高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)回歸總復(fù)習(xí)《第三十三講二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)》課件 新人教版.ppt

第三十三講二元一次不等式 組 與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題 回歸課本1 二元一次不等式表示的平面區(qū)域 1 一般地 在平面直角坐標(biāo)系中 二元一次不等式ax by c 0表示直線ax by c 0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域 半平面 不包括邊界直線 不等式ax by c 0所表示的平面區(qū)域 半平面 包括邊界直線 2 對(duì)于直線ax by c 0同一側(cè)的所有的點(diǎn) x y 使得ax by c值的符號(hào)相同 也就是位于同一半平面的點(diǎn) 其坐標(biāo)適合ax by c 0 而位于另一半平面的點(diǎn) 其坐標(biāo)適合ax by c0 或ax by c 0 所表示的區(qū)域 2 基本概念 1 線性約束條件 由x y 或方程 組成的不等式組 是關(guān)于x與y的一次不等式 或等式 2 目標(biāo)函數(shù) 要求最大值或最小值的函數(shù)如z 2x y z x2 y2 3 線性目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于x y的一次函數(shù) 4 可行解 滿足線性約束條件的解 x y 叫可行解 5 可行域 由所有的可行解組成的集合叫做可行域 6 最優(yōu)解 使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值或最小值的可行解叫最優(yōu)解 7 線性規(guī)劃問(wèn)題 在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值的問(wèn)題叫做線性規(guī)劃問(wèn)題 考點(diǎn)陪練 解析 圖中兩直線方程分別為x y 1 0和x 2y 2 0 因?yàn)殛幱安糠衷趚 y 1 0的右上方 x 2y 2 0的右下方 所以x y 1 0 x 2y 2 0 答案 a 答案 d 3 2009 銀川模擬 配置a b兩種藥劑都需要甲 乙兩種原料 用料要求如下表所示 單位 kg 藥劑a b至少各配一劑 且藥劑a b每劑售價(jià)分別為100元 200元 現(xiàn)有原料甲20kg 原料乙25kg 那么可以獲得的最大銷售額為 a 600元b 700元c 800元d 900元 答案 c 4 2010 新課標(biāo)全國(guó) 已知 abcd的三個(gè)頂點(diǎn)為a 1 2 b 3 4 c 4 2 點(diǎn) x y 在 abcd的內(nèi)部 則z 2x 5y的取值范圍是 a 14 16 b 14 20 c 12 18 d 12 20 解析 由題可知 平行四邊形abcd的頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為 0 4 點(diǎn) x y 在平行四邊形內(nèi)部 如圖 所以在d 0 4 處目標(biāo)函數(shù)z 2x 5y取得最大值為20 在點(diǎn)b 3 4 處目標(biāo)函數(shù)z 2x 5y取得最小值為 14 由題知點(diǎn) x y 在平行四邊形內(nèi)部 所以端點(diǎn)取不到 故z 2x 5y的取值范圍是 14 20 故選b 答案 b 解析 不等式組表示的平面區(qū)域如圖中所示的陰影部分 當(dāng)直線z x y過(guò)直線x 2y 6 0與x軸的交點(diǎn) 6 0 時(shí) 目標(biāo)函數(shù)z x y取得最大值6 答案 c 類型一二元一次不等式表示的平面區(qū)域解題準(zhǔn)備 確定二元一次不等式 組 表示的平面區(qū)域有兩種方法 一是用特殊點(diǎn)定區(qū)域 二是用b的符號(hào)與不等式的符號(hào)定區(qū)域 注意 1 ax by c 0 0 表示直線l ax by c 0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域 直線應(yīng)畫成虛線 2 ax by c 0 0 表示直線l ax by c 0某一側(cè)含邊界直線上的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域 直線l應(yīng)畫成實(shí)線 分析 1 數(shù)形結(jié)合 2 整點(diǎn)是指橫 縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn) 解 1 不等式x y 5 0表示直線x y 5 0上及右下方的點(diǎn)的集合 x y 0表示直線x y 0上及右上方的點(diǎn)的集合 x 3表示直線x 3上及左方的點(diǎn)的集合 2 由圖形及不等式組知且x z當(dāng)x 3時(shí) 3 y 8 有12個(gè)整點(diǎn) 當(dāng)x 2時(shí) 2 y 7 有10個(gè)整點(diǎn) 當(dāng)x 1時(shí) 1 y 6 有8個(gè)整點(diǎn) 當(dāng)x 0時(shí) 0 y 5 有6個(gè)整點(diǎn) 當(dāng)x 1時(shí) 1 y 4 有4個(gè)整點(diǎn) 當(dāng)x 2時(shí) 2 y 3 有2個(gè)整點(diǎn) 平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)共有2 4 6 8 10 12 42 個(gè) 反思感悟 本題主要考查不等式表示的平面區(qū)域 數(shù)列求和及不等式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí) 考查了數(shù)形結(jié)合的方法和邏輯推理能力 1 不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域點(diǎn)集的交集 因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分 2 在封閉區(qū)域內(nèi)找整點(diǎn)數(shù)目時(shí) 若數(shù)目較小時(shí) 可畫網(wǎng)格逐一數(shù)出 若數(shù)目較大 則可分x m逐條分段統(tǒng)計(jì) 類型二由約束條件求目標(biāo)函數(shù)的最值解題準(zhǔn)備 處理簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題 一般經(jīng)歷以下四個(gè)步驟 1 畫 畫出線性約束條件所表示的可行域 2 移 在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中 利用平移的方法找出與可行域有公共點(diǎn)且縱截距最大或最小的直線 3 求 通過(guò)解方程求出最優(yōu)解 4 答 作出答案 分析 本題考查線性約束條件下目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題 用圖解法求解 解 原不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示 其中a 4 1 b 1 6 c 3 2 1 設(shè)z 4x 3y 則作一組斜率為的平行線 由圖可知 當(dāng)它經(jīng)過(guò)c點(diǎn)時(shí)z值最小 當(dāng)它經(jīng)過(guò)b點(diǎn)時(shí)z值最大 zmin 4 3 3 2 18 zmax 4 1 3 6 14 2 設(shè)u x2 y2 則u就是點(diǎn) x y 與原點(diǎn)距離的平方 由圖可知 b點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大 而當(dāng) x y 在原點(diǎn)時(shí) 距離為0 umax 1 2 6 2 37 umin 0 反思感悟 線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在可行域的頂點(diǎn)或邊界上取得 具體方法是 將目標(biāo)函數(shù)的直線平行移動(dòng) 最先 或最后 通過(guò)的頂點(diǎn)便是 特別地 當(dāng)表示線性目標(biāo)函數(shù)的直線與可行域的某邊平行時(shí) 其最優(yōu)解可能有無(wú)數(shù)個(gè) 另外 此題在可行域中整點(diǎn)有 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 4 1 共12個(gè) 結(jié)合圖形便知離直線距離較近的點(diǎn)有 1 5 2 4 3 2 4 1 可以代入s 7x 5y進(jìn)行驗(yàn)證 則得點(diǎn) 2 4 為最優(yōu)解 使s最大 類型三線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用解題準(zhǔn)備 解線性規(guī)劃應(yīng)用題的步驟 1 轉(zhuǎn)化 設(shè)元 寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù) 從而將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的線性規(guī)劃問(wèn)題 2 求解 解這個(gè)純數(shù)學(xué)的線性規(guī)劃問(wèn)題 典例3 要將兩種大小不同的鋼板截成a b c三種規(guī)格 每張鋼板可同時(shí)截得三種規(guī)格小鋼板的塊數(shù)如下表 每張鋼板的面積 第一種為1m2 第二種為2m2 今需要a b c三種規(guī)格的成品各12 15 27塊 問(wèn)各截這兩種鋼板多少?gòu)?