解析幾何中極點與極線知識的現(xiàn)狀與應(yīng)用研究.doc

解析幾何中極點與極線知識的現(xiàn)狀與應(yīng)用研究王文彬極點與極線是圓錐曲線內(nèi)在的幾何特征，在解析幾何中必然有所反映，有所體現(xiàn).現(xiàn)將具體研究結(jié)果報告如下：PEFGHMANB圖11.極點與極線的定義1.1 幾何定義如圖，是不在圓錐曲線上的點，過點引兩條割線依次交圓錐曲線于四點，連接交于，連接交于，則直線為點對應(yīng)的極線.若為圓錐曲線上的點，則過點的切線即為極線.由圖1可知，同理為點對應(yīng)的極線，為點所對應(yīng)的極線.稱為自極三點形.若連接交圓錐曲線于點，則恰為圓錐曲線的兩條切線.事實上，圖1也給出了兩切線交點對應(yīng)的極線的一種作法.1.2 代數(shù)定義已知圓錐曲線，則稱點和直線是圓錐曲線的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換(另一變量也是如此)即可得到點極線方程.特別地：(1)對于橢圓，與點對應(yīng)的極線方程為；(2)對于雙曲線，與點對應(yīng)的極線方程為；(3)對于拋物線，與點對應(yīng)的極線方程為.2.極點與極線的基本結(jié)論定理1 (1)當(dāng)在圓錐曲線上時，則極線是曲線在點處的切線；(2)當(dāng)在外時，則極線是曲線從點所引兩條切線的切點所確定的直線(即切點弦所在直線)；(3) 當(dāng)在內(nèi)時，則極線是曲線過點的割線兩端點處的切線交點的軌跡.證明：假設(shè)同以上代數(shù)定義，對的方程，兩邊求導(dǎo)得，解得，于是曲線在點處的切線斜率為，故切線的方程為，化簡得，又點在曲線上，故有，從中解出，然后代和可得曲線在點處的切線為.PMN圖2(2)設(shè)過點所作的兩條切線的切點分別為，則由(1)知，在點處的切線方程分別為和，又點在切線上，所以有和，觀察這兩個式子，可發(fā)現(xiàn)點都在直線上，又兩點確定一條直線，故切點弦所在的直線方程為.Q(m,n)TS圖3P(x0,y0).(3)設(shè)曲線過的弦的兩端點分別為，則由(1)知，曲線在這兩點處的切線方程分別為和，設(shè)兩切線的交點為，則有，觀察兩式可發(fā)現(xiàn)在直線上，又兩點確定一條直線，所以直線的方程為，又直線過點，所以，因而點在直線上.所以兩切線的交點的軌跡方程是.定理2 若圓錐曲線中有一些極線共點于點，則這些極線相應(yīng)的極點共線于點相應(yīng)的極線，反之亦然.PABP點P的極線點P的極線圖4(1)圖4(2)即極點與極線具有對偶性.如圖4(1)(2)所示.3.極點與極線在教材中的體現(xiàn)極點與極線反映的是圓錐曲線的基本幾何性質(zhì)，所以在解析幾何教材中必然有所體現(xiàn).3.1 圓錐曲線的焦點與準(zhǔn)線是一對特殊的極點與極線如果圓錐曲線是橢圓，當(dāng)為其焦點時，極線變?yōu)?，恰是橢圓的準(zhǔn)線；如果圓錐曲線是雙曲線，當(dāng)為其焦點時，極線變?yōu)?，恰是雙曲線的準(zhǔn)線；如果圓錐曲線是拋物線，當(dāng)為其焦點時，極線變?yōu)?，恰是拋物線的準(zhǔn)線. 3.2 許多習(xí)題都有極點與極線的背景，均可借助極點與極線方法求解ABCOxy圖5F【例1】過拋物線的焦點的一條直線和此拋物線相交，兩個交點的縱坐標(biāo)為，求證：.證明：由于,，故三點對應(yīng)的極線方程分別是，和，由于三點共線，根據(jù)定理2可知，對應(yīng)的三條極線共點，將代入后面兩式得，兩式相除得.作為課本一習(xí)題，2001年全國高考試卷19題以此為背景命制.利用本例結(jié)論可迅速證明這一高考題. 設(shè)拋物線的焦點為，過焦點的直線交拋物線于兩點，點在拋物線的準(zhǔn)線上，且平行于軸，證明直線必過原點.簡證：如圖5，設(shè)，則，從而，故，所以，即直線過原點.3.3 教材中涉及到直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定問題，均可化為極點與圓錐曲線的位置關(guān)系問題來解決【例2】(1)已知拋物線的方程為，直線過定點，斜率為，問為何值時，直線與拋物線只有一個公共點，有兩個公共點，沒有公共點？(2)已知雙曲線，過點能否作直線，與雙曲線交于兩點，且是線段的中點？解：(1)直線的方程為，即.設(shè)直線對應(yīng)的極點為，則相應(yīng)的極線應(yīng)為，即，故，當(dāng)時，直線與拋物線有兩個公共點在拋物線外，解得且；同理可求得當(dāng)或或時直線與拋物線只有一個公共點；當(dāng)或時直線與拋物線沒有公共點.(2)設(shè)，則由是線段的中點得，而在雙曲線上，故，兩式相減得，即，而是點對應(yīng)的極線，但點在雙曲線內(nèi)，故極線與雙曲線相離，這和已知“直線與雙曲線相交”矛盾，故這樣的直線不存在.4.