第五章概率論基礎(chǔ).doc

第五章 概率基礎(chǔ)學(xué)習(xí)目的本章介紹概率的基本理論、性質(zhì)、方法以及一些應(yīng)用方面的知識(shí)。通過本章的學(xué)習(xí)，要求：1.理解概率的基本定義、性質(zhì)；2.理解古典概型的特征，隨機(jī)變量的分布特征及應(yīng)用場合；3.掌握：古典概型與隨機(jī)變量的各種計(jì)算及其應(yīng)用。課程內(nèi)容要點(diǎn)第一節(jié) 概率的基本概念一、隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件在相同條件下重復(fù)同樣的試驗(yàn)所得結(jié)果不確定的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。（一）樣本空間從總體中隨機(jī)抽取一個(gè)單位并把結(jié)果記錄下來稱為一次試驗(yàn)。每種試驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)著一個(gè)樣本點(diǎn)，以全部樣本點(diǎn)為元素的集合稱為樣本空間。（二）事件一般地，樣本空間的特定子集稱為事件?；臼录侵笇?duì)應(yīng)樣本空間中一個(gè)樣本點(diǎn)的事件，它是不可再分的。而復(fù)合事件是可以由若干個(gè)基本事件結(jié)合而成的。如果一個(gè)事件在每次試驗(yàn)中都必定發(fā)生，則稱該事件為必然事件。由于樣本空間本身作為一個(gè)事件，每個(gè)樣本點(diǎn)都屬于它，因此每次試驗(yàn)它都會(huì)發(fā)生，就是一個(gè)必然事件。一個(gè)事件如果是零集或空集，就稱為不可能事件，通常用來表示。下面我們就來看看事件間的關(guān)系和運(yùn)算：（1） 包含關(guān)系 表示事件發(fā)生則事件發(fā)生；（2） 相等關(guān)系 表示且（3） 互不相容 =，表示與不可能同時(shí)發(fā)生。（4） 逆 與有且只能有一個(gè)發(fā)生，也就是說不是發(fā)生就是發(fā)生，則稱是的逆事件，記作。 （5） 交（）=和同時(shí)發(fā)生一般地，可以將此公式推廣為：（6） 并（） 給定兩個(gè)事件和構(gòu)成一個(gè)新的事件=和至少發(fā)生一個(gè)，也可記為。同樣地可以將此公式推廣為：（7） 差（）=發(fā)生且不發(fā)生二、概率（一）概率的定義定義5.1定義在事件域上的一個(gè)集合函數(shù)稱為概率，如果它滿足如下三個(gè)條件：（），對(duì)一切；（）；（）若且兩兩不相容，則這就是概率的可列可加性或完全可加性。利用概率的基本性質(zhì)可以推出概率的另外一些重要性質(zhì)。性質(zhì)1不可能事件的概率為0，即性質(zhì)2必然事件的概率為1，即性質(zhì)3概率具有有限可加性。即若 （二） 概率的基本運(yùn)算1. 概率具有有限可加性。即若 2.對(duì)任何事件A有3.如果，則推論如果，則4.（一般加法公式）若為n個(gè)事件，則特別地，當(dāng)2時(shí)，有（三）幾個(gè)重要的概型1.古典概型在我們所研究的隨機(jī)現(xiàn)象中有一類最簡單的隨機(jī)現(xiàn)象，這種隨機(jī)現(xiàn)象的全部可能結(jié)果只有有限個(gè)，這些事件是兩兩互不相容的，而且它們發(fā)生的概率都相等，我們就把這類隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型。記這些事件為，若事件包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)，則其概率為2.幾何概型古典概型所能計(jì)算的只是有限場合的情況，那些有無限多結(jié)果的場合又如何呢？下面我們就用幾何方法來解決這個(gè)問題。我們先看一些具體的問題。（1）開往某市的汽車開車時(shí)間為每個(gè)正點(diǎn)一趟，某人到車站乘車，求他等車短于10分鐘的概率；（2）一片面積為S的樹林中有一塊面積為的空地，由空中向空地投擲物品，求投中的概率。（3）在10毫升的自來水中有1個(gè)大腸桿菌，現(xiàn)在從中隨機(jī)取出2毫升自來水在顯微鏡下觀察，試求大腸桿菌的概率。在上述的問題中，其樣本空間分別是一、二、三維，分別用長度、面積和體積來衡量。則事件的概率與的位置與形狀均無關(guān)，而與其長度（或面積、體積）成正比，也就是其中表示長度（或面積、體積）。3.事件的獨(dú)立性與條件概率（1）事件的獨(dú)立性若兩個(gè)隨機(jī)事件、的發(fā)生與否不會(huì)相互影響，則稱它們相互獨(dú)立，其定義如下：定義5.2對(duì)于任意兩個(gè)事件、，如果等式成立，則稱事件和相互獨(dú)立。（2）條件概率條件概率研究的是在某一事件發(fā)生的條件下，另一事件發(fā)生是否會(huì)受到影響，影響有多大呢？定義5.3給定一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，是它的樣本空間，對(duì)于任意兩個(gè)事件、，其中，稱為在已知事件發(fā)生的條件下事件A的條件概率。