高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 5.1 數(shù)列的概念與簡單表示法課件 文 新人教A版.ppt

第五章數(shù)列第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法 知識梳理 1 必會知識教材回扣填一填 1 數(shù)列的有關(guān)概念 一定順序 每一個(gè)數(shù) an f n a1 a2 an 2 數(shù)列的表示方法 n an 公式 3 an與sn的關(guān)系 若數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為sn n 1 n 2 則an s1 sn sn 1 4 數(shù)列的分類 an 1 an an 1 an 2 必備結(jié)論教材提煉記一記常見數(shù)列的通項(xiàng)公式 自然數(shù)列 1 2 3 4 an n 奇數(shù)列 1 3 5 7 an 2n 1 偶數(shù)列 2 4 6 8 an 2n 平方數(shù)列 1 4 9 16 an n2 2的乘方數(shù)列 2 4 8 16 an 2n 倒數(shù)列 乘積數(shù)列 2 6 12 20 可化為 1 2 2 3 3 4 4 5 an n n 1 重復(fù)數(shù)串列 9 99 999 9999 an 10n 1 0 9 0 99 0 999 0 9999 an 1 10 n 符號調(diào)整數(shù)列 1 1 1 1 an 1 n 3 必用技法核心總結(jié)看一看 1 常用方法 由數(shù)列的前n項(xiàng)歸納通項(xiàng)公式的方法 遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化的方法 判斷數(shù)列的單調(diào)性的方法以及求最大 小 項(xiàng)的方法 2 數(shù)學(xué)思想 函數(shù)與方程 分類討論 等價(jià)轉(zhuǎn)化 3 記憶口訣 數(shù)列函數(shù)同族類 函數(shù)性質(zhì)幫你忙 通項(xiàng)遞推關(guān)系式 等價(jià)轉(zhuǎn)化解析式 an與sn關(guān)系式 分類討論來合并 歸納思想非常好 猜測證明不可少 小題快練 1 思考辨析靜心思考判一判 1 數(shù)列 an 和集合 a1 a2 a3 an 表達(dá)的意義相同 2 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè) 3 如果數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為sn 則對 n n 都有an 1 sn 1 sn 4 在數(shù)列 an 中 對于任意正整數(shù)m n am n amn 1 若a1 1 則a2 2 5 若已知數(shù)列 an 的遞推公式為an 1 且a2 1 則可以寫出數(shù)列 an 的任何一項(xiàng) 解析 1 錯(cuò)誤 數(shù)列 an 是表示按照一定順序排列的一列數(shù) 為a1 a2 a3 an 而集合 a1 a2 a3 an 只表明該集合中有n個(gè)元素 數(shù)列中的項(xiàng)有順序 集合中的元素沒有順序 2 正確 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出的數(shù)列的通項(xiàng)公式不一定唯一 可以有多個(gè) 有的數(shù)列沒有通項(xiàng)公式 3 正確 根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和的定義可知 4 正確 在am n amn 1中 令m n 1得a2 a1 1 1 1 2 5 正確 在已知遞推公式中 令n 1得a2 而a2 1解得a1 1 同理可得an 1 答案 1 2 3 4 5 2 教材改編鏈接教材練一練 1 必修5p31例3改編 在數(shù)列 an 中 a1 1 則a5 解析 選d 由已知得 2 必修5p29例1 2 改編 已知數(shù)列 an 的前4項(xiàng)分別為2 0 2 0 則下列各式不可以作為數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式的是 a an 1 1 n 1b an 2sinc an 1 cosn d an 解析 選b 因?yàn)閍1 2 a2 0 a3 2 a4 0 但當(dāng)n 3時(shí)選項(xiàng)b中a3 2sin 2 2 其他選項(xiàng)都適合 故選b 3 真題小試感悟考題試一試 1 2015 石家莊模擬 把1 3 6 10 15 21 這些數(shù)叫做三角形數(shù) 這是因?yàn)橐赃@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形 如圖 則第7個(gè)三角形數(shù)是 a 27b 28c 29d 30 解析 選b 由圖可知 第7個(gè)三角形數(shù)是1 2 3 4 5 6 7 28 2 2015 蘭州模擬 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和sn n2an n 2 且a1 1 通過計(jì)算a2 a3 猜想an等于 解析 選b a1 1 因?yàn)閟n n2an n 2 所以s2 4a2 即a1 a2 4a2 所以當(dāng)n 3時(shí) s3 9a3 即a1 a2 a3 9a3 解得因此猜想 3 2015 廣州模擬 數(shù)列 an 滿足an an 1 n n a2 2 sn是數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 則s21為 解析 選b 因?yàn)閍n an 1 n