ARMA模型是由美國統(tǒng)計學家GE1P1Box和英國統(tǒng)計學家G1M1 Jenk in在20世紀70年代提出的著名時序分析模型,即自回歸移動平均模型。ARMA模型有自回歸模型AR(q)、移動平均模型MR(q)、自回歸移動平均模型ARMA(p,q) 3種基本類型。其中ARMA(p,q）自回歸移動平均模型，模型可表示為：其中，為自回歸模型的階數(shù)，為移動平均模型的介數(shù)；表示時間序列在時刻的值；為自回歸系數(shù)；表示移動平均系數(shù)；表示時間序列在時期的誤差或偏差。2.2 ARMA模型建模流程首先用ARMA模型預測要求序列必須是平穩(wěn)的，也就是說，在研究的時間范圍內研究對象受到的影響因素必須基本相同。若所給的序列并非穩(wěn)定序列，則必須對所給的序列做預處理，使其平穩(wěn)化，然后用ARMA模型建模。建模的基本步驟如下：（1）求出該觀察值序列的樣本自相關系數(shù)（ACF)和樣本偏相關（PACF)的值。（2）根據樣本自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)的性質選擇適當?shù)哪Ｐ瓦M行擬合。 （3）估計模型中未知參數(shù)的值。 （4）檢驗模型的有效性。如果擬合模型通不過檢驗，轉向步驟（2），重新選擇模型再擬合。 （5）模型優(yōu)化。如果擬合模型通過檢驗，仍然轉向步驟（2)，充分考慮各種可能，建立多個擬合模型，從所有通過檢驗的擬合模型中選擇最優(yōu)模型。（6）利用擬合模型，預測序列的將來走勢。 3. 我國GDP時間序列模型的建立3.1 數(shù)據的預處理 本文選取了我國1952-2011年的GDP數(shù)據作為時間序列觀察值。對此時間序列做時序圖如圖1所示：圖1 我國GDP時序圖由時間序列的時序圖可以發(fā)現(xiàn)GDP隨時間的增長是呈指數(shù)趨勢。因此，對原始序列作對數(shù)變換并作出其時序圖如圖1所示：圖1 取對數(shù)后的GDP時序圖通過觀察取對數(shù)后的GDP時序圖，發(fā)現(xiàn)經過處理后的序列具有趨勢性。由于GDP帶有很強的趨勢成分, 而我們的目的主要是利用ARMA 模型對其周期成分進行分析, 因此需要對此類的數(shù)據先進行消除趨勢性的處理, 然后建立ARMA模型。拿到觀察值序列之后，無論是采用確定性時序分析方法還是隨機時序分析方法，分析的第一步都是要通過有效的手段提取信息中所蘊含的確定性信息。在Box和Jenkins在Time Series Analysis Forecasting and Control一書中特別強調差分方法的使用，他們使用大量的案例分析證明差分方法是一種非常簡便有效的確定性信息提取方法。實踐中，我們會根據序列的不同特點選擇合適的差分方式，常見情況有以下三種；（1） 序列蘊含著顯著的線性趨勢，一階差分就可以實現(xiàn)趨勢平穩(wěn)。（2） 序列蘊含著曲線趨勢，通常低階（2階或3階）差分就可以提取出曲線趨勢的影響。（3） 蘊含固定周期的序列，一般進行步長為周期長度的差分運算就可以較好地提取周期信息。從理論上而言，足夠多次的差分運算可以充分地提取原序列中的非平穩(wěn)確定性信息。但應當注意的是，差分運算的階數(shù)并不是越多越好。差分運算是一種對信息的提取加工過程，每次差分都會有信息的損失，在實際中差分運算的階數(shù)要適當，應當避免過差分。觀察時序圖2，可使用一階差分就可以提取序列的足夠信息。做一階差分后，做其序列圖3如下：圖3 一階差分后對數(shù)GDP時序圖從圖（3）可以觀察得出，序列大致趨于平穩(wěn)。為了進一步檢驗序列是否真正平穩(wěn)，在此使用Eviews統(tǒng)計軟件對已轉換進行平穩(wěn)性檢驗。對時間序列的平穩(wěn)性有兩種檢驗方法，一種是根據時序圖和自相關圖顯示的特征作出判斷的圖檢驗方法；一種是構造檢驗統(tǒng)計量進行假設檢驗的方法。目前最常用的平穩(wěn)性統(tǒng)計檢驗方法是單位根檢驗（unit root test）。使用單位根檢驗法對變換數(shù)據進行檢驗得出檢驗結果如表1所示：Null Hypothesis: DLOGGDP has a unit roott-StatisticProb1*Augmented Dickey- Fuller Test Statistic-4.12832300540.0018930081454Test Critical Values 1% level-3.5526655874 5% level -2.9145174713 10% level-2.5950333156表1 DLOGGDP一階差分單位根檢驗結合圖3與表1，結果表明序列l(wèi)ogGDP經過一階差分之后序列平穩(wěn)。3.2 模型的識別與選擇計算出樣本自相關系數(shù)和偏相關系數(shù)的值之后，我們主要是根據它們表現(xiàn)出來的性質，選擇適當?shù)腁RMA模型擬合觀察值序列。這個過程實際上就是要根據樣本自相關系數(shù)和偏相關系數(shù)的性質估計自相關階數(shù) 和移動平均階數(shù)，因此模型的識別過程也成為定階過程。