極點與極線在各種考試中的深層體現(xiàn) 4.1 高考試題中的極點與極線極點與極線作為具體的知識點盡管不是高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的學(xué)習(xí)內(nèi)容，當(dāng)然也不屬于高考考查的范圍，但是極點與極線作為圓錐曲線的一種基本特征，在高考試題中必然會有所反映.事實上，極點與極線的知識常常是解析幾何高考試題的命題背景.ABPOxy圖6F【例3】(2006年全國試卷II21)已知拋物線的焦點為，是拋物線上的兩動點，且，過兩點分別作拋物線的切線，并設(shè)其交點為.(1)證明為定值；(2)設(shè)的面積為，寫出的表達式，并求的最小值.解：(1)設(shè)點，三點對應(yīng)的極線方程分別為，由于三點共線，故相應(yīng)的三極線共點于，代入極線方程得，兩式相減得.又，故.(2)設(shè)的方程為，與拋物線的極線方程對比可知直線對應(yīng)的極點為，把代入并由弦長公式得，所以.顯然，當(dāng)時，取最小值.【例4】(2005江西卷22)設(shè)拋物線的焦點為，動點在直線上運動，過作拋物線的兩條切線，ABPOxy圖7Fl且與拋物線分別相切于兩點.(1)求的重心的軌跡方程；(2)證明.解：(1)設(shè)點，與對比知直線對應(yīng)的極點為，為直線上的動點，則點對應(yīng)的極線必恒過點.設(shè)，可化為，故直線對應(yīng)的極點為，將直線的方程代入拋物線方程得，由此得，的重心的軌跡方程為，消去即得.(2)由(1)可設(shè)點，且，所以，.同理.所以有.評析：上述解法不僅簡潔易懂，而且適用范圍很廣，很多解析幾何試題，尤其是共點共線問題，往往都能起到事半功倍的效果.這里不再一一列舉.4.2 競賽試題中的極點與極線作為更高要求的數(shù)學(xué)競賽，有關(guān)極點與極線的試題更是頻頻出現(xiàn)，而且越來越受到重視.【例5】(2002澳大利亞國家數(shù)學(xué)競賽)已知為銳角三角形，以為直徑的分別交于，分別過和作的兩條切線交于點，分別過和作的兩條切線交于點，證明點在線段上.KABCPQR(-a,y2)KABCPQRSS(a,y1)圖8xy下面將圓加強為橢圓，并給出證明.證明：以為軸，線段為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，并設(shè)點，則點對應(yīng)的極線，代入橢圓方程解得點，直線，同理我們可以得到直線，將直線的方程與的方程聯(lián)立解得，可驗證其坐標(biāo)滿足直線的方程，所以三點共線.評析：原題用純平面幾何方法證明，難度較大【1】，而用極點與極線方法證明不僅顯得簡潔，而且此結(jié)論顯然還可推廣到其他圓錐曲線上.【例6】(中等數(shù)學(xué)2006年第8期P42)過橢圓內(nèi)一點作直線與橢圓交于點，作直線與橢圓交于點，過分別作橢圓的切線交于點，過分別作橢圓的切線交于點，求連線所在的直線方程評析：該題實質(zhì)上就是求橢圓內(nèi)一點對應(yīng)的極線方程，由定理1立即可得答案為.【例7】(中學(xué)數(shù)學(xué)2006年第7期新題征展77)設(shè)橢圓方程為，點，過點的動直線與橢圓相交于點，點處的切線相交于點，求證點的軌跡是一條定直線.評析：顯然該定直線為點對應(yīng)的極線：.從例6、例7可以看到，以極點與極線為背景的試題深受命題者的青睞.4.3 一些結(jié)論中的極點與極線圓錐曲線中有關(guān)極點與極線的性質(zhì)，一直是人們探討的熱點，文【2】與文【3】所述的圓錐曲線性質(zhì)都源于圓錐曲線中極點與相應(yīng)的極線的性質(zhì).譬如【定理】【2】 線段是過橢圓長軸上定點的弦，是長軸上的兩個頂點，直線與直線交于兩點，并且直線的斜率存在且不為零，則有.這個定理在雙曲線與拋物線中也成立.利用該定理還可證明文【5】至【13】中所述的結(jié)論.評析：由定理1知，該定理中定點，直線即為一對極點與極線，從另一方面來說，該定理是【例1】的推廣形式，作者把它稱為一個基礎(chǔ)性定理，是因為該定理可以證明很多圓錐曲線的性質(zhì).事實上，文【2】所述的圓錐曲線性質(zhì)也都可以用極點與極線的性質(zhì)證明，文【3】則完全是定理1的一種特例.定理1和定理2反映極點與相應(yīng)的極線的基本性質(zhì)，應(yīng)用非常廣泛.一點一線，闡述著數(shù)學(xué)的樸素之美，也是極致之美.參考文獻【1】 史鈔.幾道數(shù)學(xué)競賽題的簡解.中等數(shù)學(xué)，2005.4【2】 邱繼勇.橢圓的一個基礎(chǔ)性定理.數(shù)學(xué)通報，2005.6【3】 高紹央.圓錐曲線準(zhǔn)線的一個有趣性質(zhì).中學(xué)教研.2005.3【4】 李鳳華.圓錐曲線的極點與極線及其應(yīng)用.數(shù)學(xué)通訊，2012.4【5】 金美琴.二次曲線的定點弦.數(shù)學(xué)通報，2003.7【6】 熊光漢，謝東根.一道幾何題的引申.數(shù)學(xué)通報，2003.5【7】 陳天雄.一道高考解析幾何試題的引申及推廣.數(shù)學(xué)通報，2002.6【8】 李原池.一道高考題引出的圓錐曲線的兩個性質(zhì)及推論