橢圓中面積背景下的綜合問題.doc

橢圓中面積背景下的綜合問題典型問題已知直線與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，記與軸的交點(diǎn)為C（）若，且，求此時(shí)面積；（）若，求面積的最大值，及此時(shí)橢圓的方程ABCOxy解題過程（）設(shè)得，原點(diǎn)（0,0）到直線的距離為，所以，=（）， 由，代入上式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)又，因此所以，面積的最大值為，此時(shí)橢圓的方程為.變式拓展一已知橢圓方程為：，過它的兩個(gè)焦點(diǎn)，分別作直線與，交橢圓于兩點(diǎn)，交橢圓于兩點(diǎn)，且求四邊形的面積的取值范圍。解題過程當(dāng)與中有一條直線的斜率不存在，則另一條直線的斜率為0，此時(shí)四邊形的面積為， 若與的斜率都存在，設(shè)的斜率為，則的斜率為 直線的方程為， 設(shè)，聯(lián)立， （1） ， ， （2） 用代替（2）中的，得 ， ，令， ， ， 綜上可知，四邊形面積的. 變式拓展二（2015衢州4月質(zhì)檢）已知橢圓： 設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，記的內(nèi)切圓的面積為，求當(dāng)取最大值時(shí)直線的方程，并求出最大值解題過程 設(shè)，的內(nèi)切圓半徑為，則 所以要使取最大值，只需最大 設(shè)直線的方程為 將代入可得(*) 恒成立，方程(*)恒有解， 記 在上遞減 當(dāng)，此時(shí)變式拓展三（2009福建文改編）已知橢圓 的左、頂點(diǎn)分別為A、B,點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線分別交于兩點(diǎn)， 當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓上是否存在這樣的點(diǎn)，使得的面積為？若存在，確定點(diǎn)的個(gè)數(shù)，若不存在，說明理由解題過程直線AS的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而， 得設(shè)則得， 即又，則直線為得， 故， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)的方程為， 要使橢圓上存在點(diǎn)，使得的面積等于，只須到直線的距離等于，所以在平行于且與距離等于的直線上。設(shè)直線，則由，解得或 經(jīng)檢驗(yàn)，不符合，舍去，所以橢圓上只存在一個(gè)使之成立。課后鞏固訓(xùn)練1、（2015溫州一模理）已知橢圓C: 的下頂點(diǎn)為B(0，1)，B到焦點(diǎn)的距離為2.()設(shè)Q是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求|BQ|的最大值；()直線l過定點(diǎn)P(0，2)與橢圓C交于兩點(diǎn)M，N，若BMN的面積為，求直線l的方程.參考答案：解：（I）由橢圓的下頂點(diǎn)為知 由到焦點(diǎn)的距離為知所以橢圓的方程為 設(shè)， 當(dāng)時(shí)， （II）由題設(shè)可知的斜率必存在 由于過點(diǎn)，可設(shè)方程為. 與聯(lián)立消去得 其（*）設(shè)，則 解得或均符合（*）式，或所求方程為與.2、 (2015浙江理)已知橢圓對(duì)稱，ABOxy求實(shí)數(shù)的取值范圍；求面積的最大值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.參考答案：或當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故面積的最大值為.3、（2015紹興高三上期末）已知橢圓（），其右頂點(diǎn)為，上、下頂點(diǎn)分別為，直線的斜率為，過橢圓的右焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（，均在軸右側(cè)）求橢圓的方程；設(shè)四邊形面積為，求的取值范圍參考答案：4、(2015湖州高三上期末) 已知橢圓（）的右焦點(diǎn)為上頂點(diǎn)為過點(diǎn)作直線與橢圓交于另一個(gè)點(diǎn)，若，