一般ARMA模型定階的基本原則如圖4所示：圖4 ARMA(p,q)模型選擇原則利用Eviews統(tǒng)計軟件對差分數(shù)據進行操作，可得樣本自相關系數(shù)和偏相關系數(shù)圖如圖5所示： 圖5 差分序列自相關系數(shù)與偏相關系數(shù)圖通過對一階差分的對數(shù)序列的自相關系數(shù)和偏相關系數(shù)圖的分析觀察，可以知道模型大致可選取兩種模型。第一種，自相關系數(shù)為拖尾，而偏相關系數(shù)為一階截尾。此時選取模型可以為ARIMA（1,1,0）模型。第二種，自相關二階截尾，而偏相關系數(shù)為一階截尾。此時選取模型可以為ARIMA(1,1,2）模型。3.3 參數(shù)估計 選擇擬合好后的模型之后，下一步就是要利用序列的觀察值確定該模型的口徑，即估計模型中未知參數(shù)的值。對于一個非中心化ARMA（p,q）模型，有 式中，該模型共含個未知參數(shù)：。對于未知參數(shù)的估計方法有三種：矩估計極大似然估計和最小二乘估計。其中本文使用最小二乘估計法對序列進行參數(shù)估計。在ARMA(p,q)模型場合，記 殘差項為： 殘差平方和為： 是殘差平方和達到最小的那組參數(shù)值即為的最小估計值。使用Eviews統(tǒng)計軟件操作可得序列兩種可能的參數(shù)估計圖如圖67所示：圖6 ARIMA(1,1,0)模型參數(shù)估計與檢驗結果圖7 ARIMA(1,1,2)模型參數(shù)估計與檢驗結果由圖67模型的參數(shù)估計與檢驗結果對比看，可以知道，ARMA(1，0）模型中其調整后的為0.333657小于ARMA（1,2）模型中的0.373158；而AIC和SC值分別為-2.515346，-2.444297分別小于ARMA(1,2)模型中的-2.559993，-2.453418。根據以上模型的識別與選擇，我們選用了ARIMA(1,1,2)作為最佳預測模型。估計該模型的參數(shù)及模型的相關檢驗結果如圖7。結果表明, 模型ARMA ( 1,1, 2) 的參數(shù)估計值具有統(tǒng)計意義。其展開式為: 3.3.13.4 參數(shù)的顯著性檢驗參數(shù)的顯著性檢驗就是要檢驗每一個未知參數(shù)是否顯著非零。這個檢驗的目的是為了是使模型最精簡。如果某個參數(shù)不顯著，即表示該參數(shù)所對應的那個自變量對因變量的影響不明顯，該自變量就可以從擬合模型中刪除。最終模型將由一系列參數(shù)顯著非零的自變量表示。由圖7模型參數(shù)估計與檢驗結果，可以觀察到t統(tǒng)計量值的值均小于0.05。表明模型參數(shù)顯著。3.5 模型的顯著性檢驗模型的顯著性檢驗主要是檢驗模型的有效性。一個模型是否顯著有效主要看它提取的信息是否充分。一個好的擬合模型應該能夠提取觀察值序列中幾乎所有的樣本相關信息，換言之，擬合殘差項中將不再蘊含任何相關信息，即殘差序列應該為白噪聲序列。這樣的模型我們成為顯著有效模型。反之，如果殘差序列為非白噪聲序列，那就意味著殘差序列中還殘留著相關信息未被提取，這就說明了擬合模型不夠有效。對于序列模型ARMA（1,1,2）我們利用EViews統(tǒng)計軟件進行模型的顯著性檢驗。檢驗結果如圖8所示：圖8 殘差白噪聲檢驗結果此時，可以認為殘差序列是純隨機序列, 模型滿足檢驗要求,即擬合模型顯著有效。3.6 預測序列走勢 由預測方程及其條件方程： 3.3.1 經預測得到2010、2011年的GDP值分別為396975.3億元、484638.24億元 ,其標準差為0.06697。而已知2010、2011年實際GDP分別為403260億元、471563.37億元。預測誤差分別為：預測值與真實值誤差均在3%以內預測較為準確。利用此模型對20122013年GDP進行預測結果如表2所示：表2 20122013年模型預測值年份20122013預測值（億元）549019.4644974.54. 結論時間序列分析的ARMA 模型預測問題, 實質上是通過對社會經濟發(fā)展變化過程的分析研究, 找出其發(fā)展變化的量變規(guī)律性, 用以預測經濟現(xiàn)象的未來。預測時不必考慮其他因素的影響, 僅從序列自身出發(fā), 建立相應的模型進行預測, 這就從根本上避免了尋找主要因素及識別主要因素和次要因素的困難; 和回歸分析相比, 可以避免了尋找因果模型中對隨機擾動項的限定條件在經濟實踐中難以滿足的矛盾。實際上這也是ARMA 模型預測與其他預測方法相比的優(yōu)越性所在。本文運用時間序列的分析方法，對我國歷年的國內生產總值進行分析。將ARIMA（1,1,2）模型對該序列進行擬合，最終得出我國國內生產總值的變化規(guī)律。并且利用模型預測了較為準確的短期兩年預測值。參考文獻：1 王燕.編著.應用時間序列分析（第二版).北京:中國人民大學出版社.2 張曉峒.著.EViews使用指南與案例:機械工業(yè)出版社.3 易丹輝.主編.數(shù)據分析與EViews應用.北京:中國人民大學出版社.4 高敏學李靜萍許健.編著.國民經濟核算原理與中國實踐.中國人民大學出版社,第