數(shù)學(xué)建模模板：還款周期與本息總額.doc

數(shù)學(xué)建模一周論文論文題目：還款周期與本息總額 姓名1： 學(xué)號(hào)： 姓名2： 學(xué)號(hào)： 姓名3： 學(xué)號(hào)： 專 業(yè)：機(jī)械工程班 級(jí)：1322404指導(dǎo)教師：張席敬 2015年 7 月 1 日一、摘要這是一個(gè)關(guān)于銀行貸款償還問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。隨著國(guó)民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，人們普遍接受先銀行貸款再通過(guò)分期付款的方式進(jìn)行消費(fèi)，因此，通過(guò)對(duì)這個(gè)問(wèn)題的分析研究建立起正確的數(shù)學(xué)模型對(duì)人們?nèi)绾芜x擇貸款、還款方式有著重要的意義。根據(jù)已知利率，以及貸款金額，分別針對(duì)等額本息還款法和等額本金還款法，我們建立線性方程數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出還款總額，還款總利息，月均還款額的通用公式。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題代入還款年限3年借貸10萬(wàn)元，根據(jù)通用公式容易計(jì)算出還款期限為3年的等額本息還貸和等額本金還貸這兩種還款方式月均還款額別別為3272元，3003元以及本息還款總額別別為117820元，108138元。從而通過(guò)對(duì)比較可知若3年還清則等本金額還貸更少。還貸期限越長(zhǎng)本金還款方式的有事越大，但在最開(kāi)始的階段本金還款方式的經(jīng)濟(jì)壓力越大。通過(guò)本模型還能夠分析不同還款周期下的月均還款額以及本息還款額，即對(duì)于不同的還款周期本模型的建立也能夠起到很好的參考作用。關(guān)鍵詞：等額本息還款法 等額本金還款法 本息總和 還款周期二、問(wèn)題的重述隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，金融業(yè)務(wù)越來(lái)越多的走進(jìn)人們的生活，個(gè)人住房貸款就是其中重要的一項(xiàng)。若個(gè)人住房貸款以10萬(wàn)元為例子，期限為3年，試討論隨著還款的周期變化，本息總額如何變化。三、 問(wèn)題的分析銀行目前有等額本息還款法和等本不等息遞減還款法兩種還款方式，且一般推薦提供等額本息還款法。所謂等額本息還款法，即每月以相等的額度平均償還貸款本息，直至期滿還清；而等額本金還款法（又等本不等息遞減還款法稱），即每月償還貸款本金相同，而利息隨本金的減少而逐月遞減，直至期滿還清試想一下，銀行如果不把本金貸給客戶的話，銀行就可以從這筆本金中賺到利息. 因此，銀行為了保障自己的利益，他不僅要求客戶還貸款本金外，還要求客戶還本金在貸款期內(nèi)應(yīng)該賺到的利息. 現(xiàn)在的銀行大多是要求客戶每月還相等的金額，即是每月按月均還款額償還貸款，這樣，貸款期過(guò)后，客戶就會(huì)把本金和本金的利息都還清. 可以根據(jù)這些，從中推導(dǎo)出月均還款總額的公式.從而將相應(yīng)的數(shù)據(jù)計(jì)算出來(lái)。作為一筆10萬(wàn)元、3年的房貸，按照上述的兩種還款方式所計(jì)算出來(lái)的數(shù)據(jù)一般都會(huì)存在差額，而本模型的建立就是要解決以下幾個(gè)重要的問(wèn)題：1建立的數(shù)學(xué)模型能夠討論出這兩種銀行還款方式在3年還款期限下的好壞之分;2建立的數(shù)學(xué)模型能夠討論出這兩種銀行還款方式在不同還款期限下的好壞之分;3，設(shè)計(jì)一些其它房貸還款方式，并作討論。假設(shè)在上述問(wèn)題的解決過(guò)程中:(1)銀行借貸年利率確定不變。 （2）在本月1號(hào)都還清了上月的貸款額。四、 符號(hào)的約定A : 客戶向銀行貸款的本金B(yǎng) : 客戶平均每期應(yīng)還的本金C : 客戶應(yīng)向銀行還款的總額D : 客戶的利息總和: 客戶向銀行貸款的月利率: 客戶向銀行貸款的年利率m : 貸款期n : 客戶總的還款期數(shù) 根據(jù)我們的日常生活常識(shí)，我們可以得到下面的關(guān)系：（1） （2） （3） 五、 模型的建立與求解方案一：等額本息還款模型的求解等額本息還款即每月以相等的額度平均償還貸款本息，直至期滿還清。