（3）兩個(gè)重要公式全概率公式貝葉斯公式 第二節(jié) 隨機(jī)變量及其分布一、隨機(jī)變量與隨機(jī)分布的概念正如對(duì)隨機(jī)事件一樣，我們所關(guān)心的不僅是試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果，更重要的是要知道這些結(jié)果將以怎樣的概率出現(xiàn)。這樣，了解隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律就變成了解隨機(jī)變量的所有可能取值及隨機(jī)變量取值的概率。而這兩個(gè)特征就可以通過隨機(jī)變量分布來表現(xiàn)出來。二、概率分布的類型（一）離散型隨機(jī)變量分布當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果所可能取的值能夠一一列舉出來時(shí)，這種類型的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量，其分布就稱為離散型隨機(jī)變量分布。如果隨機(jī)變量的取值可以一一列出，記為，而相對(duì)于所取的概率為，即，稱為隨機(jī)變量的概率分布，它應(yīng)滿足下面關(guān)系：則當(dāng)和已知時(shí)，這兩組值就完全描述了隨機(jī)變量的規(guī)律，此時(shí)把如下的表示方法稱為該隨機(jī)變量的分布列：對(duì)于集合中任何一個(gè)子集，事件“在中取值”即“”的概率為（二）連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度當(dāng)隨機(jī)現(xiàn)象所出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果不只取可列個(gè)值。這時(shí)用來描述試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)變量還是樣本點(diǎn)的函數(shù)：嚴(yán)格寫應(yīng)是，其中。但是這個(gè)隨機(jī)變量能取某個(gè)區(qū)間或的一切取值。對(duì)于取連續(xù)值的隨機(jī)變量，我們感興趣的是取值于某個(gè)區(qū)間的概率，或取值于若干個(gè)這種區(qū)間的概率。為此引進(jìn)如下定義：定義5.4是定義于概率空間上的單值實(shí)函數(shù)，如果對(duì)于直線上任一點(diǎn)集，有則稱為隨機(jī)變量，而稱為隨機(jī)變量的概率分布。定義5.5對(duì)于隨機(jī)變量，如果存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)，使對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，都有，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，就稱為隨機(jī)變量的密度函數(shù)，滿足性質(zhì)：（1）（2）（三）一般場合的分布函數(shù)分布函數(shù)是概率論中重要的研究工具，可以用于描述包括離散型和連續(xù)型在內(nèi)的一切類型隨機(jī)變量。定義5.6 設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量，是它的分布密度函數(shù)，則稱函數(shù)為隨機(jī)變量的分布函數(shù)。根據(jù)定義，具有如下性質(zhì)：1.針對(duì)連續(xù)型的隨機(jī)變量有 2.，3.是關(guān)于的單調(diào)非減函數(shù)4. 5. 左連續(xù)性：6. 三、隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征是指能集中反映隨機(jī)變量概率分布基本特點(diǎn)的數(shù)字。常用的隨機(jī)變量數(shù)字特征有數(shù)學(xué)期望和方差兩種。（一）數(shù)學(xué)期望 1.離散型場合定義5.7. 定義5.8那當(dāng)變量取值為可列個(gè)時(shí)，其數(shù)學(xué)期望定義如下若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則將其稱為的數(shù)學(xué)期望，簡稱為期望或均值，記為。2.連續(xù)型場合定義5.9 3.數(shù)學(xué)期望的基本性質(zhì)設(shè)如下各變量的數(shù)學(xué)期望存在，c為常數(shù)，可以得到關(guān)于數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：（1） （2） （3） （4）若相互獨(dú)立，則 （二）方差方差描述的是隨機(jī)變量的取值相對(duì)于它的期望的平均偏離程度。定義5.10 稱為的標(biāo)準(zhǔn)差（或標(biāo)準(zhǔn)偏差）。根據(jù)期望的性質(zhì)，可以得到方差的另一個(gè)定義式。 