n 所以故a2n 2 a2n 1 所以 4 2014 新課標(biāo)全國卷 數(shù)列 an 滿足an 1 a8 2 則a1 解析 由an 1 可得又a8 2 故答案 考點(diǎn)1由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式 典例1 1 2015 深圳模擬 數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為 2 寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式 3 5 7 9 解題提示 1 根據(jù)a1 0 驗(yàn)證答案 用排除法求解 2 通過分析各數(shù)列已知項(xiàng)的數(shù)字特征的共性寫出各數(shù)列的通項(xiàng)公式 規(guī)范解答 1 選c 因?yàn)閍1 0 排除選項(xiàng)d 因?yàn)榕懦x項(xiàng)a b 只有選項(xiàng)c符合 2 各項(xiàng)減去1后為正偶數(shù) 所以an 2n 1 每一項(xiàng)的分子比分母少1 而分母組成數(shù)列21 22 23 24 所以 奇數(shù)項(xiàng)為負(fù) 偶數(shù)項(xiàng)為正 故通項(xiàng)公式的符號為 1 n 各項(xiàng)絕對值的分母組成數(shù)列1 2 3 4 而各項(xiàng)絕對值的分子組成的數(shù)列中 奇數(shù)項(xiàng)為1 偶數(shù)項(xiàng)為3 即奇數(shù)項(xiàng)為2 1 偶數(shù)項(xiàng)為2 1 所以an 1 n 也可寫為an 偶數(shù)項(xiàng)為負(fù) 而奇數(shù)項(xiàng)為正 故通項(xiàng)公式中必含有 1 n 1 觀察各項(xiàng)絕對值組成的數(shù)列 從第3項(xiàng)到第6項(xiàng)可知 分母分別由奇數(shù)7 9 11 13組成 而分子則是32 1 42 1 52 1 62 1 按照這樣的規(guī)律 第1 2兩項(xiàng)可改寫為所以an 1 n 1 規(guī)律方法 由前幾項(xiàng)歸納數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法及具體策略 1 常用方法 觀察 觀察規(guī)律 比較 比較已知數(shù)列 歸納 轉(zhuǎn)化 轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列 聯(lián)想 聯(lián)想常見的數(shù)列 等方法 2 具體策略 分式中分子 分母的特征 相鄰項(xiàng)的變化特征 拆項(xiàng)后的特征 各項(xiàng)的符號特征和絕對值特征 化異為同 對于分式還可以考慮對分子 分母各個(gè)擊破 或?qū)ふ曳肿?分母之間的關(guān)系 對于符號交替出現(xiàn)的情況 可用 1 k或 1 k 1 k n 處理 變式訓(xùn)練 根據(jù)下面各數(shù)列前幾項(xiàng)的值 寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式 1 2 3 4 5 55 555 5555 解析 1 將數(shù)列統(tǒng)一為 對于分子3 5 7 9 是序號的2倍加1 可得分子的通項(xiàng)公式為bn 2n 1 對于分母2 5 10 17 聯(lián)想到數(shù)列1 4 9 16 即數(shù)列 n2 可得分母的通項(xiàng)公式為cn n2 1 因此可得數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an 2 這是一個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)列 其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列 而分子可分解為1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰奇數(shù)的乘積 知所求數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為 3 數(shù)列的各項(xiàng) 有的是分?jǐn)?shù) 有的是整數(shù) 可將數(shù)列的各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察 即 從而可得數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為 4 將原數(shù)列改寫為 易知數(shù)列9 99 999 的通項(xiàng)為10n 1 故所求的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為 加固訓(xùn)練 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng) 寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式 1 1 7 13 19 2 0 8 0 88 0 888 3 解析 1 符號可通過 1 n表示 后面的數(shù)的絕對值總比前一個(gè)數(shù)的絕對值大6 故通項(xiàng)公式為an 1 n 6n 5 2 數(shù)列變?yōu)樗云渫?xiàng)公式為 3 各項(xiàng)的分母分別為21 22 23 24 易看出第2 3 4項(xiàng)的分子分別比分母少3 因此把第1項(xiàng)變?yōu)樵瓟?shù)列化為 所以 考點(diǎn)2an與sn關(guān)系式的應(yīng)用 典例2 1 2015 成都模擬 