也就是每個(gè)月還貸數(shù)額不變，把總共要還的前平分給給個(gè)月。 對(duì)于這個(gè)模型，可以按貸款的期限分成兩種情況：（1）1年期的貸款，銀行一般都是要求客戶實(shí)行到期一次還本付息，利隨本清. 因此：1年期的還款總額為：而利息負(fù)擔(dān)總和為：（2）貸款期在1年以上：先假設(shè)銀行貸給客戶的本金是在某個(gè)月的1號(hào)一次到位的. 客戶的合同里規(guī)定說(shuō)，在本金到位后的下個(gè)月1號(hào)開(kāi)始還錢，且設(shè)在還款期內(nèi)年利率不變. 因?yàn)橐荒甑哪昀适?，那么，平均到一個(gè)月就是（/12），也就是月利率， 即有關(guān)系式：設(shè) 月均還款總額是x （元）（i=1n）是客戶在第i期1號(hào)還款前還欠銀行的金額 (i=1n) 是客戶在第i期1 號(hào)還錢后欠銀行的金額. 根據(jù)上面的分析，有第1期還款前欠銀行的金額：第1期還款后欠銀行的金額： 第i期還款前欠銀行的金額：第i期還款后欠銀行的金額： 第n期還款前欠銀行的金額：第n期還款后欠銀行的金額：因?yàn)榈趎期還款后，客戶欠銀行的金額就還清. 也就是說(shuō)：，即：解方程得：這就是月均還款總額的公式. 因此，客戶總的還款總額就等于：利息負(fù)擔(dān)總和等于：利用上面推導(dǎo)出來(lái)的公式，可以計(jì)算出的3年期的本息總和。方案二： 等額本金還款模型的求解銀行除了向客戶介紹上面的等額本息還款法外，還介紹另一種還款方法：等額本金還款法（遞減法）：每期還給銀行相等的本金，但客戶每月的利息負(fù)擔(dān)就會(huì)不同. 利息負(fù)擔(dān)應(yīng)該是隨本金逐期遞減. 因此，客戶每月除付給銀行每期應(yīng)付的本金外，還要付給銀行沒(méi)還的本金的利息. 對(duì)于這個(gè)模型，也可以按貸款的期限分成兩種情況：（1）1年期的貸款:銀行都要求客戶實(shí)行到期一次還本付息，利隨本清. 因此，1年期的還款總額為：而利息負(fù)擔(dān)總和為：（2）貸款期在1年以上. 設(shè)客戶第i期應(yīng)付的金額為 ( i = 1. n ) (單位：元)因此，客戶第一期應(yīng)付的金額為 ： 第二期應(yīng)付的金額為 ：計(jì)算一下，如果選擇等額本金還款法，那么，在第40期，應(yīng)該還銀行3343. 68元，這才與每月的盈余相當(dāng). 而在第109期（若年利率不變），應(yīng)該還銀行2832. 18元，這時(shí)才與本息還款法的月均還款總額差不多. 而且對(duì)于每月3350元的收入，等額本息還款法還款會(huì)更合適. 那么，客戶第n期應(yīng)付的金額為 ：累計(jì)應(yīng)付的還款總額為 ：利息負(fù)擔(dān)總和為 ：利用上面推導(dǎo)出來(lái)的公式，可以計(jì)算出的3年期的本息總和。以向銀行貸款10萬(wàn)元，3年還款期限為例. 比較兩種還款方法（如下表）：（以新規(guī)定，五年以上年利率為5. 58% 來(lái)計(jì)算 （單位：元）貸款期限（年）年利率（%）還款總額利息負(fù)擔(dān)總和月均還款總額3（本息還款）5. 94117820178203272.83（本金還款）5. 941081788166.83003.832（本息還款）5.941118801818046611.662（本金還款）5.94105721.45737.444051（本息還款）5.9410594059408828.31（本金還款）5.941030983102.98591.5通過(guò)模型的建立與求解得出：三年等額本息還清貸款，則還款總額為117820元，月均還款額為3272.8元；三年等金本息還清貸款，則還款總額為108178元，月均還款額為3003.83元。由此可知選擇預(yù)付費(fèi)還款更劃算。 雖然等額本金還款法比等額本息還款法要還更少的錢，但開(kāi)頭的幾期或幾十期的負(fù)擔(dān)相對(duì)的會(huì)很重. 而等額本息還款法是每月還銀行相等的金額，客戶的負(fù)擔(dān)沒(méi)那么大。六、其他還款方式銀行推出不同的房貸方式，只是為了滿足收入情況不同的各種借款人的需要。雖然理論上總還款額比較少的比較核算，實(shí)際生活中要看是否適合自己的經(jīng)濟(jì)狀況。選擇還款方式的關(guān)鍵是要與自己的收入趨勢(shì)相匹配，盡量使收入曲線和供款相一致。