因此也可以得到方差的幾個(gè)基本性質(zhì)：（1），其中為常數(shù) （2） （3） （4）n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量平均值的方差等于各個(gè)變量方差平均值的，即 （三）協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)定義5.11設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量和的期望和方差都存在，則稱 為和的協(xié)方差。下面是協(xié)方差的一些性質(zhì)（假設(shè)下面各隨機(jī)變量的協(xié)方差存在，且為常數(shù)）（1）與的順序無關(guān)，即（2）若和獨(dú)立，則證明：由于如果和獨(dú)立，則于是有（3）（4）（5）（6）定義5.12設(shè)隨機(jī)變量和的方差都存在，且都不為0，則稱 為和的相關(guān)系數(shù)。同樣我們可以列出相關(guān)系數(shù)的一些性質(zhì)：（1）（2）的充要條件是為常數(shù)。第三節(jié) 幾種常見的概率分布一、離散型分布（一）兩點(diǎn)分布在一次試驗(yàn)中，事件出現(xiàn)的概率為，不出現(xiàn)的概率為，若以記事件出現(xiàn)的次數(shù)，則僅取0，1兩個(gè)值，相應(yīng)的概率分布為，這個(gè)分布稱為兩點(diǎn)分布，也稱為伯努利分布。兩點(diǎn)分布的數(shù)學(xué)期望為 由于則其方差為 （二）二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布是離散型分布中較為重要的一種，是上述伯努利試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行的結(jié)果。在重獨(dú)立的伯努利試驗(yàn)中，重復(fù)進(jìn)行次試驗(yàn)，若記事件為“試驗(yàn)成功”，其概率為，以記事件出現(xiàn)的次數(shù)，則它是一個(gè)隨機(jī)變量，可能取的值為，其對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)分布給出： 簡記作。二項(xiàng)式分布的期望值及方差如下： （三）超幾何分布在產(chǎn)品的抽樣檢查中經(jīng)常遇到以下實(shí)際問題，要對(duì)件產(chǎn)品進(jìn)行無放回抽樣檢查，若這批產(chǎn)品中有件次品，現(xiàn)從整批產(chǎn)品中隨機(jī)抽出件產(chǎn)品，則在這件產(chǎn)品中出現(xiàn)的次品數(shù)是隨機(jī)變量，它取值，其概率分布為超幾何分布。 （四）泊松分布實(shí)踐證實(shí)泊松分布對(duì)某一類隨機(jī)現(xiàn)象有很貼切的描述，這類現(xiàn)象成為“泊松試驗(yàn)”，它具有兩個(gè)總要的特征：第一，所考察的事件在任意兩個(gè)長度相等的區(qū)間里發(fā)生一次的機(jī)會(huì)均等。第二，所考察的事件在任何一個(gè)區(qū)間里發(fā)生與否和在其他區(qū)間里發(fā)生與否沒有相互影響，即是獨(dú)立的。定義5.13若隨機(jī)變量可取一切非負(fù)整數(shù)值，且， 其中，則稱服從泊松分布。簡記作。 二、連續(xù)型分布（一）均勻分布定義5.14如果隨機(jī)變量具有如下的密度函數(shù)： 則稱服從區(qū)間上的均勻分布，記為。（二）正態(tài)分布正態(tài)分布在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)乃至隨機(jī)過程的理論及應(yīng)用中，都占有特別重要的地位。定義5.15若隨機(jī)變量的密度函數(shù)為： 其中，與均為常數(shù)，稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的正態(tài)分布，簡記為。正態(tài)分布的期望，方差為特別地，當(dāng)時(shí)，分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為，相應(yīng)的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別記為和。， ， 有了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布后，就可以將任意一個(gè)服從一般正態(tài)分布的隨機(jī)變量轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，轉(zhuǎn)換公式為 一般地，對(duì)于服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其變量在任何一個(gè)區(qū)間上的概率可以表示為 對(duì)于負(fù)的，可以由下式得到： 同樣，對(duì)于服從一般正態(tài)分布的隨機(jī)變量，取值在某一個(gè)區(qū)間上的概率都可以通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布求得。 