可得到所需三種規(guī)格成品 且使所用鋼板面積最小 分析 本題屬第二種類型 是一道整點(diǎn)最優(yōu)解問(wèn)題 先用最優(yōu)解的方法 求可行域和目標(biāo)函數(shù) 然后在可行域上求滿足條件的整數(shù)解 反思感悟 在可行域內(nèi)找整點(diǎn)最優(yōu)解 一般采用平移找解法 即打網(wǎng)格 描整點(diǎn) 平移直線 找出整點(diǎn)最優(yōu)解 另外也可找臨近的整點(diǎn) 驗(yàn)算選最優(yōu)解 錯(cuò)源一混淆 線性規(guī)劃 與 一般規(guī)劃 錯(cuò)解 作出平面區(qū)域m如圖陰影部分所示 求得a 2 10 c 3 8 b 1 9 由圖可知 欲滿足條件必有a 1且圖象在過(guò)a c兩點(diǎn)的圖象之間 當(dāng)圖象過(guò)a時(shí) a2 10 當(dāng)圖象過(guò)c時(shí) a3 8 a 2 故a的取值范圍為故選b 剖析 結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象知 圖象應(yīng)在過(guò)b c兩點(diǎn)的圖象之間 為避免錯(cuò)誤 也可把圖象過(guò)a b c時(shí)的a值求出 再作比較得出a的范圍 正解 作出平面區(qū)域m同上 求得a 2 10 c 3 8 b 1 9 由圖可知 欲滿足條件必有a 1且圖象在過(guò)b c兩點(diǎn)的圖象之間 當(dāng)圖象過(guò)b時(shí) a1 9 a 9 當(dāng)圖象過(guò)c時(shí) a3 8 a 2 故a的取值范圍為 2 9 故選c 答案 c 錯(cuò)源二平面區(qū)域不明致誤 剖析 題目給出的區(qū)域邊界兩 靜 一 動(dòng) 可以畫出區(qū)域 利用數(shù)形結(jié)合解決 本題很容易在分析動(dòng)直線的位置時(shí)出錯(cuò) 這個(gè)錯(cuò)誤就出現(xiàn)在當(dāng)直線y k x 1 1的斜率為正值時(shí) 誤以為三條直線仍然能夠構(gòu)成三角形 這樣做的結(jié)果是k的取值范圍是 1 0 2 2 正解 如圖所示 直線y k x 1 1過(guò)定點(diǎn) 1 1 當(dāng)這條直線斜率為負(fù)值時(shí) 該直線與y軸的交點(diǎn)必須在坐標(biāo)原點(diǎn)上方 即直線的斜率為 1 可構(gòu)成三角形區(qū)域 當(dāng)直線的斜率為正值時(shí) y k x 1 1所表示的是直線y k x 1 1及其下方的半平面 這個(gè)區(qū)域和另外兩個(gè)半平面的交集是一個(gè)無(wú)界區(qū)域 不能構(gòu)成三角形 當(dāng)直線斜率為0時(shí) 構(gòu)不成平面區(qū)域 因此k的取值范圍是 1 答案 1 評(píng)析 一條直線ax by c 0把平面分成兩個(gè)半平面 在每個(gè)半平面內(nèi)的點(diǎn) x y 使ax by c值的符號(hào)一致 判斷ax by c的符號(hào)可以采用特殊點(diǎn)等 在解決平面區(qū)域問(wèn)題時(shí)要結(jié)合直線的各種情況進(jìn)行分析 不要憑直覺(jué)進(jìn)行解答 如本題看似簡(jiǎn)單 實(shí)際上在考試中做對(duì)并不容易 兩條定直線構(gòu)成一個(gè)三角形區(qū)域 但對(duì)于那條動(dòng)直線 當(dāng)斜率為正和為負(fù)時(shí) 是很容易弄錯(cuò)的 技法一最優(yōu)整數(shù)解問(wèn)題對(duì)于線性規(guī)劃問(wèn)題中的最優(yōu)整數(shù)解的問(wèn)題 當(dāng)解方程組得到的解不是整數(shù)時(shí) 可用下面方法求解 1 平移找解法 先打網(wǎng)格 描整點(diǎn) 平移直線l 最先經(jīng)過(guò)或最后經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)便是最優(yōu)整點(diǎn)解 這種方法應(yīng)充分利用非整點(diǎn)最優(yōu)解的信息 結(jié)合精確的作圖才行 當(dāng)可行域是有限區(qū)域且整