在有還貸能力情況下盡量選擇總還款額比較少。等額本金還款:適合目前收入較高的人群。借款人在開(kāi)始還貸時(shí)，每月負(fù)擔(dān)比等額本息要重。隨著時(shí)間推移，還款負(fù)擔(dān)便會(huì)逐漸減輕。這種還款方式相對(duì)同樣期限的等額本息法，總的利息支出較低。等額本息還款法的特點(diǎn)是每個(gè)月歸還一樣的本息和，容易作出預(yù)算。還款初期利息占每月供款的大部分，隨本金逐漸返還供款中本金比重增加。等額本息還款法更適用于現(xiàn)期收入少，預(yù)期收入將穩(wěn)定或增加的借款人，或預(yù)算清晰的人士和收入穩(wěn)定的人士，固定利率:進(jìn)入加息周期較合算目前國(guó)內(nèi)借款人與銀行已簽訂的房貸合同都是浮動(dòng)利率的，央行每一次加息，借款人的月供就要有相應(yīng)地增加。在貸款合同簽訂時(shí)，即設(shè)定好固定的利率，不論貸款期內(nèi)利率如何變動(dòng)，借款人都按照固定的利率支付利息，但風(fēng)險(xiǎn)較大。按期付息還本:適合房產(chǎn)投資客，借款人通過(guò)和銀行協(xié)商，為貸款本金和利息歸還制訂不同還款時(shí)間單位。即自主決定按月、季度或年等時(shí)間間隔還款。實(shí)際上，就是借款人按照不同財(cái)務(wù)狀況，把每個(gè)月要還的錢湊成幾個(gè)月一起還。還可以有遞增法，氣球貸等等，核心都是根據(jù)貸款人經(jīng)濟(jì)實(shí)力制定不同時(shí)期的本金和利息的還款額，理論上占用時(shí)間越少越省錢。借貸人要根據(jù)自身的經(jīng)濟(jì)情況及資金周轉(zhuǎn)情況來(lái)選擇合適的還貸方式。七、模型的優(yōu)缺點(diǎn)與改進(jìn)方向1、模型的優(yōu)點(diǎn)：（1）采用的數(shù)學(xué)模型有成熟的理論基礎(chǔ)，可信度較高。（2）本文建立的模型計(jì)算簡(jiǎn)便可用范圍很廣，推廣容易，同時(shí)擴(kuò)展也較容易（3）本文建立的模型與實(shí)際緊密聯(lián)系，考慮現(xiàn)實(shí)情況的多樣性，從而使模型更貼近實(shí)際，更實(shí)用。（4）本文用數(shù)學(xué)工具，嚴(yán)密對(duì)模型求解，具有科學(xué)性。（5）為了更貼近實(shí)際，在靜態(tài)模型的的基礎(chǔ)上，考慮未來(lái)現(xiàn)金折現(xiàn)對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)，加以驗(yàn)證。（6）比較真實(shí)，從多方面對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。 2、模型缺點(diǎn)：（1） 模型復(fù)雜因素較多，不能對(duì)其進(jìn)行全面考慮。（2） 利率的精確度不同可能造成一定誤差（3） 經(jīng)濟(jì)社會(huì)中隨機(jī)因素較多，使模型不能將其準(zhǔn)確反應(yīng)出來(lái)（4） 利率的精確度不同以及計(jì)算結(jié)果里小數(shù)的取值，可能造成一定誤差，計(jì)算過(guò)程中忽略了利率的變動(dòng)。（5） 經(jīng)濟(jì)社會(huì)中隨機(jī)因素較多，像房?jī)r(jià)的宏觀調(diào)控，使模型不能將其準(zhǔn)確反應(yīng)出來(lái)。（6）模型未得到準(zhǔn)確的驗(yàn)證 3、模型的改進(jìn)（1） 考慮通貨膨脹等市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的因素（2） 考慮國(guó)家政策、重大事件比如加息對(duì)人們還貸行為的影響（3） 對(duì)利率有更準(zhǔn)確的計(jì)算方法（4） 考慮不同人群的消費(fèi)觀念和收入水平（5）考慮通貨膨脹等市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的因素，對(duì)利率有更準(zhǔn)確的計(jì)算方法。參考文獻(xiàn)：（1） 吳禮斌 李柏年 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與建模 國(guó)防工業(yè)出版社。（2） .杜建衛(wèi) 王若鵬 數(shù)學(xué)建?；A(chǔ)案例 化學(xué)工業(yè)出版社。（3） 袁震東數(shù)學(xué)建模方法 華東師