第四節(jié)大數(shù)定律與中心極限定理一、大數(shù)定律人們在長期實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，也就是說，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，事件發(fā)生的頻率將穩(wěn)定于一個(gè)確定的常數(shù)。大數(shù)定律：設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，其期望為，方差為，即，。則對(duì)任意的正數(shù)，有 大數(shù)定律說明，當(dāng)充分大時(shí)，獨(dú)立同分布的一系列隨機(jī)變量，其平均數(shù)與它們共同的期望值之間的偏差，可以有很大的把握被控制在任意給定的范圍之內(nèi)。如果我們對(duì)一個(gè)隨機(jī)變量重復(fù)獨(dú)立地觀測次（例如對(duì)某個(gè)物體的未知重量作次測量），則其頻率的穩(wěn)定也可以由大數(shù)定律來描述，即設(shè)是次伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，而是事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率，則對(duì)任意，都有 該結(jié)論稱為伯努利大數(shù)定律，它提供了用頻率代替概率的理論依據(jù)。二、中心極限定理中心極限定理：設(shè)隨機(jī)變量序列相互獨(dú)立且同分布，該分布存在有限的期望和方差，即，。則當(dāng)趣于無窮大時(shí)，近似服從正態(tài)分布，即。從以上的結(jié)論，我們可以得到這樣的推論，即設(shè)隨機(jī)變量，當(dāng)趨于無窮大時(shí)，則近似服從。這樣在大樣本下，服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量，可以借助正態(tài)分布的有關(guān)理論來解決。.考核知識(shí)點(diǎn)與考核要求一、概率的基本概念1、識(shí)記：（1）隨機(jī)事件的定義（2）概率的定義、性質(zhì)（3）古典概型、幾何概型（4）事件的獨(dú)立性2、領(lǐng)會(huì)：（1）概率的計(jì)算（2）全概率和貝葉斯公式的原意義3、應(yīng)用：（1）條件概率的計(jì)算（2）全概率公式和貝葉斯公式的計(jì)算二、隨機(jī)變量及其分布1、識(shí)記：（1）隨機(jī)變量的分布（離散和連續(xù)）（2）分布函數(shù)的性質(zhì)（3）隨機(jī)變量的數(shù)字特征2、領(lǐng)會(huì)：（1）離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別（2）隨機(jī)變量期望和方差的意義3、應(yīng)用：（1）會(huì)求隨機(jī)變量的分布函數(shù)（2）會(huì)求隨機(jī)變量的期望、方差（3）會(huì)求隨機(jī)變量間的協(xié)方差以及相關(guān)系數(shù)三、幾種重要的分布1、識(shí)記：（1）兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布以及泊松分布的定義（2）均勻分布、正態(tài)分布的定義2、領(lǐng)會(huì)：（1）各種分布的適用條件（2）各種分布的意義3、應(yīng)用：（1）熟練運(yùn)用各種分布的公式求解實(shí)際問題（2）各種分布的期望、方差的計(jì)算四、大數(shù)定律與中心極限定理1、識(shí)記：（1）大數(shù)定律的定義（2）中心極限定理的定義2、領(lǐng)會(huì)：（1）大數(shù)定律的意義（2）中心極限定理的意義3、應(yīng)用：（1）運(yùn)用大數(shù)定律求解實(shí)際問題（2）運(yùn)用中心極限定理求接實(shí)際問題.習(xí)題詳解 一選擇題1.D 2.B 3.D 4.A 5.A 6.C 7.B 8.A 9.B 10.D 11.A 12.A 13.C 14.C二計(jì)算題1解：（1） 110.150.85（2）因?yàn)樗?.15+0.35+0.30.8（3）由于，即，則0.350.150.22解：該實(shí)驗(yàn)是從個(gè)球中，無放回地把球一個(gè)個(gè)取出來，相當(dāng)于排隊(duì)，求第個(gè)位置排的是紅球的概率。因?yàn)閭€(gè)球共有種排法，故樣本點(diǎn)總數(shù)。設(shè)第次取出的球是紅球，則對(duì)事件包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：先從個(gè)紅球中任取一個(gè)放在第個(gè)位置，然后把其余個(gè)球排在剩下的位置上，總共有。所以3.解：記表示“報(bào)名表是第I區(qū)考生的”，表示“第次抽到的報(bào)名表是男生表”，則先抽到的一份是女生表的概率是根據(jù)全概率公式（5.1.14），有4解：由概率密度的性質(zhì)及其定義，有0.25即得到聯(lián)立方程為得到從而 那么 0.06255解：根據(jù)分布函