設(shè)數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和sn n2 則a8的值為 a 15b 16c 49d 64 2 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為sn a1 1 sn 2an 1 則sn 解題提示 1 直接根據(jù)a8 s8 s7求出即可 2 根據(jù) n n 都有an 1 sn 1 sn 把sn 2an 1化為sn 1與sn之間的關(guān)系 求出數(shù)列 sn 的通項(xiàng) 另外也可根據(jù)sn 2an 1得出sn 1 2an 進(jìn)而得出an 1與an的關(guān)系 從而求出sn 規(guī)范解答 1 選a a8 s8 s7 64 49 15 2 選b 方法一 因?yàn)閍n 1 sn 1 sn 所以由sn 2an 1得 sn 2 sn 1 sn 整理得3sn 2sn 1 所以所以數(shù)列 sn 是以s1 a1 1為首項(xiàng) 為公比的等比數(shù)列 所以故選b 方法二 因?yàn)閟n 2an 1 所以sn 1 2an n 2 兩式相減得 an 2an 1 2an 所以 所以數(shù)列 an 從第2項(xiàng)起為等比數(shù)列 又n 1時(shí) s1 2a2 所以所以 互動探究 1 若本例題 1 中 結(jié)論改為求an 應(yīng)如何求解 2 若本例題 2 中 結(jié)論改為求an 應(yīng)如何求解 解析 1 當(dāng)n 1時(shí) a1 s1 1 當(dāng)n 2時(shí) an sn sn 1 n2 n 1 2 2n 1 n 1時(shí)適合這個(gè)公式 所以an 2n 1 2 根據(jù)原題的結(jié)果sn 當(dāng)n 1時(shí) a1 1 當(dāng)n 2時(shí) an sn sn 1 n 1時(shí)不適合這個(gè)公式 所以an 規(guī)律方法 已知sn求an的三個(gè)步驟 1 先利用a1 s1求出a1 2 用n 1替換sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系 利用an sn sn 1 n 2 便可求出當(dāng)n 2時(shí)an的表達(dá)式 3 對n 1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn) 看是否符合n 2時(shí)an的表達(dá)式 如果符合 則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫 如果不符合 則應(yīng)該分n 1與n 2兩段來寫 變式訓(xùn)練 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和sn 分別求它們的通項(xiàng)公式an 1 sn 2n2 3n 2 sn 3n 1 解析 1 由題可知 當(dāng)n 1時(shí) a1 s1 2 12 3 1 5 當(dāng)n 2時(shí) an sn sn 1 2n2 3n 2 n 1 2 3 n 1 4n 1 當(dāng)n 1時(shí) 4 1 1 5 a1 所以an 4n 1 2 當(dāng)n 1時(shí) a1 s1 3 1 4 當(dāng)n 2時(shí) an sn sn 1 3n 1 3n 1 1 2 3n 1 當(dāng)n 1時(shí) 2 31 1 2 a1 所以an 加固訓(xùn)練 1 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和sn n2 3n 若an 1an 2 80 則n的值為 a 5b 4c 3d 2 解析 選a 因?yàn)閟n n2 3n 所以a1 s1 2 當(dāng)n 2時(shí) an sn sn 1 4 2n 因此an 4 2n n n 又因?yàn)閍n 1an 2 80 即 4 2 n 1 4 2 n 2 80 n n 1 20 解得n 5或n 4 舍去 2 2015 重慶模擬 設(shè)數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為sn 且sn 2n 1 數(shù)列 bn 滿足b1 2 bn 1 2bn 8an 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 證明 數(shù)列為等差數(shù)列 并求 bn 的通項(xiàng)公式 解析 1 當(dāng)n 1時(shí) a1 s1 21 1 1 當(dāng)n 2時(shí) an sn sn 1 2n 1 2n 1 1 2n 1 因?yàn)閍1 1適合通項(xiàng)公式an 2n 1 所以an 2n 1 n n 2 因?yàn)閎n 1 2bn 8an 所以bn 1 2bn 2n 2 即所以是首項(xiàng)為1 公差為2的等差數(shù)列 所以 1 2 n 1 2n 1 所以bn 2n 1 2n 考點(diǎn)3由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式 典例3 1 在數(shù)列 an 中 a1 2 an 1 則an等于 a 2 lnnb 2 n 1 lnnc 2 nlnnd 1 n lnn 2 若數(shù)列 an 滿足a1 1 an 1 2nan 則數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式an 解題提示 1 把已知轉(zhuǎn)化為采用疊加的方法求an 2 把已知轉(zhuǎn)化為采用疊乘的方法求an 規(guī)范解答 1 選a 由已知 所以 將以上n 1個(gè)式子疊加 得 lnn 所以an 2 lnn n 2 經(jīng)檢驗(yàn)n 1時(shí)也適合 故選a 2 由于故將這n 1個(gè)等式疊乘得故an 答案 規(guī)律方法 典型的遞推數(shù)列及處理方法 其中 1 an 1 pan q p 0 1 q 0 的求解方法是 設(shè)an 1 p an 即an 1 pan p 與an 1 pan q比較即可知只要 2 an 1 pan q pn 1 p 0 1 q 0 的求解方法是兩端同時(shí)除以pn 1 即得數(shù)列為等差數(shù)列 提醒 對于有些遞推公式要注意參數(shù)的限制條件 變式訓(xùn)練 根據(jù)下列條件 確定數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 1 a1 1 an 1 3an 2 2 a1 2 an 1 an 3n 2 解析 1 因?yàn)閍n 1 3an 2 所以an 1 1 3 an 1 所以所以數(shù)列 an 1 為等比數(shù)列 公比q 3 又a1 1 2 所以an 1 2 3n 1 所以an 2 3n 1 1 2 因?yàn)閍n 1 an 3n 2 所以an an 1 3n 1 n 2 所以an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 當(dāng)n 1時(shí) a1 2符合上式 所以 加固訓(xùn)練 1 設(shè)數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為sn 已知2an 2n sn 則數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式an 解析 令n 1得a1 2 由2an 2n sn 得2an 1 2n 1 sn 1 整理得an 1 2an 2n 即即數(shù)列是首項(xiàng)為1 公差為的等差數(shù)列 故故an n 1 2n 1 答案 n 1 2n 1 2 已知數(shù)列 an 中 a1 1 則數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式bn 解析 由于an 1 2 即bn 1 4bn 2 又a1 1 故所以是首項(xiàng)為公比為4的等比數(shù)列 答案 考點(diǎn)4數(shù)列的性質(zhì)知 考情因?yàn)閿?shù)列可以看作是一類特殊的函數(shù) 所以數(shù)列也具備函數(shù)應(yīng)具備的性質(zhì) 因此 高考命題往往以數(shù)列作載體 用選擇題 填空題的形式考查單調(diào)性 周期性等問題 明 角度命題角度1 數(shù)列的單調(diào)性問題 典例4 已知那么數(shù)列 an 是 a 遞減數(shù)列b 遞增數(shù)列c 常數(shù)列d 擺動數(shù)列 解題提示 利用比較法判斷 規(guī)范解答 選b 因?yàn)樗运运詀n 1 an 所以數(shù)列 an 是遞增數(shù)列 一題多解 解答本題 你知道幾種解法 解答本題 還有以下解法 因?yàn)楦鶕?jù)函數(shù)為減函數(shù) 知 x 0 為增函數(shù) 即為增函數(shù) 則an為遞增數(shù)列 命題角度2 數(shù)列的周期性問題 典例5 已知數(shù)列 an 滿足a1 1 a2 2 且an n 3 則a2015 解題提示 先根據(jù)已知推理得出數(shù)列的周期 再利用周期性求解 規(guī)范解答 將a1 1 a2 2代入an 得a3 2 同理可得a4 1 a5 a6 a7 1 a8 2 故數(shù)列 an 是周期數(shù)列 周期為6 所以a2015 a335 6 5 a5 答案 悟 技法1 解決數(shù)列的單調(diào)性問題可用以下三種方法 1 用作差比較法 根據(jù)an 1 an的符號判斷數(shù)列 an 是遞增數(shù)列 遞減數(shù)列或是常數(shù)列 2 用作商比較法 根據(jù) an 0或an 0 與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷 3 結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷 2 解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng) 確定數(shù)列的周期 再根據(jù)周期性求值 通 一類1 2015 長沙模擬 在數(shù)列 an 中 a1 1 an 2 an 1 an n n 則a100等于 a 1b 1c 6d 100 解析 選a 因?yàn)閍n 2 an 1 an 所以an 3 an 2 an 1 兩式相加得an 3 an 從而an 6 an 3 an 即數(shù)列 an 的周期t 6 所以a100 a16 6 4 a4 a3 a2 a2 a1 a2 a1 1 2 2015 大連模擬 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為sn 且sn 1 2an 則使不等式成立的n的最大值為 a 2b 4c 8d 16 解析 選b 當(dāng)n 1時(shí) 2a1 s1 1 得a1 1 當(dāng)n 2時(shí) 2 an an 1 sn sn 1 an 所以所以an 2n 1 又因?yàn)閍1 1適合上式 所以an 2n 1 所以 4n 1 所以數(shù)列 是以 1為首項(xiàng) 以4為公比的等比數(shù)列 所以所以 4n 1 5 2n 1 即2n 2n 30 1 易知n的最大值為4 創(chuàng)新體驗(yàn)5數(shù)列的新定義問題 創(chuàng)新點(diǎn)撥 1 高考考情 以數(shù)列為背景的新定義問題是高考命題創(chuàng)新型試題的一個(gè)熱點(diǎn) 考查頻次較高 2 命題形式 常見的有新定義 新規(guī)則等 新題快遞 1 2015 石家莊模擬 將石子擺成如圖所示的梯形形狀 稱